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-1-三直线的参数方程ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.掌握直线的参数方程及参数的几何意义.2.能用直线的参数方程解决简单问题.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航直线的参数方程过点M0(x0,y0),倾斜角为𝛼𝛼≠π2的直线𝑙的普通方程为𝑦−𝑦0=tan𝛼·(x-x0),它的参数方程为𝑥=𝑥0+𝑡cos𝛼,𝑦=𝑦0+𝑡sin𝛼𝑡为参数,这种形式称为直线参数方程的标准形式.其中参数t的几何意义是:|t|是直线上任一点M(x,y)到定点M0(x0,y0)的距离,即|𝑀0𝑀|=|𝑡|.由𝑀0𝑀=𝑡e,e=(cosα,sinα)(0απ),知若t0,则𝑀0𝑀的方向向上;若t0,则𝑀0𝑀的方向向下;若t=0,则点M与点M0重合.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航名师点拨给定参数方程𝑥=𝑎+𝑟cos𝛼,𝑦=𝑏+𝑟sin𝛼,其中a,b是常数.(1)如果r(r0)是常数,α是参数,那么参数方程表示的曲线是圆心为(a,b),半径为r的圆;(2)如果α是常数,r是参数,那么参数方程表示的曲线是过定点(a,b),斜率为tan𝛼𝛼≠𝑘π+π2,𝑘∈Z的直线.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做1】直线𝑥=-2+𝑡cos60°,𝑦=3+𝑡sin60°(𝑡为参数)的倾斜角𝛼等于()A.30°B.60°C.-45°D.135°答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航【做一做2】过点(5,-4),倾斜角α满足tanα=−45的直线𝑙的参数方程是()A.𝑥=5+5𝑡,𝑦=-4-9𝑡(𝑡为参数)B.𝑥=5-5𝑡,𝑦=-4+4𝑡(𝑡为参数)C.𝑥=5+5𝑡,𝑦=-4+4𝑡(𝑡为参数)D.𝑥=5-5𝑡,𝑦=-4-4𝑡(𝑡为参数)答案:BZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航1.直线的参数方程的其他形式剖析对于同一直线的普通方程,若选取的参数不同,则会得到不同的参数方程.例如,对于直线的普通方程y=2x+1,如果令x=t,那么可得到参数方程𝑥=𝑡,𝑦=2𝑡+1(𝑡为参数);如果令x=𝑡2,那么可得到参数方程𝑥=𝑡2,𝑦=𝑡+1(𝑡为参数).这样的参数方程中的t可能不具有特定的几何意义,但是在实际应用中能够简化某些运算.例如,动点M做匀速直线运动,它在x轴和y轴方向上的分速度分别为9和12,点M从点A(1,1)开始运动,求点M的轨迹的参数方程.点M的轨迹的参数方程可以直接写为𝑥=1+9𝑡,𝑦=1+12𝑡(𝑡为参数).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航2.直线的一般参数方程转化为标准参数方程的方法剖析给出直线的非标准式参数方程𝑥=𝑥0+𝑎𝑡,𝑦=𝑦0+𝑏𝑡(𝑡为参数),根据标准式的特点,参数t的系数应分别是倾斜角的余弦值和正弦值.根据三角函数的性质知其平方和为1,所以可以化为𝑥=𝑥0+𝑎𝑎2+𝑏2×𝑎2+𝑏2𝑡,𝑦=𝑦0+𝑏𝑎2+𝑏2×𝑎2+𝑏2𝑡(𝑡为参数),再进一步令cosα=𝑎𝑎2+𝑏2,sin𝛼=𝑏𝑎2+𝑏2.根据直线倾斜角的范围让α在[0,π)范围内取值,并且把𝑎2+𝑏2𝑡看成相应的参数t',即得标准形式的参数方程𝑥=𝑥0+𝑡'cos𝛼,𝑦=𝑦0+𝑡'sin𝛼(𝑡′为参数).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航归纳总结由转化的过程可以看出,在一般参数方程𝑥=𝑥0+𝑎𝑡,𝑦=𝑦0+𝑏𝑡(𝑡为参数)中,𝑎2+𝑏2𝑡具有标准形式参数方程中参数的几何意义.所以有些较简单的问题可以不必转化为标准形式,而直接求出相应的t,再乘𝑎2+𝑏2即可使用标准形式中参数的几何意义.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四求经过点P(x0,y0),倾斜角是α的直线的参数方程【例1】已知直线l过点P(3,4),且它的倾斜角θ=120°.(1)写出直线l的参数方程;(2)求直线l与直线x-y+1=0的交点坐标.分析:首先根据直线过点(3,4)及直线的倾斜角θ=120°,得该直线的参数方程,然后代入x-y+1=0即可求得交点坐标.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:(1)直线l的参数方程为𝑥=3+𝑡cos120°,𝑦=4+𝑡sin120°(𝑡为参数),即𝑥=3-12𝑡,𝑦=4+32𝑡(𝑡为参数).(2)把𝑥=3-12𝑡,𝑦=4+32𝑡代入x-y+1=0,得3−12𝑡−4−32𝑡+1=0,解得t=0.把t=0代入𝑥=3-12𝑡,𝑦=4+32𝑡,得两条直线的交点坐标为(3,4).反思由直线上一定点和直线的倾斜角,可确定直线的参数方程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练1】已知直线l的斜率k=-1,经过点M0(2,-1),点M在直线上,以𝑀0𝑀的数量𝑡为参数,则直线𝑙的参数方程为.解析:由参数t的几何意义可知,直线的参数方程可以写成标准形式𝑥=𝑥0+𝑡cos𝜃,𝑦=𝑦0+𝑡sin𝜃(𝑡为参数),其中θ为直线的倾斜角.因为直线的斜率为-1,所以直线的倾斜角θ=135°.所以cosθ=−22,sin𝜃=22.故直线l的参数方程为𝑥=2-22𝑡,𝑦=-1+22𝑡(𝑡为参数).答案:𝑥=2-22𝑡,𝑦=-1+22𝑡(𝑡为参数)ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四由直线的参数方程判断其倾斜角或斜率【例2】若直线𝑥=1-2𝑡,𝑦=2+3𝑡(𝑡为参数)与直线4𝑥+𝑘𝑦=1垂直,则常数𝑘=.解析:因为𝑦-2𝑥-1=3𝑡-2𝑡=−32,所以斜率k1=−32,显然当k=0时,直线4x+ky=1与上述直线不垂直.所以k≠0,从而直线4x+ky=1的斜率k2=−4𝑘.依题意知k1k2=-1,即-32×-4𝑘=−1,𝑘=−6.答案:-6反思根据直线的参数方程可得出直线的斜率,再根据斜率的关系来判断直线的平行或垂直.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练2】已知直线l的参数方程为𝑥=-1+𝑡sinπ6,𝑦=2-𝑡cosπ6(𝑡为参数),则直线𝑙的倾斜角𝛼为()A.π6B.π3C.5π6D.2π3解析:∵𝑦-2𝑥+1=-𝑡cosπ6𝑡sinπ6=−3,∴tanα=−3.又0≤απ,∴α=2π3.答案:DZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四直线的参数方程的应用【例3】已知直线l过定点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,求|PA|·|PB|的值为最小时的直线l的普通方程.分析:本题可用直线的普通方程求解,但运算较麻烦,如果用直线的参数方程来解就可以把问题转化为三角函数的最小值问题,便于计算.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四解:设直线的倾斜角为α,则它的方程为𝑥=3+𝑡cos𝛼,𝑦=2+𝑡sin𝛼(𝑡为参数).由A,B分别是x轴、y轴上的点知yA=0,xB=0,所以0=2+t1sinα,即|PA|=|t1|=2sin𝛼,0=3+𝑡2cosα,即|PB|=|t2|=−3cos𝛼.故|PA|·|PB|=2sin𝛼·-3cos𝛼=−12sin2𝛼.因为90°α180°,所以当2α=270°,即α=135°时,|PA|·|PB|有最小值.所以所求的直线方程为𝑥=3-22𝑡,𝑦=2+22𝑡(𝑡为参数),化为普通方程为x+y-5=0.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四反思直线的参数方程和普通方程可以进行互化,特别是要求直线上某一定点到直线与曲线交点的距离时通常要使用参数的几何意义,宜用参数方程的标准形式.而对于某些比较简单的直线问题,比如求直线和坐标轴或与某条直线的交点时宜用直线的普通方程.ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四【变式训练3】已知直线的参数方程为𝑥=4-𝑡,𝑦=-23+3𝑡𝑡为参数,在直线上求一点𝑃,使点𝑃到点𝐴(4,−23)的距离为4.解:设P(x,y),由题意知𝑥=4-𝑡,𝑦=-23+3𝑡.由|PA|=4,得(4-𝑡-4)2+(-23+3𝑡+23)2=4,所以t2=4,即t=±2.当t=2时,点P的坐标为(2,0);当t=-2时,点P的坐标为(6,-43).所以所求点P的坐标为(2,0)或(6,-43).ZHISHISHULI知识梳理ZHONGNANJVJIAO重难聚焦SUITANGYANLIAN随堂演练DIANLITOUXI典例透析MUBIAODAOHANG目标导航题型一题型二题型三题型四易错辨析易错点:错用参数的几何意义而致错【例4】已知过点M(2,-1)的直线l:𝑥=2-𝑡2,𝑦=-1+𝑡2(𝑡为参数)与圆𝑥2+𝑦2=4交于𝐴,𝐵两点,求|𝐴𝐵|及|𝐴𝑀|·|BM|.错解把直线方程代入圆的方程,化简得t2-6t+2=0.设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,则t1+t2=6,t1·t2=2.由于|MA|=|t1|,|MB|=|t2|,从而|MA|·|MB|=|t1·t2|=2,|AB|=|t2-t1|=(𝑡1+𝑡2)2-4𝑡1𝑡2=62-4×2=27.错因分析:在直线l的方程中,参数t的意义与直线参数方程的标准形式中参数t的意义是不同的,错解中把两者等同起来,错用了参数的几何意义.ZHISHISHULI知识梳理ZHO