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-1-本讲整合知识建构真题放送综合应用知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题一曲线的参数方程与普通方程的互化1.将曲线的参数方程转化为普通方程,需要消去参数t,其一般步骤为:(1)将参数t用变量x表示;(2)将t代入y的代数式;(3)整理得到x,y的关系,即为普通方程.2.参数方程与普通方程的区别与联系.曲线的普通方程F(x,y)=0是相对参数方程而言,它反映了坐标变量x与y之间的直接联系;而参数方程𝑥=𝑓(𝑡),𝑦=𝑔(𝑡)(𝑡∈D)是通过参数t反映坐标变量x与y之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数,变数的个数比方程的个数多1;曲线的参数方程中有三个变数和两个方程,变数的个数比方程的个数多1,从这个意义上讲,曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.知识建构真题放送综合应用专题一专题二3.参数方程与普通方程是同一曲线的两种不同形式.参数方程普通方程,可见普通方程和参数方程是同一曲线的两种不同表达形式.知识建构真题放送综合应用专题一专题二应用1求方程4x2+y2=16的参数方程.(1)设y=4sinθ,以θ为参数;(2)以过点A(0,4)的直线的斜率k为参数.提示:对于(1),可直接把y=4sinθ代入已知方程,解方程求出x即可;对于(2),可寻找斜率k与此方程任一点的坐标之间的关系来求解.解:(1)把y=4sinθ代入方程,得4x2+16sin2θ=16,于是4x2=16-16sin2θ=16cos2θ.所以x=±2cosθ.由于参数θ的任意性,可取x=2cosθ,因此4x2+y2=16的参数方程是𝑥=2cos𝜃,𝑦=4sin𝜃(𝜃为参数).知识建构真题放送综合应用专题一专题二(2)设M(x,y)是曲线4x2+y2=16上异于点A的任一点,则𝑦-4𝑥=𝑘(𝑥≠0),将y=kx+4代入方程,得x[(4+k2)x+8k]=0.当x≠0时,则𝑥=-8𝑘4+𝑘2,𝑦=-4𝑘2+164+𝑘2(𝑘为参数),当x=0时,易知A(0,4)也适合此方程,(0,-4)不适合此方程.所以所求的参数方程为𝑥=-8𝑘4+𝑘2,𝑦=-4𝑘2+164+𝑘2(𝑘为参数)和𝑥=0,𝑦=-4.知识建构真题放送综合应用专题一专题二应用2已知曲线C1:𝑥=cos𝜃,𝑦=sin𝜃𝜃为参数,曲线𝐶2:𝑥=22𝑡-2,𝑦=22𝑡(𝑡为参数).(1)指出C1,C2各是什么曲线,并说明C1与C2交点的个数;(2)若把C1,C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半(横坐标不变),分别得到曲线C1',C2'.写出C1',C2'的参数方程,C1'与C2'交点的个数和C1与C2交点的个数是否相同?说明你的理由.知识建构真题放送综合应用专题一专题二解:(1)C1是圆,C2是直线.C1的普通方程为x2+y2=1,圆心C1(0,0),半径r=1.C2的普通方程为x-y+2=0.因为圆心C1到直线x-y+2=0的距离为1,所以C1与C2只有一个交点.(2)压缩后的参数方程分别为C1':𝑥=cos𝜃,𝑦=12sin𝜃(𝜃为参数),C2':𝑥=22𝑡-2,𝑦=24𝑡(𝑡为参数).化为普通方程C1':x2+4y2=1,C2':y=12𝑥+22,联立消y得2x2+22𝑥+1=0.其判别式Δ=(22)2−4×2×1=0,所以压缩后的直线C2'与椭圆C1'仍然只有一个交点,和C1与C2交点的个数相同.知识建构真题放送综合应用专题一专题二专题二曲线参数方程的应用曲线的参数方程通过参数反映坐标变量x,y之间的间接联系.有的参数具有相应的几何意义或物理意义.利用参数来表示曲线的方程时,要充分注意参数的取值范围.常用参数方程研究最值问题、求轨迹方程、证明恒等式等.知识建构真题放送综合应用专题一专题二应用1椭圆𝑥216+𝑦24=1上有𝑃,𝑄两点,𝑂为椭圆中心,𝑂𝑃,𝑂𝑄的斜率分别为𝑘𝑂𝑃,𝑘𝑂𝑄,且𝑘𝑂𝑃·kOQ=−14.(1)求|OP|2+|OQ|2的值;(2)求线段PQ中点的轨迹方程.提示:解决与圆、椭圆、双曲线、抛物线上的点有关的问题时,常将这些点的坐标设成参数形式.这样可以减少变量的个数,简化解题过程.因为二次曲线的参数方程的参数多采用角(抛物线除外),所以根据三角函数的值域便于解决一些求值问题.知识建构真题放送综合应用专题一专题二解:(1)设P(4cosθ1,2sinθ1)𝜃1≠𝑘1π2,𝑘1∈Z,𝑄(4cosθ2,2sinθ2)𝜃2≠𝑘2π2,𝑘2∈Z,其中θ1,θ2为参数.∵kOP·kOQ=−14,∴2sin𝜃14cos𝜃1·2sin𝜃24cos𝜃2=−14.∴cos(θ1-θ2)=0.∴θ1-θ2=kπ+π2(𝑘∈Z).∴sin2θ1=cos2θ2,cos2θ1=sin2θ2.∴|OP|2+|OQ|2=16cos2θ1+4sin2θ1+16cos2θ2+4sin2θ2=20,即|OP|2+|OQ|2=20.(2)设线段PQ的中点坐标为(x,y),则𝑥=2(cos𝜃1+cos𝜃2),𝑦=sin𝜃1+sin𝜃2.∴𝑥24+𝑦2=(cosθ1+cosθ2)2+(sinθ1+sinθ2)2=2+2cos(θ1-θ2)=2.∴线段PQ中点的轨迹方程为𝑥28+𝑦22=1(𝑥≠±2).知识建构真题放送综合应用专题一专题二应用2如图,已知圆的方程为x2+y2=12,椭圆的方程为𝑥225+𝑦216=1,过原点的射线交圆于点𝐴,交椭圆于点𝐵.过点𝐴作𝑥轴的平行线,过点𝐵作𝑦轴的平行线,求所作的两条直线的交点𝑃的轨迹的普通方程.知识建构真题放送综合应用专题一专题二解:设𝐴22cos𝛼,22sin𝛼(𝛼为参数),B(5cosθ,4sinθ)(θ为参数),则所求轨迹的参数方程为𝑥=5cos𝜃,①𝑦=22sin𝛼.②由O,A,B三点共线,知kOA=kOB,得tanα=45tanθ,③由①,得tan2θ=25-𝑥2𝑥2.④由②,得tan2α=2𝑦21-2𝑦2.⑤将③式两边平方,得tan2α=1625tan2𝜃.⑥把④⑤代入⑥,化简、整理,得轨迹的普通方程为8x2+9x2y2+400y2=200.真题放送综合应用知识建构123456789101(2018·天津高考,理12)已知圆x2+y2-2x=0的圆心为C,直线𝑥=-1+22𝑡,𝑦=3-22𝑡(𝑡为参数)与该圆相交于𝐴,𝐵两点,则△ABC的面积为.真题放送综合应用知识建构12345678910解析:由圆C的方程为x2+y2-2x=0,可得圆心为C(1,0),半径为1.由𝑥=-1+22𝑡,𝑦=3-22𝑡(𝑡为参数),可得直线的普通方程为x+y-2=0.所以圆心C(1,0)到直线x+y-2=0的距离d=|1+0-2|1+1=22.所以|AB|=21-222=2.所以S△ABC=12·|AB|·d=12×2×22=12.答案:12真题放送综合应用知识建构123456789102(2016·天津高考,理14)已知抛物线𝑥=2𝑝𝑡2,𝑦=2𝑝𝑡(𝑡为参数,𝑝0)的焦点为𝐹,准线为𝑙.过抛物线上一点𝐴作𝑙的垂线,垂足为𝐵.设𝐶72𝑝,0,𝐴𝐹与𝐵𝐶相交于点𝐸.若|𝐶𝐹|=2|𝐴𝐹|,且△ACE的面积为32,则𝑝的值为______________________.真题放送综合应用知识建构12345678910解析:由题意知抛物线的普通方程为y2=2px,焦点为𝐹𝑝2,0,|𝐶𝐹|=72𝑝−𝑝2=3𝑝.又|CF|=2|AF|,则|AF|=32𝑝.由抛物线的定义得|AB|=32𝑝,所以xA=p,则yA=2𝑝.由CF∥AB,得|𝐸𝐹||𝐸𝐴|=|𝐶𝐹||𝐴𝐵|,即|𝐸𝐹||𝐸𝐴|=|𝐶𝐹||𝐴𝐹|=2,所以S△CEF=2S△CEA=62,𝑆△ACF=S△AEC+S△CFE=92.所以12×3𝑝×2𝑝=92,解得p=±6.又知p0,所以p=6.答案:6真题放送综合应用知识建构123456789103(2018·全国Ⅱ高考,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为𝑥=2cos𝜃,𝑦=4sin𝜃(𝜃为参数),直线𝑙的参数方程为𝑥=1+𝑡cos𝛼,𝑦=2+𝑡sin𝛼(𝑡为参数).(1)求C和l的直角坐标方程;(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2),求l的斜率.真题放送综合应用知识建构12345678910解:(1)曲线C的直角坐标方程为𝑥24+𝑦216=1.当cosα≠0时,l的直角坐标方程为y=tanα·x+2-tanα,当cosα=0时,l的直角坐标方程为x=1.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0,①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以①有两个解,设为t1,t2,则t1+t2=0.又由①得t1+t2=−4(2cos𝛼+sin𝛼)1+3cos2𝛼,故2cosα+sinα=0,于是直线l的斜率k=tanα=-2.真题放送综合应用知识建构123456789104(2018·全国Ⅲ高考,理22)在平面直角坐标系xOy中,☉O的参数方程为𝑥=cos𝜃,𝑦=sin𝜃(𝜃为参数),过点(0,−2)且倾斜角为𝛼的直线𝑙与☉O交于A,B两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB中点P的轨迹的参数方程.真题放送综合应用知识建构12345678910解:(1)☉O的直角坐标方程为x2+y2=1.当α=π2时,l与☉O交于两点.当α≠π2时,记tanα=k,则l的方程为y=kx−2,𝑙与☉O交于两点当且仅当21+𝑘21,解得k-1或k1,即α∈π4,π2或α∈π2,3π4.综上,α的取值范围是π4,3π4.真题放送综合应用知识建构12345678910(2)l的参数方程为𝑥=𝑡cos𝛼,𝑦=-2+𝑡sin𝛼𝑡为参数,π4𝛼3π4.设A,B,P对应的参数分别为tA,tB,tP,则tP=𝑡𝐴+𝑡𝐵2,且tA,tB满足t2-22𝑡sinα+1=0.于是tA+tB=22sinα,tP=2sinα.又点P的坐标(x,y)满足𝑥=𝑡𝑃cos𝛼,𝑦=-2+𝑡𝑃sin𝛼.所以点P的轨迹的参数方程是𝑥=22sin2𝛼,𝑦=-22-22cos2𝛼𝛼为参数,π4𝛼3π4.真题放送综合应用知识建构123456789105(2017·全国Ⅰ高考,理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为𝑥=3cos𝜃,𝑦=sin𝜃𝜃为参数,直线𝑙的参数方程为𝑥=𝑎+4𝑡,𝑦=1-𝑡(𝑡为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l距离的最大值为17,求𝑎.解:(1)曲线C的普通方程为𝑥29+𝑦2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由𝑥+4𝑦-3=0,𝑥29+𝑦2=1,解得𝑥=3,𝑦=0或𝑥=-2125,𝑦=2425.从而C与l的交点坐标为(3,0),-2125,2425.真题放送综合应用知识建构12345678910(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cosθ,sinθ)到l的距离为d=|3cos𝜃+4sin𝜃-𝑎-4|17.当a≥-4时,d的最大值为𝑎+917.由题设得𝑎+917=17,所以a=8;当a-4时,d的最大值为-𝑎+117.由题设得-𝑎+117=17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.真题放送综合应用知识建构123456789106(2017·全国Ⅲ高考,理22)在直角坐标系xOy中,直线l1的参数方程为𝑥=2+𝑡,𝑦=𝑘𝑡𝑡为参数,直线𝑙2的参数方程为𝑥=-2+𝑚