2020版高考数学大一轮复习 第十三章 系列4选讲 13.1 坐标系与参数方程（第2课时）参数方程课

第2课时参数方程第十三章§13.1坐标系与参数方程NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式.一般地，可以_________从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.1.参数方程和普通方程的互化知识梳理ZHISHISHULIx＝ft，y＝gt通过消去参数2.常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线_________________________圆__________y－y0＝tanα(x－x0)α≠π2x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)x2＋y2＝r2x＝rcosθ，y＝rsinθ(θ为参数)椭圆_______________________抛物线y2＝2px(p0)x2a2＋y2b2＝1(ab0)x＝acosφ，y＝bsinφ(φ为参数)x＝2pt2，y＝2pt(t为参数)1.在直线的参数方程x＝x0＋tcosα，y＝y0＋tsinα(t为参数)中，(1)t的几何意义是什么？提示t表示在直线上过定点P0(x0，y0)与直线上的任一点P(x，y)构成的有向线段P0P的数量.(2)如何利用t的几何意义求直线上任意两点P1，P2的距离？【概念方法微思考】提示|P1P2|＝|t1－t2|＝t1＋t22－4t1t2.2.圆的参数方程中参数θ的几何意义是什么？提示θ的几何意义为该圆的圆心角.(3)已知椭圆的参数方程x＝2cost，y＝4sint(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝π3，点O为原点，则直线OM的斜率为3.()(1)参数方程x＝ft，y＝gt中的x，y都是参数t的函数.()(2)方程x＝2cosθ，y＝1＋2sinθ(θ为参数)表示以点(0,1)为圆心，以2为半径的圆.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测JICHUZICE×√√1234562.曲线x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ(θ为参数)的对称中心题组二教材改编123456A.在直线y＝2x上B.在直线y＝－2x上C.在直线y＝x－1上D.在直线y＝x＋1上√所以(x＋1)2＋(y－2)2＝1.曲线是以(－1,2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1,2)，在直线y＝－2x上.解析由x＝－1＋cosθ，y＝2＋sinθ，得cosθ＝x＋1，sinθ＝y－2.3.在平面直角坐标系xOy中，若直线l：x＝t，y＝t－a(t为参数)过椭圆C：x＝3cosφ，y＝2sinφ(φ为参数)的右顶点，求常数a的值.123456解直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为x29＋y24＝1，∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，则3－a＝0，∴a＝3.解将直线l的参数方程化为普通方程为y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.123456题组三易错自纠4.直线l的参数方程为x＝1＋t，y＝2－3t(t为参数)，求直线l的斜率.5.设P(x，y)是曲线C：x＝－2＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数，θ∈[0,2π))上任意一点，求yx的取值范围.1234561234566.已知曲线C的极坐标方程是ρ＝2cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是x＝32t＋m，y＝12t(t为参数).(1)求曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；123456(2)设点P(m,0)，若直线l与曲线C交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值.解把x＝32t＋m，y＝12t(t为参数)代入方程x2＋y2＝2x，化为t2＋(3m－3)t＋m2－2m＝0，①由Δ0，解得－1m3.设t1，t2为方程①的两个实数根，∴t1t2＝m2－2m.∵|PA|·|PB|＝1＝|t1t2|，∴m2－2m＝±1，解得m＝1±2或m＝1，满足Δ0.∴实数m＝1±2或m＝1.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一参数方程与普通方程的互化1.(2018·包头调研)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；自主演练x＝－5＋22t，y＝5＋22t解曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4.直线l的普通方程为x－y＋25＝0.(2)将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得到的曲线向左平移1个单位长度，得到曲线C1，求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值.122.在《圆锥曲线论》中，阿波罗尼奥斯第一次从一个对顶圆锥(直或斜)得到所有的圆锥曲线，并命名了椭圆(ellipse)、双曲线(hyperboler)和抛物线(parabola)，在这本晦涩难懂的书中有一个著名的几何问题：“在平面上给定两点A，B，设P点在同一平面上且满足＝λ(λ0且λ≠1)，P点的轨迹是圆.”这个圆我们称之为“阿波罗尼奥斯圆”.已知点M与长度为3的线段OA两端点的距离之比为，建立适当坐标系，求出M点的轨迹方程并化为参数方程.|PA||PB||OM||MA|＝12消去参数的方法一般有三种(1)利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数.(2)利用三角恒等式消去参数.(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数.将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围.思维升华解曲线C的直角坐标方程为x24＋y216＝1.例1在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝2cosθ，y＝4sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝1＋tcosα，y＝2＋tsinα(t为参数).(1)求C和l的直角坐标方程；题型二参数方程的应用师生共研当cosα≠0时，l的直角坐标方程为y＝tanα·x＋2－tanα，当cosα＝0时，l的直角坐标方程为x＝1.(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率.解将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程(1＋3cos2α)t2＋4(2cosα＋sinα)t－8＝0.①因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1＋t2＝0.又由①得t1＋t2＝－42cosα＋sinα1＋3cos2α，故2cosα＋sinα＝0，于是直线l的斜率k＝tanα＝－2.(1)解决直线与椭圆的参数方程的应用问题时，一般是先化为普通方程，再根据直线与椭圆的位置关系来解决.思维升华(2)对于形如x＝x0＋at，y＝y0＋bt(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.跟踪训练1(2017·全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x＝3cosθ，y＝sinθ(θ为参数)，直线l的参数方程为x＝a＋4t，y＝1－t(t为参数).(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.题型三极坐标方程和参数方程的综合应用师生共研例2(2017·全国Ⅲ)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为x＝2＋t，y＝kt(t为参数)，直线l2的参数方程为x＝－2＋m，y＝mk(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.(1)写出C的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cosθ＋sinθ)－＝0，M为l3与C的交点，求M的极径.2解C的极坐标方程为ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4(0θ2π，θ≠π).联立ρ2cos2θ－sin2θ＝4，ρcosθ＋sinθ－2＝0，得cosθ－sinθ＝2(cosθ＋sinθ).故tanθ＝－13，从而cos2θ＝910，sin2θ＝110.代入ρ2(cos2θ－sin2θ)＝4，得ρ2＝5，所以交点M的极径为5.在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以更简捷的解决问题.例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想.思维升华跟踪训练2(1)(2018·湖北八校联考)已知曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθsin2θ，C2的参数方程为x＝2＋22t，y＝2－22t(t为参数).①将曲线C1与C2的方程化为直角坐标系下的普通方程；②若C1与C2相交于A，B两点，求|AB|.解将C2的参数方程代入C1的普通方程并化简得12t2－32t＝0，解得t1＝0，t2＝62，故|AB|＝|t1－t2|＝62.(2)已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.①将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；x＝5＋32t，y＝3＋12t解ρ＝2cosθ变形为ρ2＝2ρcosθ.(ⅰ)将ρ2＝x2＋y2，ρcosθ＝x代入(ⅰ)式即得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.(ⅱ)②设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|·|MB|的值.3解将x＝5＋32t，y＝3＋12t代入(ⅱ)式，得t2＋53t＋18＝0.设这个方程的两个实根分别为t1，t2，则由参数t的几何意义知，|MA|·|MB|＝|t1t2|＝18.3课时作业PARTTHREE基础保分练1234561.已知在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数).(1)求曲线C的普通方程；x＝2cosθ，y＝sinθ解由曲线C的参数方程，得cosθ＝x2，sinθ＝y，所以cos2θ＋sin2θ＝x22＋y2＝1，所以曲线C的普通方程为x24＋y2＝1.所以直线l的方程为x＋2y－2＝0.123456(2)经过点P(平面直角坐标系xOy中的点)作直线l交曲线C于A，B两点，若P恰好为线段AB的中点，求直线l的方程.1，12解设直线l的倾斜角为θ1，则直线l的参数方程为x＝1＋tcosθ1，y＝12＋tsinθ1(t为参数)，代入曲线C的直角坐标方程，得(cos2θ1＋4sin2θ1)t2＋(2cosθ1＋4sinθ1)t－2＝0，所以t1＋t2＝－2cosθ1＋4sinθ1cos2θ1＋4sin2θ1，由题意知t1＝－t2，所以2cosθ1＋4sinθ1＝0，得k＝－12，1234562.在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－3，若以极点O为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系.(1)求圆C的一个参数方程；解因为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－3，所以x2＋y2－4x－4y＋3＝0，即(x－2)2＋(y－2)2＝5为圆C的直角坐标方程，所以圆C的一个参数方程为x＝2＋5cosφ，y＝2＋5sinφ(φ为参数).123456(2)在平面直角坐标系中，P(x，y)是圆C上的动点，试求x＋2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标.1234563.在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C：x＝