2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.5 简单的三角恒等变换（第1课时）课件

§4.5简单的三角恒等变换第四章三角函数、解三角形NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONEtan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ(T(α－β))tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ(T(α＋β))1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ(C(α－β))cos(α＋β)＝(C(α＋β))sin(α－β)＝(S(α－β))sin(α＋β)＝(S(α＋β))cosαcosβ－sinαsinβsinαcosβ－cosαsinβsinαcosβ＋cosαsinβ知识梳理ZHISHISHULI2.倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.3.半角公式2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2αcosα2＝±1＋cosα2，sinα2＝±1－cosα2，tanα2＝±1－cosα1＋cosα，2S2T2C1.诱导公式与两角和差的三角函数公式有何关系？2.怎样研究形如f(x)＝asinx＋bcosx函数的性质？【概念方法微思考】提示诱导公式可以看成和差公式中β＝k·π2(k∈Z)时的特殊情形.提示先根据辅助角公式asinx＋bcosx＝a2＋b2·sin(x＋φ)，将f(x)化成f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再结合图象研究函数的性质.1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sinα＋sinβ成立.()(2)对任意角α都有1＋sinα＝()(3)y＝3sinx＋4cosx的最大值是7.()(4)公式tan(α＋β)＝可以变形为tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，且对任意角α，β都成立.()tanα＋tanβ1－tanαtanβsinα2＋cosα22.题组一思考辨析√√××基础自测JICHUZICE1234567题组二教材改编2.若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sinα＋π4等于A.－210B.210C.－7210D.7210√123456解析∵α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－35，∴sinα＋π4＝－35×22＋－45×22＝－7210.73.sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝.解析sin347°cos148°＋sin77°cos58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin77°cos58°＝(－cos77°)·(－sin58°)＋sin77°cos58°＝sin58°cos77°＋cos58°sin77°＝sin(58°＋77°)＝sin135°＝22.1234562274.tan10°＋tan50°＋3tan10°tan50°＝.3∴tan10°＋tan50°＝tan60°(1－tan10°tan50°)解析∵tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，123456＝3－3tan10°tan50°，∴原式＝3－3tan10°tan50°＋3tan10°tan50°＝3.75.化简：cos40°cos25°·1－sin40°＝.123456题组三易错自纠2解析原式＝cos40°cos25°1－cos50°＝cos40°cos25°·2sin25°＝cos40°22sin50°＝2.71234566.(2018·抚顺模拟)已知θ∈0，π2，且sinθ－π4＝210，则tan2θ＝.－2477解析2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝2sinα＋2sinαcosα121＋cosα＝4sinα1＋cosα1＋cosα＝4sinα.4sinα1234567.化简：2sinπ－α＋sin2αcos2α2＝.72题型分类深度剖析PARTTWO第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.(2018·呼和浩特质检)若sin(π－α)＝13，且π2≤α≤π，则sin2α的值为A.－429B.－229C.229D.429√解析因为sin(π－α)＝sinα＝13，π2≤α≤π，所以cosα＝－1－sin2α＝－223，所以sin2α＝2sinαcosα＝2×13×－223＝－429.题型一和差公式的直接应用自主演练2.已知tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为A.2941B.129C.141D.1√解析∵tanα－π6＝37，tanπ6＋β＝25，∴tan(α＋β)＝tanα－π6＋π6＋β＝tanα－π6＋tanπ6＋β1－tanα－π6·tanπ6＋β＝37＋251－37×25＝1.3.(2018·辽阳调研)已知sinα＝35，α∈π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为A.－211B.211C.112D.－112解析∵α∈π2，π，∴cosα＝－45，tanα＝－34，又tanβ＝－12，∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanα·tanβ＝－34＋121＋－12×－34＝－211.√4.计算sin110°sin20°cos2155°－sin2155°的值为.解析sin110°sin20°cos2155°－sin2155°＝sin70°sin20°cos310°＝cos20°sin20°cos50°＝12sin40°sin40°＝12.12(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.思维升华命题点1角的变换例1(1)设α，β都是锐角，且cosα＝55，sin(α＋β)＝35，则cosβ＝.解析依题意得sinα＝1－cos2α＝255，因为sin(α＋β)＝35sinα且α＋βα，所以α＋β∈π2，π，所以cos(α＋β)＝－45.2525题型二和差公式的灵活应用多维探究于是cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－45×55＋35×255＝2525.＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2×35×45＝2425，故选B.(2)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π3的值为A.1225B.2425C.－2425D.－1225√解析因为α为锐角，且cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝1－cos2α＋π6＝35，所以sin2α＋π3＝sin2α＋π6故原式＝－2cosθ2cosθ2cosθ2＝－cosθ.命题点2三角函数式的变换例2(1)化简：1＋sinθ＋cosθsinθ2－cosθ22＋2cosθ(0θπ)；解由θ∈(0，π)，得0θ2π2，∴cosθ20，∴2＋2cosθ＝4cos2θ2＝2cosθ2.又(1＋sinθ＋cosθ)sinθ2－cosθ2＝2sinθ2cosθ2＋2cos2θ2sinθ2－cosθ2＝2cosθ2sin2θ2－cos2θ2＝－2cosθ2cosθ，(2)求值：1＋cos20°2sin20°－sin10°1tan5°－tan5°.解原式＝2cos210°2×2sin10°cos10°－sin10°cos5°sin5°－sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos25°－sin25°sin5°cos5°＝cos10°2sin10°－sin10°·cos10°12sin10°＝cos10°2sin10°－2cos10°＝cos10°－2sin20°2sin10°＝cos10°－2sin30°－10°2sin10°＝cos10°－212cos10°－32sin10°2sin10°＝3sin10°2sin10°＝32.化简：1＋sinθ－cosθsinθ2－cosθ22－2cosθ(0θπ).解∵0θπ，∴0θ2π2，∴2－2cosθ＝2sinθ2，又1＋sinθ－cosθ＝2sinθ2cosθ2＋2sin2θ2＝2sinθ2sinθ2＋cosθ2，∴原式＝2sinθ2sinθ2＋cosθ2sinθ2－cosθ22sinθ2＝－cosθ.引申探究命题点3公式的逆用与变形例3(1)已知sinα＋cosβ＝13，sinβ－cosα＝12，则sin(α－β)＝.－5972(2)已知α－β＝π3，tanα－tanβ＝3，则cos(α＋β)的值为.解析∵tanα－tanβ＝sinαcosα－sinβcosβ＝sinα－βcosαcosβ＝3，且α－β＝π3，∴cosαcosβ＝36，又cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝12，33－12∴sinαsinβ＝12－36，那么cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝33－12.(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系.思维升华(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝α＋β2－α2＋β等.跟踪训练(1)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为________.解析cos(75°＋α)＝sin(15°－α)＝13，∴cos(30°－2α)＝1－2sin2(15°－α)＝1－29＝79.79(2)已知α∈0，π2，β∈0，π2，且cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sinβ＝.解析由已知可得sinα＝437，sin(α＋β)＝5314，＝5314×17－－1114×437＝32.32∴sinβ＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cosα－cos(α＋β)sinα(3)若3sinx＋cosx＝23，则tanx＋7π6＝.解析由3sinx＋cosx＝23，得2sinx＋π6＝23，即sinx＋π6＝13，所以cosx＋π6＝±223，所以tanx＋π6＝±24，±24即tanx＋7π6＝tanx＋π6＝±24.三角变换的关键是找到条件和结论中的角和式子结构之间的联系.变换中可以通过适当地拆角、凑角或对式子整体变形达到目的.思想方法SIXIANGFANGFA用联系的观点进行三角变换例(1)设α为锐角，若cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12的值为.解析∵α为锐角且cosα＋π6＝450，∴α＋π6∈π6，π2，∴sinα＋π6＝35.∴sin2α＋π12＝sin2α＋π6－π417250＝sin2