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-1-四渐开线与摆线ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.借助教具或计算机软件,观察圆在直线上滚动时圆上定点的轨迹(平摆线)、直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹(渐开线),了解平摆线和渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程.2.通过阅读材料,了解其他摆线(外摆线、内摆线)的生成过程;了解摆线在实际应用中的实例.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.渐开线的产生过程把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上,在绳的外端系上一支铅笔,将绳子拉紧,保持绳子与圆相切而逐渐展开,那么铅笔画出的曲线就是圆的渐开线,相应的定圆叫做渐开线的基圆.2.摆线的概念及产生过程圆的摆线就是一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时,圆周上一个定点的轨迹,圆的摆线又叫旋轮线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】关于渐开线和摆线的叙述,正确的是()A.只有圆才有渐开线B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所以才得到了不同的图形C.正方形也可以有渐开线D.对于同一个圆,如果建立的平面直角坐标系的位置不同,那么画出的渐开线的形状就不同解析:不仅圆有渐开线,其他图形如椭圆、正方形也有渐开线;渐开线和摆线的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同;对于同一个圆不论在什么位置建立平面直角坐标系,画出图形的大小和形状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同.答案:CZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航3.圆的渐开线和摆线的参数方程(1)圆的渐开线的参数方程:𝑥=𝑟(cos𝜑+𝜑sin𝜑),𝑦=𝑟(sin𝜑-𝜑cos𝜑)(𝜑为参数).(2)摆线的参数方程:𝑥=𝑟(𝜑-sin𝜑),𝑦=𝑟(1-cos𝜑)(𝜑为参数).【做一做2-1】半径为4的圆的渐开线的参数方程是.答案:𝑥=4(cos𝜑+𝜑sin𝜑),𝑦=4(sin𝜑-𝜑cos𝜑)(𝜑为参数)【做一做2-2】写出半径为9的圆的摆线的参数方程.解:由题意可知半径为9的圆的摆线的参数方程为𝑥=9(𝜑-sin𝜑),𝑦=9(1-cos𝜑)(𝜑为参数).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航在圆的渐开线和摆线的参数方程中,参数φ的几何意义剖析根据渐开线的定义和推导参数方程的过程,可知其中的字母r是指基圆的半径,而参数φ是指绳子外端运动时绳子与基圆的切点B转过的角度,如图,其中的∠AOB即是角φ.显然点M由参数φ唯一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义,把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.同样,根据圆的摆线的定义和建立参数方程的过程,可知其中的字母r是指定圆的半径,参数φ是指圆上定点相对于定直线与圆的切点所张开的角度.参数的几何意义可以在解决问题中加以引用,简化运算过程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三圆的渐开线的参数方程及应用【例1】已知圆的直径为2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点A,B对应的参数分别分析:先写出圆的渐开线的参数方程,再把点A,B对应的参数分别代入参数方程可得A,B两点的坐标,然后使用两点之间的距离公式可得点A,B之间的距离.解:根据题意可知圆的半径是1,所以其对应渐开线的参数方程是是π3和π2,求𝐴,𝐵两点间的距离.𝑥=cos𝜑+𝜑sin𝜑,𝑦=sin𝜑-𝜑cos𝜑(𝜑为参数).分别把φ=π3和𝜑=π2代入,可得A,B两点的坐标分别为𝐴3+3π6,33-π6,𝐵π2,1.根据两点之间的距离公式可得A,B两点间的距离为ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三|AB|=3+3π6-π22+33-π6-12=16(13-63)π2-6π-363+72.故A,B两点之间的距离为16(13-63)π2-6π-363+72.反思由圆的半径准确写出对应的渐开线的参数方程是解题的关键.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练1】有一标准的渐开线齿轮,齿轮的齿廓线对应的基圆直径为32mm,求齿廓线对应的参数方程.解:因为基圆的直径为32mm,所以基圆的半径为16mm,因此齿廓线对应的参数方程为𝑥=16(cos𝜑+𝜑sin𝜑),𝑦=16(sin𝜑-𝜑cos𝜑)(𝜑为参数).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三圆的摆线的参数方程及应用【例2】已知一个圆的摆线过一定点(2,0),请写出该圆半径最大时摆线的参数方程以及对应的渐开线的参数方程.分析:根据圆的摆线的参数方程𝑥=𝑟(𝜑-sin𝜑),𝑦=𝑟(1-cos𝜑)(𝜑为参数),只需把点(2,0)代入参数方程求出r的表达式,根据表达式先求出r的最大值,再确定对应的摆线和渐开线的参数方程即可.解:在摆线的参数方程𝑥=𝑟(𝜑-sin𝜑),𝑦=𝑟(1-cos𝜑)(𝜑为参数)中,令y=0,可得r(1-cosφ)=0.由于r0,则cosφ=1,即φ=2kπ(k∈Z).代入x=r(φ-sinφ),得x=r(2kπ-sin2kπ)(k∈Z).因为x=2,所以r(2kπ-sin2kπ)=2,即得r=1𝑘π(𝑘∈Z).又r0,所以r=1𝑘π(𝑘∈N*).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三易知,当k=1时,r取最大值为1π.故所求的圆的摆线的参数方程为𝑥=1π(𝜑-sin𝜑),𝑦=1π(1-cos𝜑)(𝜑为参数);圆的渐开线的参数方程为𝑥=1π(cos𝜑+𝜑sin𝜑),𝑦=1π(sin𝜑-𝜑cos𝜑)(𝜑为参数).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三【变式训练2】已知圆的渐开线的参数方程为𝑥=2cos𝜑+2𝜑sin𝜑,𝑦=2sin𝜑-2𝜑cos𝜑𝜑是参数,求该圆的面积和所对应圆的摆线的参数方程.解:由圆的渐开线的参数方程可得该圆的半径为2,所以该圆的面积为4π,对应圆的摆线的参数方程为𝑥=2𝜑-2sin𝜑,𝑦=2-2cos𝜑(𝜑是参数).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三易错辨析易错点:考虑不全面而致错【例3】已知一个圆的摆线过定点(1,0),请写出该摆线的参数方程.错解在摆线的参数方程中,令r(1-cosφ)=0可得cosφ=1,所以φ=0,代入x=r(φ-sinφ)可得x=0.故此题无解.错因分析:在求出cosφ=1时,直接得出φ=0,导致答案错误.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三正解:在摆线的参数方程中,令r(1-cosφ)=0可得cosφ=1,所以φ=2kπ(k∈Z).代入可得x=r(2kπ-sin2kπ)=1.所以r=12𝑘π(𝑘∈Z).因为r是圆的半径,所以r0.所以应有k0,且k∈Z,即k∈N*.所以所求摆线的参数方程是𝑥=12𝑘π(𝜑-sin𝜑),𝑦=12𝑘π(1-cos𝜑)(𝜑为参数),其中k∈N*.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航