2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 高考专题突破一 高考中的导数应用问题（第1课时）

第1课时导数与不等式第三章高考专题突破一高考中的导数应用问题NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业题型分类深度剖析1PARTONE题型一证明不等式例1设函数f(x)＝lnx－x＋1.(1)讨论f(x)的单调性；师生共研解由题设知，f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1，令f′(x)＝0，解得x＝1.当0x1时，f′(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f′(x)0，f(x)单调递减.(2)证明：当x∈(1，＋∞)时，1x－1lnxx.证明由(1)知，f(x)在x＝1处取得极大值也为最大值，最大值为f(1)＝0.所以当x≠1时，lnxx－1.故当x∈(1，＋∞)时，lnxx－1，ln1x1x－1，即1x－1lnxx.(1)证明f(x)g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)ming(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性.(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)＋g(x1)f(x2)＋g(x2)对x1x2恒成立，即等价于函数h(x)＝f(x)＋g(x)为增函数.思维升华跟踪训练1已知函数f(x)＝xlnx－ex＋1.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；解依题意得f′(x)＝lnx＋1－ex，又f(1)＝1－e，f′(1)＝1－e，故所求切线方程为y－1＋e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x.(2)证明：f(x)sinx在(0，＋∞)上恒成立.题型二不等式恒成立或有解问题例2(2018·大连模拟)已知函数f(x)＝1＋lnxx.(1)若函数f(x)在区间a，a＋12上存在极值，求正实数a的取值范围；师生共研(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥kx＋1恒成立，求实数k的取值范围.所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)0，所以g(x)为单调增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2].解当x≥1时，k≤x＋11＋lnxx恒成立，令g(x)＝x＋11＋lnxx(x≥1)，则g′(x)＝1＋lnx＋1＋1xx－x＋11＋lnxx2＝x－lnxx2.再令h(x)＝x－lnx(x≥1)，则h′(x)＝1－1x≥0，本例(2)中若改为：∃x∈[1，e]，使不等式f(x)≥kx＋1成立，求实数k的取值范围.解当x∈[1，e]时，k≤x＋11＋lnxx有解，令g(x)＝x＋11＋lnxx(x∈[1，e])，由例(2)解题知，g(x)为单调增函数，所以g(x)max＝g(e)＝2＋2e，所以k≤2＋2e，即实数k的取值范围是－∞，2＋2e.引申探究利用导数解决不等式的恒成立问题的策略(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围.(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.思维升华跟踪训练2已知函数f(x)＝ax＋lnx，x∈[1，e]，若f(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围.解∵f(x)≤0，即ax＋lnx≤0对x∈[1，e]恒成立，∴a≤－lnxx，x∈[1，e].令g(x)＝－lnxx，x∈[1，e]，则g′(x)＝lnx－1x2，∵x∈[1，e]，∴g′(x)≤0，∴g(x)在[1，e]上单调递减，∴g(x)min＝g(e)＝－1e，∴a≤－1e.∴实数a的取值范围是－∞，－1e.课时作业2PARTTWO1.已知函数f(x)＝lnx＋x，g(x)＝x·ex－1，求证：f(x)≤g(x).基础保分练123452.已知f(x)＝ex－ax2，若f(x)≥x＋(1－x)·ex在[0，＋∞)恒成立，求实数a的取值范围.123453.已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝(1)求函数f(x)的单调区间；12345lnxx.解因为f′(x)＝a－ex，x∈R.当a≤0时，f′(x)0，f(x)在R上单调递减；当a0时，令f′(x)＝0，得x＝lna.由f′(x)0，得f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)；由f′(x)0，得f(x)的单调递减区间为(lna，＋∞).综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间；当a0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)，单调递减区间为(lna，＋∞).(2)∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围.123454.设函数f(x)＝ax2－xlnx－(2a－1)x＋a－1(a∈R).若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.12345技能提升练123455.已知函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝2ex，若存在实数m，对任意的x∈[1，k](k1)，都有f(x＋m)≤2ex，求整数k的最小值.