2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.4 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象

§4.4函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用第四章三角函数、解三角形NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONEy＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x≥0振幅周期频率相位初相AT＝f＝＝________1.y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念ωx＋φ知识梳理ZHISHISHULI2πω1Tω2πφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点xωx＋φ________y＝Asin(ωx＋φ)0A0－A000－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωπ2π3π22π3.函数y＝sinx的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种途径|φ|φω1.怎样从y＝sinωx的图象变换得到y＝sin(ωx＋φ)(ω0，φ0)的图象？2.函数y＝sin(ωx＋φ)图象的对称轴是什么？【概念方法微思考】提示向左平移φω个单位长度.提示x＝kπω＋π2ω－φω(k∈Z).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y＝sinx－π4的图象是由y＝sinx＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的.()(2)将函数y＝sinωx的图象向右平移φ(φ0)个单位长度，得到函数y＝sin(ωx－φ)的图象.()(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为()(4)函数y＝sinx的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.()√×√×基础自测JICHUZICE123456T2.121278题组二教材改编2.为了得到函数y＝2sin2x－π3的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象向平移个单位长度.右π63.y＝2sin12x－π3的振幅、频率和初相分别为.2，14π，－π3123456784.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，则这段曲线的函数解析式为.y＝10sinπ8x＋3π4＋20，x∈[6,14]123456785.要得到函数y＝sin4x＋π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象A.向左平移π12个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π3个单位长度D.向右平移π3个单位长度题组三易错自纠√解析∵y＝sin4x＋π3＝sin4x＋π12，∴要得到y＝sin4x＋π3的图象，只需将函数y＝sin4x的图象向左平移π12个单位长度.123456786.将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为.解析函数y＝2sin2x＋π6的周期为π，将函数y＝2sin2x＋π6的图象向右平移14个周期，即π4个单位长度，y＝2sin2x－π3所得函数为y＝2sin2x－π4＋π6＝2sin2x－π3.123456787.(2018·乌海模拟)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是.解析相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，π2＋4故它们之间的距离为π2＋4.123456788.(2018·沈阳质检)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)的部分图象如图所示，则f的值为.π43123456782题型分类深度剖析PARTTWO例1(2018·丹东模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，－π2φπ2的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2.题型一函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换(1)求f(x)的解析式；师生共研(2)作出f(x)在[0，π]上的图象(要列表).在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值.引申探究又因为m0，所以m的最小值为π3.所以2m－π6＝π2(2k＋1)，k∈Z，m＝kπ2＋π3，k∈Z，解由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin2x－m＋π6＝2sin2x－2m－π6是偶函数，(1)y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标.(2)由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.思维升华可得ω3π－π6＝π2＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.跟踪训练1(1)(2018·本溪调研)若把函数y＝sinωx－π6的图象向左平移π3个单位长度，所得到的图象与函数y＝cosωx的图象重合，则ω的一个可能取值是A.2B.32C.23D.12解析y＝sinωx＋ω3π－π6和函数y＝cosωx的图象重合，∴2是ω的一个可能值.√得到函数y＝sin2x的图象，再把该函数图象向右平移π6个单位长度，得到函数y＝sin2x－π6＝sin2x－π3的图象.(2)把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为______________.y＝sin2x－π3解析把函数y＝sinx的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y＝2sin2x－π6.题型二由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式例2(1)若函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则y＝.解析由题图可知，A＝2，T＝2π3－－π6＝π，所以ω＝2，师生共研2sin2x－π6由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，(2)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，则y＝fx＋π6取得最小值时x的集合为.xx＝kπ－π3，k∈Zy＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.思维升华跟踪训练2(2018·满洲里质检)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA0，ω0，|φ|π2的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移m(m0)个单位长度后，得到函数g(x)的图象关于点π3，32对称，则m的值可能为A.π6B.π2C.7π6D.7π12√题型三三角函数图象、性质的综合应用命题点1图象与性质的综合问题多维探究例3(2018·锦州模拟)已知函数f(x)＝2sinωx＋π6＋1＋a(ω0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求a和ω的值；(2)求函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间.解由(1)得f(x)＝2sin2x＋π6，由π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.令k＝0，得π6≤x≤2π3.∴函数f(x)在[0，π]上的单调递减区间为π6，2π3.命题点2函数零点(方程根)问题例4已知关于x的方程2sin2x－sin2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是.3π2，π(－2，－1)解析由上例题知，m2的取值范围是－1，12，本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m的取值范围是.[－2,1)∴－2≤m1，∴m的取值范围是[－2,1).引申探究例5据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为元.6000命题点3三角函数模型A0，ω0，|φ|π2(1)研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.思维升华跟踪训练3(1)(2018·赤峰模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)ω0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点2，－12，则函数f(x)的解析式为.f(x)＝sinπx2＋π6(2)若函数f(x)＝sinωx＋π6(ω0)满足f(0)＝fπ3，且函数在0，π2上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为.π(1)求f(x)的最小正周期；答题模板DATIMUBAN三角函数图象与性质的综合问题例(12分)已知函数f(x)＝23sinx2＋π4·cosx2＋π4－sin(x＋π).(2)若将f(x)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，求函数g(x)在区间[0，π]上的最大值和最小值.3课时作业PARTTHREE1.为了得到函数y＝sin2x－π6的图象，可以将函数y＝sin2x的图象A.向右平移π6个单位长度B.向右平移π12个单位长度C.向左平移π6个单位长度D.向左平移π12个单位长度√基础保分练12345678910111213141516解析y＝sin2x－π6＝sin2x－π12，故将函数y＝sin2x的图象向右平移π12个单位长度，可得y＝sin2x－π6的图象.A.π8B.π4C.3π8D.5π42.(2018·鞍山统考)若将函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是解析f(x)＝sin2x＋cos2x＝2cos2x－π4，且该函数为偶函数，√12345678910111213141516将函数f(x)的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y＝2cos2x－π4－2φ，故2φ＋π4＝kπ(k∈Z)，所以φ的最小正值为3π8.3.(2018·盘锦模拟)函数f(x)＝cosωx＋π6(ω0)的最小正周期是π，则其图象向右平移π3个单位长度后对应函数的单调递减区间是A.－π4＋kπ，π4＋kπ(k∈Z)B.π4＋kπ，3π4＋kπ(k∈Z)C.π12＋kπ，7π12＋kπ(k∈Z)D.－5π12＋kπ，π12＋kπ(k∈Z)√12345678910111213141516A.ω＝2，φ＝π3B.ω＝2，φ＝－2π3C.ω＝12，φ＝π3D.ω＝12，φ＝－2π3√123456789101112131415164.若函数y＝sin(ωx－φ)ω0，|φ|π2在区间－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是又a0，所以a＝kπ＋π3，k∈N.所以sin－a－π6＝±1，a＋π6＝kπ