2020版高考数学大一轮复习 第十三章 系列4选讲 13.1 坐标系与参数方程（第1课时）坐标系课件

第1课时坐标系第十三章§13.1坐标系与参数方程NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：__________________的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.1.平面直角坐标系知识梳理ZHISHISHULIx′＝λ·x，λ0，y′＝μ·y，μ02.极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的，θ称为点M的.一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角.极径极角(2)极坐标与直角坐标的互化设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ).由图可知下面关系式成立：___________或______________，这就是极坐标与直角坐标的互化公式.x＝ρcosθ，y＝ρsinθρ2＝x2＋y2，tanθ＝yxx≠03.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆_____________圆心为(r,0)，半径为r的圆__________________ρ＝r(0≤θ2π)ρ＝2rcosθ－π2≤θπ2圆心为，半径为r的圆_________________过极点，倾斜角为α的直线θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线_________________过点，与极轴平行的直线________________r，π2ρcosθ＝a－π2θπ2a，π2ρ＝2rsinθ(0≤θπ)ρsinθ＝a(0θπ)1.平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应关系，在极坐标系中点与坐标也能建立一一对应关系吗？提示不能，极径需和极角结合才能唯一确定一个点.2.由极坐标的意义可判断平面上点的极坐标唯一吗？提示平面上的点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.【概念方法微思考】(1)若点P的直角坐标为(1，－3)，则点P的一个极坐标是2，－π3.()(2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的.()(3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)基础自测JICHUZICE123456×√√∴ρ＝1sinθ＋cosθ0≤θ≤π2.A.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2B.ρ＝1cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4C.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π2D.ρ＝cosθ＋sinθ，0≤θ≤π4题组二教材改编2.若以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程为√解析∵y＝1－x(0≤x≤1)，∴ρsinθ＝1－ρcosθ(0≤ρcosθ≤1)；123456A.1，π2B.1，－π2C.(1,0)D.(1，π)√1234563.在极坐标系中，圆ρ＝－2sinθ的圆心的极坐标是解析先将极坐标化成直角坐标表示，123456题组三易错自纠4.在极坐标系中，已知点P2，π6，则过点P且平行于极轴的直线方程是A.ρsinθ＝1B.ρsinθ＝3C.ρcosθ＝1D.ρcosθ＝3√P2，π6转化为直角坐标为x＝ρcosθ＝2cosπ6＝3，y＝ρsinθ＝2sinπ6＝1，即(3，1)，过点(3，1)且平行于x轴的直线为y＝1，再化为极坐标为ρsinθ＝1.5.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sinθ，则曲线C的直角坐标方程为.123456解析由ρ＝2sinθ，得ρ2＝2ρsinθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.x2＋y2－2y＝01234566.在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sinθ和直线ρsinθ＝a相交于A，B两点.当△AOB是等边三角形时，求a的值.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一极坐标与直角坐标的互化1.(1)化圆的直角坐标方程x2＋y2＝r2(r0)为极坐标方程；自主演练解将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋y2＝r2(r0)，得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，即ρ＝r.所以以极点为圆心，r为半径的圆的极坐标方程为ρ＝r(0≤θ2π).(2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sinθ为直角坐标方程.解方法一把ρ＝x2＋y2，sinθ＝yρ代入ρ＝8sinθ，得x2＋y2＝8·yx2＋y2，化简得x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.方法二方程ρ＝8sinθ两边同时乘ρ，得ρ2＝8ρsinθ，因为ρ2＝x2＋y2，ρsinθ＝y，所以x2＋y2－8y＝0，即x2＋(y－4)2＝16.2.在极坐标系中，已知曲线C1：ρcosθ－ρsinθ－1＝0，C2：ρ＝2cosθ.(1)求曲线C1，C2的直角坐标方程，并判断两曲线的形状；由C2：ρ＝2cosθ，得ρ2＝2ρcosθ，∴x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1.∴C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆.3解∵C1：ρcosθ－3ρsinθ－1＝0，∴x－3y－1＝0表示一条直线.(2)若曲线C1，C2交于A，B两点，求两交点间的距离.∴直线C1过圆C2的圆心.因此两交点A，B的连线是圆C2的直径.∴两交点A，B间的距离|AB|＝2r＝2.解由(1)知，点(1,0)在直线x－3y－1＝0上，(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度.(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcosθ及y＝ρsinθ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解决此类问题常通过变形，构造形如ρcosθ，ρsinθ，ρ2的形式，进行整体代换.思维升华题型二求曲线的极坐标方程例1将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得到曲线C.(1)求曲线C的标准方程；师生共研解设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得x＝x1，y＝2y1.由x21＋y21＝1，得x2＋y22＝1，即曲线C的标准方程为x2＋y24＝1.(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与直线l垂直的直线的极坐标方程.求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点.(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式.(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程.思维升华跟踪训练1已知极坐标系的极点为直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0，直线l的参数方程为(t为参数)，射线OM的极坐标方程为θ＝.(1)求圆C和直线l的极坐标方程；x＝－1＋t，y＝t3π4(2)已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长.解当θ＝3π4时，|OP|＝22sin3π4－π4＝22，∴点P的极坐标为22，3π4，|OQ|＝122＋22＝22，∴点Q的极坐标为22，3π4，故线段PQ的长为322.题型三极坐标方程的应用师生共研例2在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，直线C2的直角坐标方程为y＝x.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1和直线C2的极坐标方程；x＝2＋cosα，y＝2＋sinα3设A，B对应的极径分别为ρ1，ρ2，(2)若直线C2与曲线C1交于A，B两点，求1|OA|＋1|OB|.解由ρ2－4ρcosθ－4ρsinθ＋7＝0，θ＝π3，得ρ2－(23＋2)ρ＋7＝0，则ρ1＋ρ2＝23＋2，ρ1ρ2＝7，∴1|OA|＋1|OB|＝|OA|＋|OB||OA|·|OB|＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝23＋27.极坐标应用中的注意事项(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴正半轴重合；③取相同的长度单位.(2)若把直角坐标化为极坐标求极角θ时，应注意判断点P所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ.利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题.(3)由极坐标的意义可知平面上点的极坐标不是唯一的，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应关系.思维升华跟踪训练2(2017·全国Ⅱ)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；解设点P的极坐标为(ρ，θ)(ρ0)，点M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ10).由题意知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4cosθ.由|OM|·|OP|＝16，得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ(ρ0).因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0).(2)设点A的极坐标为，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值.2，π3解设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB0).由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，于是△OAB的面积S＝12|OA|·ρB·sin∠AOB＝4cosα·sinα－π3＝2sin2α－π3－32≤2＋3.当α＝－π12时，S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.3课时作业PARTTHREE1.在以直角坐标系中的原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐标方程为ρ＝.(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；基础保分练12345621－sinθ解ρ＝21－sinθ可化为ρ－ρsinθ＝2，∵ρ＝x2＋y2，ρsinθ＝y，∴曲线的直角坐标方程为x2＝4y＋4.(2)过极点O作直线l交曲线于点P，Q，若|OP|＝3|OQ|，求直线l的极坐标方程.123456解设直线l的极坐标方程为θ＝θ0(ρ∈R)，根据题意21－sinθ0＝3·21－sinθ0＋π，解得θ0＝π6或θ0＝5π6，∴直线l的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)或θ＝5π6(ρ∈R).1234562.已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ.(1)求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；x＝t＋1t，y＝t－1t123456(2)若射线θ＝π6分别与曲线C1，C2交于A，B两点(异于极点)，求|AB|的值.解联立ρ2cos2θ＝4，θ＝π6，得ρA＝22，联立ρ＝4cosθ，θ＝π6，得ρB＝23，故|AB|＝|ρB－ρA|＝23－22.1234563.极坐标系与直角坐标系xOy