2020版高考数学大一轮复习 第七章 不等式、推理与证明 7.6 直接证明与间接证明课件 理 新人教

§7.6直接证明与间接证明第七章不等式、推理与证明NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理ZHISHISHULI1.直接证明内容综合法分析法定义从出发，经过逐步的推理，最后达到的方法，是一种从推导到____的思维方法从出发，一步一步地寻求结论成立的，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实的方法，是一种从追溯到______的思维方法已知条件待证结论原因结果待证结论充分条件结果产生这一结果的原因特点从“”看“”，逐步推向“”，其逐步推理，实际上是要寻找它的_________从“”看“”，逐步靠拢“”，其逐步推理，实际上是要寻找它的_________步骤的符号表示P0(已知)⇒P1⇒P2⇒P3⇒P4(结论)B(结论)⇐B1⇐B2…⇐Bn⇐A(已知)已知可知未知必要条件未知需知已知充分条件2.间接证明(1)反证法的定义：一般地，由证明p⇒q转向证明_____________t与矛盾，或与矛盾，从而判定綈q为假，推出q为真的方法，叫做反证法.綈q⇒r⇒…⇒t假设某个真命题(2)应用反证法证明数学命题的一般步骤：①分清命题的和；②做出的假定；③由出发，应用正确的推理方法，推出的结果；④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明命题为真.条件结论与命题结论相矛盾假定矛盾1.直接证明中的综合法是演绎推理吗？提示是.用综合法证明时常省略大前提.【概念方法微思考】2.综合法与分析法的推理过程有何区别？提示综合法是执因索果，分析法是执果索因，推理方式是互逆的.3.反证法是“要证原命题成立，只需证其逆否命题成立”的推理方法吗？提示不是.反证法是命题中“p与綈p”关系的应用.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明.()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件.()(3)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”.()(4)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾.()(5)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程.()×××基础自测JICHUZICE123456√(6)证明不等式2＋73＋6最合适的方法是分析法.()×√题组二教材改编A.PQB.P＝QC.PQD.由a的取值确定123456∴P2Q2，又∵P0，Q0，∴PQ.2.若P＝a＋6＋a＋7，Q＝a＋8＋a＋5(a≥0)，则P，Q的大小关系是解析P2＝2a＋13＋2a2＋13a＋42，Q2＝2a＋13＋2a2＋13a＋40，√1234563.设实数a，b，c成等比数列，非零实数x，y分别为a与b，b与c的等差中项，则ax＋cy等于A.1B.2C.4D.6√4.若a，b，c为实数，且ab0，则下列命题正确的是A.ac2bc2B.a2abb2123456题组三易错自纠解析a2－ab＝a(a－b)，∵ab0，∴a－b0，∴a2－ab0，∴a2ab.①又ab－b2＝b(a－b)0，∴abb2，②由①②得a2abb2.C.1a1bD.baab√123456解析方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根的反面是方程x3＋ax＋b＝0没有实根，故选A.5.用反证法证明命题：“设a，b为实数，则方程x3＋ax＋b＝0至少有一个实根”时，要作的假设是A.方程x3＋ax＋b＝0没有实根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一个实根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有两个实根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有两个实根√6.在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为___________.123456等边三角形解析由题意得2B＝A＋C，∵A＋B＋C＝π，∴B＝π3，又b2＝ac，∴A＝B＝C＝π3，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝a2＋c2－ac，∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，∴△ABC为等边三角形.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一综合法的应用例1已知a，b，c0，a＋b＋c＝1.求证：师生共研(1)a＋b＋c≤3；证明∵(a＋b＋c)2＝(a＋b＋c)＋2ab＋2bc＋2ca≤(a＋b＋c)＋(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)＝3，∴a＋b＋c≤3(当且仅当a＝b＝c时取等号).(2)13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32.证明∵a0，∴3a＋11，∴43a＋1＋(3a＋1)≥243a＋13a＋1＝4，∴43a＋1≥3－3a当且仅当a＝13时，取等号，同理得43b＋1≥3－3b，43c＋1≥3－3c，以上三式相加得413a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥9－3(a＋b＋c)＝6，∴13a＋1＋13b＋1＋13c＋1≥32(当且仅当a＝b＝c＝13时取等号).(1)从已知出发，逐步推理直到得出所证结论的方法为综合法；(2)计算题的计算过程也是根据已知的式子进行逐步推导的过程，也是使用的综合法.思维升华跟踪训练1设Tn是数列{an}的前n项之积，并满足：Tn＝1－an.(1)证明：数列1Tn是等差数列；证明∵an＋1＝Tn＋1Tn＝1－an＋11－an⇒an＋11－an＋1＝11－an⇒11－an＋1－11－an＝1，∴1Tn＋1－1Tn＝1，又∵T1＝1－a1＝a1，∴a1＝12，∴1T1＝11－a1＝2，∴数列1Tn是以2为首项，公差为1的等差数列.(2)令bn＝ann2＋n，证明：{bn}的前n项和Sn34.证明∵1Tn＝1T1＋(n－1)×1，∴11－an＝n＋1⇒an＝nn＋1(n∈N＋)，∴bn＝ann2＋n＝1n＋12＝1n2＋2n＋11n2＋2n＝121n－1n＋2，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn12×11－13＋12－14＋…＋1n－1－1n＋1＋1n－1n＋2＝12×32－1n＋1－1n＋212×32＝34.题型二分析法的应用例2已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，A，B，C的对边分别为a，b，c.师生共研求证：1a＋b＋1b＋c＝3a＋b＋c.(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法.思维升华跟踪训练2已知a0，证明：a2＋1a2－2≥a＋1a－2.题型三反证法的应用师生共研例3设a0，b0，且a＋b＝1a＋1b.证明：证明由a＋b＝1a＋1b＝a＋bab，a0，b0，得ab＝1.有a＋b≥2ab＝2，即a＋b≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立.(1)a＋b≥2；由均值不等式及ab＝1，(2)a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立.证明假设a2＋a2与b2＋b2同时成立，则由a2＋a2及a0，得0a1；同理，0b1，从而ab1，这与ab＝1矛盾.故a2＋a2与b2＋b2不可能同时成立.反证法的一般步骤：(1)分清命题的条件与结论；(2)作出与命题的结论相矛盾的假设；(3)由假设出发，应用演绎推理的方法，推出矛盾的结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不成立，原结论成立，从而间接地证明原命题为真.思维升华跟踪训练3等差数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1＋2，S3＝9＋32.(1)求数列{an}的通项公式an与前n项和Sn；解设等差数列{an}的公差为d.由已知得a1＝2＋1，3a1＋3d＝9＋32，所以d＝2，故an＝2n－1＋2，Sn＝n(n＋2)(n∈N＋).(2)设bn＝Snn(n∈N＋)，求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列.证明由(1)得bn＝Snn＝n＋2，假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br(p，q，r∈N＋，且互不相等)成等比数列，则b2q＝bpbr.即(q＋2)2＝(p＋2)(r＋2)，所以(q2－pr)＋2(2q－p－r)＝0，因为p，q，r∈N＋，所以q2－pr＝0，2q－p－r＝0，所以p＋r22＝pr，(p－r)2＝0，所以p＝r，与p≠r矛盾，所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列.3课时作业PARTTHREE1.在△ABC中，sinAsinCcosAcosC，则△ABC一定是A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定12345678910111213141516解析由sinAsinCcosAcosC得cosAcosC－sinAsinC0，即cos(A＋C)0，所以A＋C是锐角，基础保分练从而Bπ2，故△ABC必是钝角三角形.√A.x21B.x24C.x20D.x21123456789101112131415162.分析法又称执果索因法，已知x0，用分析法证明1＋x1＋x2时，索的因是解析因为x0，所以要证1＋x1＋x2，只需证(1＋x)21＋x22，即证0x24，即证x20，因为x0，所以x20成立，故原不等式成立.√3.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，若x1＋x20，则f(x1)＋f(x2)的值A.恒为负值B.恒等于零C.恒为正值D.无法确定正负12345678910111213141516解析由f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)单调递减，可知f(x)是R上的单调递减函数，由x1＋x20，可知x1－x2，f(x1)f(－x2)＝－f(x2)，则f(x1)＋f(x2)0.√解析假设a，b，c都小于2，则a＋b＋c6，123456789101112131415164.(2018·阜新调研)设x，y，z为正实数，a＝x＋1y，b＝y＋1z，c＝z＋1x，则a，b，c三个数A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2而a＋b＋c＝x＋1y＋y＋1z＋z＋1x＝x＋1x＋y＋1y＋z＋1z≥2＋2＋2＝6，√与a＋b＋c6矛盾，∴a，b，c都小于2错误.∴a，b，c三个数至少有一个不小于2.5.设a，b是两个实数，给出下列条件：①a＋b1；②a＋b＝2；③a＋b2；④a2＋b22；⑤ab1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是A.②③B.①②③C.③D.③④⑤12345678910111213141516√6.用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设_____________.12345678910111213141516x≠－1且x≠1解析“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”.123456789101112131415167.如果aa＋bbab＋ba成立，则a，b应满足的条件是_________________.a≥0，b≥0且a≠b解析∵aa＋bb－(ab＋ba)＝a(a－b)＋b(b－a)＝(a－b)(a－b)＝(a－b)2(a＋b).∴当a≥0，b≥0且a≠b时，(a－b)2(a＋b)0.∴aa＋bbab＋ba成立的条件是a≥0，b≥0且a≠b.123456789101112131415168.已知点An(n，an)为函数y＝x2＋1图象上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图象上的点，其中n∈N＋，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________.cn＋1cn解析由条件得cn＝an－bn＝n2＋1－n＝1n2＋1＋n，则cn随n的增大而减小，∴cn＋1cn.123456789101112131415169.(2018·包头质检)已知a0，b0，如果不等式2a＋1b≥m2a＋b恒成立，则m的最大值为___.9解析因为a0，b0，所以2a＋b0.所