2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题（第1课时）

第1课时范围、最值问题第九章高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题NEIRONGSUOYIN内容索引题型分类深度剖析课时作业题型分类深度剖析1PARTONE题型一范围问题师生共研例1(2018·鞍山质检)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与双曲线x23－y2＝1的离心率互为倒数，且直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点.(1)求椭圆C的标准方程；解∵双曲线的离心率为233，∴椭圆的离心率e＝ca＝32.又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点，∴右顶点为点(2,0)，即a＝2，c＝3，b＝1，∴椭圆方程为x24＋y2＝1.(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围.解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面(1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围.(2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系.(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围.(4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围.(5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围.思维升华所以y1＋y2＝2y0，所以PM垂直于y轴.跟踪训练1(2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上.(1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴；因为PA，PB的中点在抛物线上，证明设P(x0，y0)，A14y21，y1，B14y22，y2.所以y1，y2为方程y＋y022＝4·14y2＋x02，即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根.(2)若P是半椭圆x2＋＝1(x0)上的动点，求△PAB面积的取值范围.y24解由(1)可知y1＋y2＝2y0，y1y2＝8x0－y20，所以|PM|＝18(y21＋y22)－x0＝34y20－3x0，|y1－y2|＝22y20－4x0.所以△PAB的面积S△PAB＝12|PM|·|y1－y2|＝.322003244yx因为x20＋y204＝1(－1≤x00)，所以y20－4x0＝－4x20－4x0＋4∈[4,5]，所以△PAB面积的取值范围是62，15104.命题点1利用三角函数有界性求最值例2过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，则|AF|·|BF|的最小值是A.2B.2C.4D.22题型二最值问题多维探究√解析设直线AB的倾斜角为θ，可得|AF|＝21－cosθ，|BF|＝21＋cosθ，则|AF|·|BF|＝21－cosθ×21＋cosθ＝4sin2θ≥4.命题点2数形结合利用几何性质求最值例3在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2－y2＝1右支上的一个动点.若点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为____.解析双曲线x2－y2＝1的渐近线为x±y＝0，直线x－y＋1＝0与渐近线x－y＝0平行，22故两平行线间的距离d＝|1－0|12＋－12＝22.由点P到直线x－y＋1＝0的距离大于c恒成立，得c≤22，故c的最大值为22.命题点3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值例4已知点P是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，过点P作PQ⊥y轴于点Q，延长QP到点M，使.(1)求点M的轨迹E的方程；QP→＝PM→解设M(x，y)，∵QP→＝PM→，∴P为QM的中点，又有PQ⊥y轴，∴Px2，y，∵点P是圆O：x2＋y2＝1上的点，∴x22＋y2＝1，即点M的轨迹E的方程为x24＋y2＝1.(2)过点C(m,0)作圆O的切线l，交(1)中的曲线E于A，B两点，求△AOB面积的最大值.处理圆锥曲线最值问题的求解方法圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.思维升华(1)求实数m的取值范围；跟踪训练2(2018·锦州模拟)已知椭圆x22＋y2＝1上两个不同的点A，B关于直线y＝mx＋12对称.(2)求△AOB面积的最大值(O为坐标原点).课时作业2PARTTWO1.已知P(x0，y0)是椭圆C：x24＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若PF1→·PF2→0，则x0的取值范围是A.－263，263B.－233，233C.－33，33D.－63，63基础保分练√123456789101112131415162.定长为4的线段MN的两端点在抛物线y2＝x上移动，设点P为线段MN的中点，则点P到y轴距离的最小值为A.1B.C.2D.51234567891011121314151674√解析设M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线y2＝x的焦点为F14，0，抛物线的准线为x＝－14，所求的距离d＝x1＋x22＝x1＋14＋x2＋142－14＝|MF|＋|NF|2－14，所以|MF|＋|NF|2－14≥|MN|2－14＝74(两边之和大于第三边且M，N，F三点共线时取等号).3.过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥π4，点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是A.14，1B.14，＋∞C.12，＋∞D.14，1＋22√12345678910111213141516所以2c2≥a2，所以22≤e1，故选A.123456789101112131415164.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的中心为O，一个焦点为F，若以O为圆心，|OF|为半径的圆与椭圆恒有公共点，则椭圆的离心率的取值范围是A.22，1B.0，32C.32，1D.0，22√解析由于以O为圆心，以b为半径的圆内切于椭圆，所以要使以O为圆心，以c为半径的圆与椭圆恒有公共点，需满足c≥b，则c2≥b2＝a2－c2，A.22B.23C.33D.1√123456789101112131415165.(2018·丹东调研)设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2＝2px(p0)上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|＝2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为123456789101112131415166.在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x2＝4y，点P是C的准线l上的动点，过点P作C的两条切线，切点分别为A，B，则△AOB面积的最小值为A.2B.2C.22D.4√7.椭圆C：＋y2＝1(a1)的离心率为，F1，F2是C的两个焦点，过F1的直线l与C交于A，B两点，则|AF2|＋|BF2|的最大值等于__.12345678910111213141516解得a＝2，由椭圆定义得|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a＝8，即|AF2|＋|BF2|＝8－|AB|，因此|AF2|＋|BF2|的最大值等于8－1＝7.x2a2327解析因为椭圆C的离心率为32，所以a2－1a＝32，而由焦点弦性质，知当AB⊥x轴时，|AB|取最小值2×b2a＝1，8.(2018·沈阳模拟)已知F1，F2是双曲线＝1(a0，b0)的左、右焦点，点P在双曲线的右支上，如果|PF1|＝t|PF2|(t∈(1,3])，则双曲线经过一、三象限的渐近线的斜率的取值范围是________.12345678910111213141516x2a2－y2b2(0，3]9.(2018·赤峰模拟)已知双曲线＝1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A，B两点，AF2，BF2分别交y轴于P，Q两点，若△PQF2的周长为16，则的最大值为___.12345678910111213141516x2a2－y2b2ba＋14310.椭圆＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过椭圆的右焦点F2作一条直线l交椭圆于P，Q两点，则△F1PQ的内切圆面积的最大值是________.12345678910111213141516x24＋y239π161234567891011121314151611.已知曲线C：y2＝4x，曲线M：(x－1)2＋y2＝4(x≥1)，直线l与曲线C交于A，B两点，O为坐标原点.(1)若＝－4，求证：直线l恒过定点；OA→·OB→12345678910111213141516(2)若直线l与曲线M相切，求(点P坐标为(1,0))的取值范围.PA→·PB→1234567891011121314151612.(2018·南昌测试)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(ab0)的一个顶点坐标为B1(0，2)，离心率为22.(1)求椭圆的方程；解顶点坐标为B1(0，2)，b2＝2，ca＝22，椭圆方程为x24＋y22＝1.12345678910111213141516(2)如图，点P－1，12是该椭圆内一点，四边形ABCD(AB∥CD)的对角线AC和BD交于点P，设直线AB：y＝x＋m，记g(m)＝S2△PAB，求f(m)＝g(m)－23m3＋4m－3的最大值.13.已知双曲线Γ：x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的右顶点为A，与x轴平行的直线交Γ于B，C两点，记∠BAC＝θ，若Γ的离心率为2，则A.θ∈0，π2B.θ＝π2C.θ∈3π4，πD.θ＝3π4技能提升练12345678910111213141516√1234567891011121314151614.若点O和点F分别为椭圆＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为___.x29＋y28OP→·FP→615.如图，由抛物线y2＝12x与圆E：(x－3)2＋y2＝16的实线部分构成图形Ω，过点P(3,0)的直线始终与图形Ω中的抛物线部分及圆部分有交点，则|AB|的取值范围为A.[4,5]B.[7,8]C.[6,7]D.[5,6]拓展冲刺练12345678910111213141516√1234567891011121314151616.(2018·南昌测试)已知P23，263是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(ab0)与抛物线E：y2＝2px(p0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F.(1)求椭圆C及抛物线E的方程；12345678910111213141516(2)设过F且互相垂直的两动直线l1，l2，l1与椭圆C交于A，B两点，l2与抛物线E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值.