2020版高考数学大一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式课

§4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式第四章三角函数、解三角形NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.同角三角函数的基本关系(1)平方关系：.(2)商数关系：＝.知识梳理ZHISHISHULIsin2α＋cos2α＝1sinαcosα＝tanα(α≠π2＋kπ，k∈Z)2.诱导公式公式一二三四五角2kπ＋α(k∈Z)－α(2k＋1)π＋α(k∈Z)＋α－α正弦___________________________余弦____________________________正切________________－cotαcotα口诀函数名不变符号看象限函数名改变符号看象限π2π2sinαcosαtanα－sinαcosα－tanα－sinαcosαcosα－cosα－sinαsinαtanα【概念方法微思考】1.使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？提示根据角所在象限确定三角函数值的符号.2.诱导公式记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？提示所有诱导公式均可看作k·±α(k∈Z)和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此处的k是奇数还是偶数.π2题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.()基础自测JICHUZICE123456×7(2)若α∈R，则tanα＝sinαcosα恒成立.()(3)sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角.()(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sinα＝13.()×××题组二教材改编12345672.若sinα＝55，π2απ，则tanα＝.－12解析∵π2απ，∴cosα＝－1－sin2α＝－255，∴tanα＝sinαcosα＝－12.12345673.已知tanα＝2，则sinα＋cosαsinα－cosα的值为.解析原式＝tanα＋1tanα－1＝2＋12－1＝3.312345674.化简cosα－π2sin5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为.－sin2α解析原式＝sinαcosα·(－sinα)·cosα＝－sin2α.解析∵sinθ＋cosθ＝43，∴sinθcosθ＝718.又∵(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝29，θ∈0，π4，题组三易错自纠5.已知sinθ＋cosθ＝43，θ∈0，π4，则sinθ－cosθ的值为.∴sinθ－cosθ＝－23.1234567－23123456解析∵cos32π＋α＝sinα＝45，且α为锐角，6.(2018·鄂尔多斯诊断)已知α为锐角，cos32π＋α＝45，则cos(π＋α)＝.－35∴cosα＝35，∴cos(π＋α)＝－cosα＝－35.7123456解析∵－π2α0，7.已知cosα＝15，－π2α0，则cosπ2＋αtanα＋πcos－αtanα的值为.∴sinα＝－1－152＝－256，∴tanα＝－26.6127则cosπ2＋αtanα＋πcos－αtanα＝－sinαtanα·cosα·tanα＝－1tanα＝126＝612.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一同角三角函数基本关系式的应用自主演练1.已知α是第四象限角，sinα＝－1213，则tanα等于解析因为α是第四象限角，sinα＝－1213，A.－513B.513C.－125D.125√所以cosα＝1－sin2α＝513，故tanα＝sinαcosα＝－125.2.若tanα＝34，则cos2α＋2sin2α等于A.6425B.4825C.1D.1625√解析tanα＝34，则cos2α＋2sin2α＝cos2α＋2sin2αcos2α＋sin2α＝1＋4tanα1＋tan2α＝6425.故原式＝cosα|cosα|＋2sinα|sinα|＝cosα－cosα＋2sinα－sinα＝－1－2＝－3.3.若角α的终边落在第三象限，则cosα1－sin2α＋2sinα1－cos2α的值为A.3B.－3C.1D.－1解析由角α的终边落在第三象限，得sinα0，cosα0，√4.已知sinα－cosα＝，α∈(0，π)，则tanα等于2解析由sinα－cosα＝2，sin2α＋cos2α＝1，消去sinα，得2cos2α＋22cosα＋1＝0，即(2cosα＋1)2＝0，∴cosα＝－22.又α∈(0，π)，∴α＝3π4，A.－1B.－22C.22D.1∴tanα＝tan3π4＝－1.√(1)利用sin2α＋cos2α＝1可实现正弦、余弦的互化，开方时要根据角α所在象限确定符号；利用＝tanα可以实现角α的弦切互化.(2)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二.(3)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.思维升华sinαcosα题型二诱导公式的应用师生共研A.{1，－1,2，－2}B.{－1,1}C.{2，－2}D.{1，－1,0,2，－2}解析当k为偶数时，A＝sinαsinα＋cosαcosα＝2；当k为奇数时，A＝－sinαsinα－cosαcosα＝－2.例1(1)已知A＝sinkπ＋αsinα＋coskπ＋αcosα(k∈Z)，则A的值构成的集合是√解析原式＝tanαcosαsin－2π＋α＋π2cos3π＋α[－sin3π＋α]＝tanαcosαsinπ2＋α－cosαsinα＝tanαcosαcosα－cosαsinα(2)(2018·满洲里质检)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－3π2cos－α－3πsin－3π－α＝.－1＝－tanαcosαsinα＝－sinαcosα·cosαsinα＝－1.(1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.②化简：统一角，统一名，同角名少为终了.(2)含2π整数倍的诱导公式的应用由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算.如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cosα.思维升华跟踪训练1(1)已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则sin3π2＋θ＋2cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝.32解析由已知得tanθ＝3，∴sin3π2＋θ＋2cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝－cosθ－2cosθcosθ－sinθ＝－31－tanθ＝32.解析∵f(α)＝－2sinα－cosα＋cosα1＋sin2α＋sinα－cos2α＝2sinαcosα＋cosα2sin2α＋sinα＝cosα1＋2sinαsinα1＋2sinα＝1tanα，∴f－23π6＝1tan－23π6＝1tan－4π＋π6＝1tanπ6＝3.(2)已知f(α)＝2sinπ＋αcosπ－α－cosπ＋α1＋sin2α＋cos3π2＋α－sin2π2＋α(sinα≠0,1＋2sinα≠0)，则f－23π6＝.3题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用师生共研例2(1)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是π2＋βA.355B.377C.31010D.13√解析由已知可得－2tanα＋3sinβ＋5＝0，tanα－6sinβ－1＝0，解得tanα＝3，又α为锐角，sin2α＋cos2α＝1，故sinα＝31010.解已知，得sinx＋cosx＝15，(2)已知－πx0，sin(π＋x)－cosx＝－.①求sinx－cosx的值；15两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝125，整理得2sinxcosx＝－2425.∵(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝4925，又sinxcosx＝－12250，由－πx0知，sinx0，∴cosx0，∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝－75.解sin2x＋2sin2x1－tanx＝2sinxcosx＋sinx1－sinxcosx＝2sinxcosxcosx＋sinxcosx－sinx＝－2425×1575＝－24175.②求sin2x＋2sin2x1－tanx的值.本例(2)中若将条件“－πx0”改为“0xπ”，求sinx－cosx的值.∴sinx0，cosx0，解若0xπ，又2sinxcosx＝－2425，引申探究∴sinx－cosx0，故sinx－cosx＝75.(1)利用同角三角函数的基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.(2)注意角的范围对三角函数符号的影响.思维升华跟踪训练2(1)(2018·营口模拟)已知角θ的终边在第三象限，tan2θ＝－22，则sin2θ＋sin(3π－θ)cos(2π＋θ)－2cos2θ等于A.－26B.26C.－23D.23√(2)已知sinα＝255，则tan(π＋α)＋sin5π2＋αcos5π2－α＝.52或－523课时作业PARTTHREE基础保分练123456789101112131415161.已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα等于A.15B.－15C.513D.－513√解析因为tanα＝－512，所以sinαcosα＝－512，所以cosα＝－125sinα，代入sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝±513，又α是第四象限角，所以sinα＝－513.解析tan(α－π)＝tanα＝34，由sinαcosα＝34，sin2α＋cos2α＝1，解得cosα＝±45.2.已知tan(α－π)＝34，且α∈π2，3π2，则sinα＋π2等于A.45B.－45C.35D.－35√又因为α∈π2，3π2，所以α为第三象限的角，所以cosα＝－45，所以sinα＋π2＝cosα＝－45.12345678910111213141516123456789101112131415163.(2018·包头质检)已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|π2，则θ等于A.－π6B.－π3C.π6D.π3解析∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sinθ＝－3cosθ，∴tanθ＝3.又∵|θ|π2，∴θ＝π3.√123456789101112131415164.(2018·盘锦质检)已知α∈π2，π，且cosα＝－513，则tanα＋π2cosα＋π等于A.1213B.－1213C.1312D.－1312解析∵α∈π2，π，且cosα＝－513，∴sinα＝1－cos2α＝1213，√则tanα＋π2cosα＋π＝－cosαsinα－cosα＝1sinα＝1312.12345678910111213141516A.3B.2C.1D.－1√5.设tanα＝3，则sinα－π＋c