2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 高考专题突破二 高考中的三角函数与解三角形

高考专题突破二高考中的三角函数与解三角形问题第四章三角函数、解三角形NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业题型分类深度剖析1PARTONE题型一三角函数的图象和性质例1(2016·山东)设f(x)＝2sin(π－x)sinx－(sinx－cosx)2.(1)求f(x)的单调递增区间；师生共研3(2)把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y＝g(x)的图象，求gπ6的值.解由(1)知f(x)＝2sin2x－π3＋3－1，得到y＝2sinx－π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到y＝2sinx＋3－1的图象，即g(x)＝2sinx＋3－1.把y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所以gπ6＝2sinπ6＋3－1＝3.三角函数的图象与性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，然后将t＝ωx＋φ视为一个整体，结合y＝sint的图象求解.思维升华跟踪训练1已知函数f(x)＝5sinxcosx－53cos2x＋532(其中x∈R)，求：解因为f(x)＝52sin2x－532(1＋cos2x)＋532＝512sin2x－32cos2x＝5sin2x－π3，所以函数的最小正周期T＝2π2＝π.(1)函数f(x)的最小正周期；所以函数f(x)的单调递减区间为kπ＋5π12，kπ＋11π12(k∈Z).解由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为kπ－π12，kπ＋5π12(k∈Z).由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)，(2)函数f(x)的单调区间；得kπ＋5π12≤x≤kπ＋11π12(k∈Z)，解由2x－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，得x＝kπ2＋5π12(k∈Z)，所以函数f(x)的对称轴方程为x＝kπ2＋5π12(k∈Z).由2x－π3＝kπ(k∈Z)，得x＝kπ2＋π6(k∈Z)，所以函数f(x)的对称中心为kπ2＋π6，0(k∈Z).(3)函数f(x)图象的对称轴和对称中心.题型二解三角形例2△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA＋3cosA＝0，a＝27，b＝2.(1)求角A和边长c；师生共研解∵sinA＋3cosA＝0，∴tanA＝－3，又0Aπ，∴A＝2π3，由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA，即28＝4＋c2－2×2c×－12，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)或c＝4，故c＝4.∴16＝28＋4－2×27×2×cosC，∴cosC＝27，∴CD＝ACcosC＝227＝7，∴CD＝12BC，∴S△ABC＝12AB·AC·sin∠BAC＝12×4×2×32＝23，∴S△ABD＝12S△ABC＝3.(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.解∵c2＝a2＋b2－2abcosC，根据三角形中的已知条件，选择正弦定理或余弦定理求解；在解决有关角的范围问题时，要注意挖掘题目中隐含的条件，对结果进行正确的取舍.思维升华跟踪训练2(2017·北京)在△ABC中，∠A＝60°，c＝37a.解在△ABC中，因为∠A＝60°，c＝37a，所以由正弦定理得sinC＝csinAa＝37×32＝3314.(1)求sinC的值；解因为a＝7，所以c＝37×7＝3.由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得72＝b2＋32－2b×3×12，所以△ABC的面积S＝12bcsinA＝12×8×3×32＝63.(2)若a＝7，求△ABC的面积.解得b＝8或b＝－5(舍去).例3如图，某机械厂欲从AB＝2米，AD＝米的矩形铁皮中裁剪出一个四边形ABEF加工成某仪器的零件，裁剪要求如下：点E，F分别在边BC，AD上，且EB＝EF，AFBE.设∠BEF＝θ，四边形ABEF的面积为f(θ)(单位：平方米).(1)求f(θ)关于θ的函数关系式，求出定义域；题型三三角函数和解三角形的综合应用师生共研22(2)当BE，AF的长为何值时，裁剪出的四边形ABEF的面积最小，并求出最小值.三角函数和解三角形的综合问题要利用正弦定理、余弦定理进行转化，结合三角函数的性质，要注意角的范围对变形过程的影响.思维升华又sinA≠0，所以sinB＝1，B＝π2，跟踪训练3在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且asinB－bcosC＝ccosB.(1)判断△ABC的形状；解因为asinB－bcosC＝ccosB，由正弦定理可得sinAsinB－sinBcosC＝sinCcosB.即sinAsinB＝sinCcosB＋cosCsinB，所以sin(C＋B)＝sinAsinB.因为在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sinA＝sinAsinB，所以△ABC为直角三角形.因为△ABC是直角三角形，所以0Aπ2，且0cosA1，(2)若f(x)＝12cos2x－23cosx＋12，求f(A)的取值范围.解因为f(x)＝12cos2x－23cosx＋12＝cos2x－23cosx＝cosx－132－19，所以f(A)＝cosA－132－19，所以当cosA＝13时，f(A)有最小值－19.所以f(A)的取值范围是－19，13.课时作业2PARTTWO1.已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，|φ|π2，x∈R的部分图象如图.(1)求函数f(x)的解析式.基础保分练123456(2)求函数f(x)在区间0，5π12上的最值，并求出相应的x值.123456解∵x∈0，5π12，∴2x－π6∈－π6，2π3，∴sin2x－π6∈－12，1，2sin2x－π6∈[－1，2].当2x－π6＝π2，即x＝π3时，f(x)取得最大值，f(x)max＝fπ3＝2.当2x－π6＝－π6，即x＝0时，f(x)取得最小值，f(x)min＝f(0)＝－1.故f(x)的最小正周期为T＝2π12＝4π.2.设函数f(x)＝2tanx4·cos2x4－2cos2x4＋π12＋1.(1)求f(x)的定义域及最小正周期.123456解f(x)＝2sinx4cosx4－cosx2＋π6＝sinx2－cosx2＋π6＝sinx2－32cosx2＋12sinx2＝3sinx2－π6.由x4≠π2＋kπ(k∈Z)，得f(x)的定义域为{x|x≠2π＋4kπ(k∈Z)}，(2)求f(x)在[－π，0]上的最值.123456解∵－π≤x≤0，∴－2π3≤x2－π6≤－π6.∴当x2－π6∈－2π3，－π2，即x∈－π，－2π3时，f(x)单调递减，当x2－π6∈－π2，－π6，即x∈－2π3，0时，f(x)单调递增，∴f(x)min＝f－2π3＝－3，又f(0)＝－32，f(－π)＝－32，∴f(x)max＝f(0)＝－32.1234563.已知函数f(x)＝sinωx＋π6＋sinωx－π6－2cos2ωx2，x∈R(其中ω0).(1)求函数f(x)的值域；123456(2)若函数y＝f(x)的图象与直线y＝－1的两个相邻交点间的距离为π2，求函数y＝f(x)的单调递增区间.1234564.(2016·北京)在△ABC中，a2＋c2＝b2＋2ac.(1)求B的大小；解由a2＋c2＝b2＋2ac，得a2＋c2－b2＝2ac.由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac＝2ac2ac＝22.又0Bπ，所以B＝π4.123456(2)求2cosA＋cosC的最大值.5.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且acosC＋3asinC－b－c＝0.(1)求A；123456技能提升练123456(2)若AD为BC边上的中线，cosB＝17，AD＝1292，求△ABC的面积.(1)求f(x)的表达式和f(x)的单调增区间；1234566.已知函数f(x)＝cos2ωx＋3sin2ωx＋t(ω0)，若f(x)的图象上相邻两条对称轴的距离为π4，图象过点(0,0).拓展冲刺练123456(2)将函数f(x)的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，若函数F(x)＝g(x)＋k在区间0，π2上有且只有一个零点，求实数k的取值范围.