§7.3一元二次不等式及其解法第七章不等式、推理与证明NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.一元二次不等式的解集知识梳理ZHISHISHULI判别式Δ=b2-4acΔ0Δ=0Δ0二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象方程ax2+bx+c=0(a0)的根有两相异实根x1,x2(x1x2)没有实数根ax2+bx+c0(a0)的解集____________{x|x∈R}ax2+bx+c0(a0)的解集______________有两相等实根x1=x2=-b2a{x|xx1或xx2}{x|x1xx2}xx≠-b2a∅∅2.常用结论(x-a)(x-b)0或(x-a)(x-b)0型不等式的解法不等式解集aba=bab(x-a)·(x-b)0_________________________________(x-a)·(x-b)0____________________口诀:大于取两边,小于取中间.{x|xa或xb}{x|x≠a}{x|xb或xa}{x|axb}∅{x|bxa}提示显然a≠0.ax2+bx+c0恒成立的条件是a0,Δ0;ax2+bx+c0恒成立的条件是a0,Δ0.1.一元二次不等式ax2+bx+c0(a0)的解集与其对应的函数y=ax2+bx+c的图象有什么关系?提示ax2+bx+c0(a0)的解集就是其对应函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分所对应的x的取值范围.【概念方法微思考】2.一元二次不等式ax2+bx+c0(0)恒成立的条件是什么?题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若不等式ax2+bx+c0的解集为(x1,x2),则必有a0.()(2)若不等式ax2+bx+c0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c0的解集为R.()(4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a0且Δ=b2-4ac≤0.()(5)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c0的解集一定不是空集.()√√××基础自测JICHUZICE123456√题组二教材改编2.已知集合A={x|x2-x-60},则∁RA等于A.{x|-2x3}B.{x|-2≤x≤3}C.{x|x-2}∪{x|x3}D.{x|x≤-2}∪{x|x≥3}√1234563.y=log2(3x2-2x-2)的定义域是_____________________________.123456-∞,1-73∪1+73,+∞解析由题意,得3x2-2x-20,令3x2-2x-2=0,得x1=1-73,x2=1+73,∴3x2-2x-20的解集为-∞,1-73∪1+73,+∞.123456题组三易错自纠4.不等式-x2-3x+40的解集为________.(用区间表示)解析由-x2-3x+40可知,(x+4)(x-1)0,得-4x1.(-4,1)1234565.若关于x的不等式ax2+bx+20的解集是-12,13,则a+b=____.解析∵x1=-12,x2=13是方程ax2+bx+2=0的两个根,∴a4-b2+2=0,a9+b3+2=0,解得a=-12,b=-2,∴a+b=-14.-146.不等式(a-2)x2+2(a-2)x-40,对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是A.(-∞,2]B.(-2,2]C.(-2,2)D.(-∞,2)另a=2时,原式化为-40,不等式恒成立,∴-2a≤2.故选B.123456解析∵a-20,Δ0,∴-2a2,√2题型分类深度剖析PARTTWO题型一一元二次不等式的求解命题点1不含参的不等式例1(2019·呼和浩特模拟)已知集合A={x|x2-x-20},B={y|y=2x},则A∩B等于A.(-1,2)B.(-2,1)C.(0,1)D.(0,2)解析由题意得A={x|x2-x-20}={x|-1x2},B={y|y=2x}={y|y0},∴A∩B={x|0x2}=(0,2).故选D.多维探究√命题点2含参不等式解原不等式变为(ax-1)(x-1)0,例2解关于x的不等式ax2-(a+1)x+10(a0).因为a0,所以x-1a(x-1)0.所以当a1时,解为1ax1;当0a1时,解为1x1a.当a=1时,解集为∅;综上,当0a1时,不等式的解集为x1x1a;当a1时,不等式的解集为x1ax1.当a=1时,不等式的解集为∅;对含参的不等式,应对参数进行分类讨论:①根据二次项系数为正、负及零进行分类.②根据判别式Δ判断根的个数.③有两个根时,有时还需根据两根的大小进行讨论.思维升华跟踪训练1解不等式12x2-axa2(a∈R).解原不等式可化为12x2-ax-a20,即(4x+a)(3x-a)0,令(4x+a)(3x-a)=0,解得x1=-a4,x2=a3.当a0时,不等式的解集为-∞,-a4∪a3,+∞;当a=0时,不等式的解集为(-∞,0)∪(0,+∞);当a0时,不等式的解集为-∞,a3∪-a4,+∞.当m≠0时,则m0,Δ=m2+4m0,即-4m0.题型二一元二次不等式恒成立问题例3已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈R,f(x)0恒成立,求实数m的取值范围.多维探究解当m=0时,f(x)=-10恒成立.命题点1在R上的恒成立问题综上,-4m≤0,故m的取值范围是(-4,0].命题点2在给定区间上的恒成立问题例4已知函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)5-m恒成立,求实数m的取值范围.1.若将“f(x)5-m恒成立”改为“f(x)5-m无解”,如何求m的取值范围?解若f(x)5-m无解,即f(x)≥5-m恒成立,即m≥6x2-x+1恒成立,又x∈[1,3],得m≥6,即m的取值范围为[6,+∞).引申探究2.若将“f(x)5-m恒成立”改为“存在x,使f(x)5-m成立”,如何求m的取值范围?解由题意知f(x)5-m有解,即m6x2-x+1有解,则m6x2-x+1max,又x∈[1,3],得m6,即m的取值范围为(-∞,6).命题点3给定参数范围的恒成立问题解设g(m)=mx2-mx-1=(x2-x)m-1,其图象是直线,当m∈[1,2]时,图象为一条线段,则g10,g20,即x2-x-10,2x2-2x-10,例5若mx2-mx-10对于m∈[1,2]恒成立,求实数x的取值范围.解得1-32x1+32,故x的取值范围为1-32,1+32.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元,谁是参数,一般地,知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.思维升华跟踪训练2函数f(x)=x2+ax+3.(1)当x∈R时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;解∵当x∈R时,x2+ax+3-a≥0恒成立,需Δ=a2-4(3-a)≤0,即a2+4a-12≤0,∴实数a的取值范围是[-6,2].(2)当x∈[-2,2]时,f(x)≥a恒成立,求实数a的取值范围;(3)当a∈[4,6]时,f(x)≥0恒成立,求实数x的取值范围.解令h(a)=xa+x2+3.当a∈[4,6]时,h(a)≥0恒成立.只需h4≥0,h6≥0,即x2+4x+3≥0,x2+6x+3≥0,解得x≤-3-6或x≥-3+6.∴实数x的取值范围是(-∞,-3-6]∪[-3+6,+∞).3课时作业PARTTHREE一、选择题1.已知集合A={x|x≥0},B={x|(x+1)(x-5)0},则A∩B等于A.[-1,4)B.[0,5)C.[1,4]D.[-4,-1)∪[4,5)12345678910111213141516解析由题意得B={x|-1x5},故A∩B={x|x≥0}∩{x|-1x5}=[0,5).故选B.√2.(2018·沈阳二十中联考)若不等式ax2+bx+20的解集为{x|-1x2},则不等式2x2+bx+a0的解集为解析∵不等式ax2+bx+20的解集为{x|-1x2},∴ax2+bx+2=0的两根为-1,2,且a0,A.xx-1或x12B.x-1x12C.{x|-2x1}D.{x|x-2或x1}即-1+2=-ba,(-1)×2=2a,解得a=-1,b=1,则所求不等式可化为2x2+x-10,解得x-1或x12,故选A.√12345678910111213141516A.(-3,0)B.[-3,0]C.[-3,0)D.(-3,0]√123456789101112131415163.若一元二次不等式2kx2+kx-380对一切实数x都成立,则k的取值范围为解析由题意可得k0,Δ=k2-4×2k×-380,解得-3k0.4.若存在实数x∈[2,4],使x2-2x+5-m0成立,则m的取值范围为A.(13,+∞)B.(5,+∞)C.(4,+∞)D.(-∞,13)解析mx2-2x+5,设f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4,x∈[2,4],当x=2时f(x)min=5,∃x∈[2,4]使x2-2x+5-m0成立,即mf(x)min,∴m5.故选B.12345678910111213141516√5.若不等式x2-(a+1)x+a≤0的解集是[-4,3]的子集,则a的取值范围是A.[-4,1]B.[-4,3]C.[1,3]D.[-1,3]√12345678910111213141516解析原不等式为(x-a)(x-1)≤0,当a1时,不等式的解集为[a,1],此时只要a≥-4即可,即-4≤a1;当a=1时,不等式的解为x=1,此时符合要求;当a1时,不等式的解集为[1,a],此时只要a≤3即可,即1a≤3,综上可得-4≤a≤3.6.若不等式x2+ax-20在区间[1,5]上有解,则a的取值范围是12345678910111213141516A.-235,+∞B.-235,1C.(1,+∞)D.-∞,-235解析由Δ=a2+80知方程恒有两个不等实根,又因为x1x2=-20,所以方程必有一正根,一负根,对应二次函数图象的示意图如图.√所以不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f(5)0,解得a-235,故选A.7.在关于x的不等式x2-(a+1)x+a0的解集中至多包含1个整数,则a的取值范围是A.(-3,5)B.(-2,4)C.[-1,3]D.[-2,4]12345678910111213141516解析因为关于x的不等式x2-(a+1)x+a0可化为(x-1)(x-a)0,当a1时,不等式的解集为{x|1xa},当a1时,不等式的解集为{x|ax1},当a=1时,不等式的解集为∅,要使得解集中至多包含1个整数,则a=1或1a≤3或1a≥-1,所以实数a的取值范围是a∈[-1,3],故选C.√8.设a0,(4x2+a)(2x+b)≥0在(a,b)上恒成立,则b-a的最大值为12345678910111213141516