2020版高考数学大一轮复习 第三章 导数及其应用 高考专题突破一 高考中的导数应用问题（第1课时）

第1课时导数与不等式第三章高考专题突破一高考中的导数应用问题NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业题型分类深度剖析1PARTONE题型一证明不等式(1)证明：g(x)≥1；师生共研例1已知函数f(x)＝1－x－1ex，g(x)＝x－lnx.证明由题意得g′(x)＝x－1x(x0)，当0x1时，g′(x)0.当x1时，g′(x)0，即g(x)在(0,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数.所以g(x)≥g(1)＝1，得证.(2)证明：(x－lnx)f(x)1－1e2.证明由f(x)＝1－x－1ex，得f′(x)＝x－2ex，所以当0x2时，f′(x)0，当x2时，f′(x)0，即f(x)在(0,2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，所以f(x)≥f(2)＝1－1e2(当且仅当x＝2时取等号).①又由(1)知x－lnx≥1(当且仅当x＝1时取等号)，②且①②等号不同时取得，所以(x－lnx)f(x)1－1e2.(1)证明f(x)g(x)的一般方法是证明h(x)＝f(x)－g(x)0(利用单调性)，特殊情况是证明f(x)ming(x)max(最值方法)，但后一种方法不具备普遍性.(2)证明二元不等式的基本思想是化为一元不等式，一种方法为变换不等式使两个变元成为一个整体，另一种方法为转化后利用函数的单调性，如不等式f(x1)＋g(x1)f(x2)＋g(x2)对x1x2恒成立，即等价于函数h(x)＝f(x)＋g(x)为增函数.思维升华跟踪训练1已知函数f(x)＝xlnx－ex＋1.(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；解依题意得f′(x)＝lnx＋1－ex，又f(1)＝1－e，f′(1)＝1－e，故所求切线方程为y－1＋e＝(1－e)(x－1)，即y＝(1－e)x.(2)证明：f(x)sinx在(0，＋∞)上恒成立.题型二不等式恒成立或有解问题例2(2018·大连模拟)已知函数f(x)＝1＋lnxx.师生共研(1)若函数f(x)在区间a，a＋12上存在极值，求正实数a的取值范围；(2)如果当x≥1时，不等式f(x)≥kx＋1恒成立，求实数k的取值范围.所以h(x)≥h(1)＝1，所以g′(x)0，所以g(x)为单调增函数，所以g(x)≥g(1)＝2，故k≤2，即实数k的取值范围是(－∞，2].解当x≥1时，k≤x＋11＋lnxx恒成立，令g(x)＝x＋11＋lnxx(x≥1)，则g′(x)＝1＋lnx＋1＋1xx－x＋11＋lnxx2＝x－lnxx2.再令h(x)＝x－lnx(x≥1)，则h′(x)＝1－1x≥0，本例(2)中若改为：∃x∈[1，e]，使不等式f(x)≥kx＋1成立，求实数k的取值范围.解当x∈[1，e]时，k≤x＋11＋lnxx有解，令g(x)＝x＋11＋lnxx(x∈[1，e])，由例(2)解题知，g(x)为单调增函数，所以g(x)max＝g(e)＝2＋2e，所以k≤2＋2e，即实数k的取值范围是－∞，2＋2e.引申探究利用导数解决不等式的恒成立问题的策略(1)首先要构造函数，利用导数求出最值，求出参数的取值范围.(2)也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.思维升华跟踪训练2(2018·沈阳模拟)已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2.(1)当a＝0时，求证：f(x)≥0；证明当a＝0时，f(x)＝ex－1－x，f′(x)＝ex－1.当x∈(－∞，0)时，f′(x)0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)0.故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(0)＝0，∴f(x)≥0.(2)当x≥0时，若不等式f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.课时作业2PARTTWO1.已知函数f(x)＝lnx＋x，g(x)＝x·ex－1，求证f(x)≤g(x).基础保分练1234562.(2018·营口模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx＋xlnx的图象在(1，f(1))处的切线方程为3x－y－2＝0.(1)求实数a，b的值；123456解f′(x)＝2ax＋b＋1＋lnx，所以2a＋b＋1＝3且a＋b＝1，解得a＝1，b＝0.(2)设g(x)＝x2－x，若k∈Z，且k(x－2)f(x)－g(x)对任意的x2恒成立，求k的最大值.1234563.已知函数f(x)＝ax－ex(a∈R)，g(x)＝.(1)求函数f(x)的单调区间；123456lnxx解因为f′(x)＝a－ex，x∈R.当a≤0时，f′(x)0，f(x)在R上单调递减；当a0时，令f′(x)＝0，得x＝lna.由f′(x)0，得f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)；由f′(x)0，得f(x)的单调递减区间为(lna，＋∞).综上所述，当a≤0时，f(x)的单调递减区间为(－∞，＋∞)，无单调递增区间；当a0时，f(x)的单调递增区间为(－∞，lna)，单调递减区间为(lna，＋∞).(2)∃x∈(0，＋∞)，使不等式f(x)≤g(x)－ex成立，求a的取值范围.1234564.设函数f(x)＝ax2－xlnx－(2a－1)x＋a－1(a∈R).若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围.123456123456技能提升练5.已知函数f(x)＝lnx－ax＋1－ax－1(a∈R).设g(x)＝x2－2bx＋4，当a＝14时，若∀x1∈(0,2)，总存在x2∈[1,2]，使f(x1)≥g(x2)，求实数b的取值范围.6.已知函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝2ex，若存在实数m，对任意的x∈[1，k](k1)，都有f(x＋m)≤2ex，求整数k的最小值.123456拓展冲刺练