2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.8 曲线与方程课件 理 新人教A版

§9.8曲线与方程第九章平面解析几何NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE那么，这个方程叫做，这条曲线叫做.一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立如下的对应关系：1.曲线与方程的定义知识梳理ZHISHISHULI曲线的方程方程的曲线这个方程的解曲线上的点2.求动点的轨迹方程的基本步骤任意x，y所求方程1.f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件吗？提示是.如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，则曲线C上的点的坐标满足f(x，y)＝0，以f(x，y)＝0的解为坐标的点也都在曲线C上，故f(x0，y0)＝0是点P(x0，y0)在曲线f(x，y)＝0上的充要条件.2.方程y＝与x＝y2表示同一曲线吗？提示不是同一曲线.【概念方法微思考】x3.若点P到直线x＝－1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P的轨迹是什么图形？提示依题意知，点P到直线x＝－2的距离等于它到点(2,0)的距离，故点P的轨迹是抛物线.4.曲线的交点与方程组的关系是怎样的？提示曲线的交点与方程组的关系(1)两条曲线交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.(3)y＝kx与x＝1ky表示同一直线.()(4)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.()题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线.()(2)到两条互相垂直的直线距离相等的点的轨迹方程是x2＝y2.()××基础自测JICHUZICE1234567××题组二教材改编12345672.已知点，直线l：x＝，点B是l上的动点，若过点B垂直于y轴的直线与线段BF的垂直平分线交于点M，则点M的轨迹是A.双曲线B.椭圆C.圆D.抛物线√解析由已知|MF|＝|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.F14，0－1412345673.曲线C：xy＝2上任一点到两坐标轴的距离之积为______.解析在曲线xy＝2上任取一点(x0，y0)，则x0y0＝2，该点到两坐标轴的距离之积为|x0||y0|＝|x0y0|＝2.24.若过点P(1,1)且互相垂直的两条直线l1，l2分别与x轴，y轴交于A，B两点，则AB中点M的轨迹方程为____________.解析设M的坐标为(x，y)，则A，B两点的坐标分别是(2x,0)，(0,2y)，连接PM，∵l1⊥l2.∴|PM|＝|OM|，1234567x＋y－1＝0而|PM|＝x－12＋y－12，|OM|＝x2＋y2.∴x－12＋y－12＝x2＋y2，化简，得x＋y－1＝0，即为所求的轨迹方程.题组三易错自纠5.方程(2x＋3y－1)(－1)＝0表示的曲线是A.两条直线B.两条射线C.两条线段D.一条直线和一条射线1234567√即2x＋3y－1＝0(x≥3)或x＝4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.x－3解析原方程可化为2x＋3y－1＝0，x－3≥0或x－3－1＝0，12345676.已知M(－1,0)，N(1,0)，|PM|－|PN|＝2，则动点P的轨迹是A.双曲线B.双曲线左支C.一条射线D.双曲线右支√解析由于|PM|－|PN|＝|MN|，所以D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.12345677.已知M(－2,0)，N(2,0)，则以MN为斜边的直角三角形的直角顶点P的轨迹方程是____________________.x2＋y2＝4(x≠±2)解析连接OP，则|OP|＝2，∴P点的轨迹是去掉M，N两点的圆，∴方程为x2＋y2＝4(x≠±2).2题型分类深度剖析PARTTWO题型一定义法求轨迹方程例1已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C，求C的方程.师生共研定义法求轨迹方程(1)在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程.(2)利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是不是完整的曲线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制.思维升华跟踪训练1在△ABC中，|BC|＝4，△ABC的内切圆切BC于D点，且|BD|－|CD|＝，则顶点A的轨迹方程为________________.解析以BC的中点为原点，中垂线为y轴建立如图所示的坐标系，E，F分别为两个切点.则|BE|＝|BD|，|CD|＝|CF|，|AE|＝|AF|.22x22－y22＝1(x2)所以|AB|－|AC|＝224，所以点A的轨迹为以B，C为焦点的双曲线的右支(y≠0)，且a＝2，c＝2，所以b＝2，所以轨迹方程为x22－y22＝1(x2).题型二直接法求轨迹方程例2(2016·全国Ⅲ)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；师生共研(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系翻译为代数方程，要注意翻译的等价性.通常将步骤简记为建系设点、列式、代换、化简、证明这五个步骤，但最后的证明可以省略，如果给出了直角坐标系则可省去建系这一步，求出曲线的方程后还需注意检验方程的纯粹性和完备性.思维升华跟踪训练2(2018·沈阳模拟)在平面直角坐标系xOy中，点P(a，b)为动点，F1，F2分别为椭圆＝1(ab0)的左、右焦点，已知△F1PF2为等腰三角形.(1)求椭圆的离心率e；x2a2＋y2b2解设F1(－c,0)，F2(c,0)(c0).由题意，可得|PF2|＝|F1F2|，即a－c2＋b2＝2c，整理得2ca2＋ca－1＝0，得ca＝－1(舍去)或ca＝12，所以e＝12.(2)设直线PF2与椭圆相交于A，B两点，M是直线PF2上的点，满足＝－2，求点M的轨迹方程.AM→·BM→题型三相关点法求轨迹方程师生共研例3如图所示，抛物线E：y2＝2px(p0)与圆O：x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P(x0，y0)作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.(1)求p的值；解由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为(2,2)，代入y2＝2px，解得p＝1.(2)求动点M的轨迹方程.“相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x1，y1)；思维升华(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x1＝fx，y，y1＝gx，y；(3)代换：将上述关系式代入已知曲线方程，便可得到所求动点的轨迹方程.(4)检验：注意检验方程是否符合题意.跟踪训练3(2018·包头调研)如图，动圆C1：x2＋y2＝t2,1t3与椭圆C2：x29＋y2＝1相交于A，B，C，D四点.点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程.3课时作业PARTTHREE1.方程(x－y)2＋(xy－1)2＝0表示的曲线是A.一条直线和一条双曲线B.两条双曲线C.两个点D.以上答案都不对√基础保分练12345678910111213141516解析由(x－y)2＋(xy－1)2＝0，得x－y＝0，xy－1＝0.解得x＝1，y＝1或x＝－1，y＝－1.故选C.123456789101112131415162.已知点O(0,0)，A(1,2)，动点P满足＝2，则P点的轨迹方程是A.4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0B.4x2＋4y2－4x－8y－1＝0C.8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0D.8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0√|OP→＋AP→|解析设P点的坐标为(x，y)，则OP→＝(x，y)，AP→＝(x－1，y－2)，OP→＋AP→＝(2x－1,2y－2).所以(2x－1)2＋(2y－2)2＝4，整理得4x2＋4y2－4x－8y＋1＝0.故选A.123456789101112131415163.在平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是A.直线B.椭圆C.圆D.双曲线√OC→＝λ1OA→＋λ2OB→解析设C(x，y)，则OC→＝(x，y)，OA→＝(3,1)，OB→＝(－1,3)，∵OC→＝λ1OA→＋λ2OB→∴x＝3λ1－λ2，y＝λ1＋3λ2，又λ1＋λ2＝1，∴化简得x＋2y－5＝0，表示一条直线.4.设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点.若BP→＝2PA→，且OQ→·AB→＝1，则点P的轨迹方程是A.32x2＋3y2＝1(x0，y0)B.32x2－3y2＝1(x0，y0)C.3x2－32y2＝1(x0，y0)D.3x2＋32y2＝1(x0，y0)12345678910111213141516√则满足条件①，②，③的轨迹方程依次为A.C3，C1，C2B.C1，C2，C3C.C3，C2，C1D.C1，C3，C25.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，A(x，y)，给出△ABC满足的条件，就能得到动点A的轨迹方程.下表给出了一些条件及方程：√12345678910111213141516条件方程①△ABC周长为10C1：y2＝25②△ABC面积为10C2：x2＋y2＝4(y≠0)③△ABC中，∠A＝90°C3：＝1(y≠0)x29＋y256.(2018·抚顺模拟)如图，斜线段AB与平面α所成的角为60°，B为斜足，平面α上的动点P满足∠PAB＝30°，则点P的轨迹是A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支12345678910111213141516√解析可构造如图所示的圆锥.母线与中轴线夹角为30°，然后用平面α去截，使直线AB与平面α的夹角为60°，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆.故选C.解析设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，7.已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________.123456789101112131415164π得x＋22＋y2＝2x－12＋y2，∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.∴P的轨迹为以(2,0)为圆心，2为半径的圆.即轨迹所包围的图形的面积等于4π.12345678910111213141516因为a≠0且a≠2，所以x≠0且x≠1.8.直线xa＋y2－a＝1与x，y轴交点的中点的轨迹方程是_____________________.x＋y＝1(x≠0且x≠1)解析直线xa＋y2－a＝1与x，y轴的交点为A(a,0)，B(0，2－a)，设AB的中点为M(x，y)，则x＝a2，y＝1－a2，消去a，得x＋y＝1.123456789101112131415169.已知圆的方程为x2＋y2＝4，若抛物线过点A(－1,0)，B(1,0)且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程是_________________.解析设抛物线焦点为F，过A，B，O作准线的垂线AA1，BB1，OO1，则|AA1|＋|BB1|＝2|OO1|＝4，由抛物线定义得|AA1|＋|BB1|＝|FA|＋|FB|，所以|FA|＋|FB|＝42，故F点的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆(去掉长轴两端