2020版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.1 直线的方程课件 文 新人教A版

§9.1直线的方程第九章平面解析几何NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.平面直角坐标系中的基本公式(1)两点的距离公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则d(A，B)＝|AB|＝____________________.(2)中点公式：已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，点M(x，y)是线段AB的中点，则x＝______，y＝_______.知识梳理ZHISHISHULIx2－x12＋y2－y12x1＋x22y1＋y222.直线的倾斜角(1)定义：x轴与直线的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，我们规定，与x轴平行或重合的直线的倾斜角为.(2)倾斜角的范围：.正向向上零度角[0°，180°)3.直线的斜率(1)定义：通常，我们把直线y＝kx＋b中的叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线，人们常说它的斜率不存在；(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k＝______________.若直线的倾斜角为，则k＝.系数ky2－y1x2－x1(x1≠x2)θθ≠π2tanθ4.直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式______________不含直线x＝x0斜截式__________不含垂直于x轴的直线两点式_____________不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式_________不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式_________________________平面直角坐标系内的直线都适用y－y0＝k(x－x0)y＝kx＋by－y1y2－y1＝x－x1x2－x1xa＋yb＝1Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)1.直线都有倾斜角，是不是都有斜率？倾斜角越大，斜率k就越大吗？【概念方法微思考】提示倾斜角α∈[0，π)，当α＝π2时，斜率k不存在；因为k＝tanαα≠π2.当α∈0，π2时，α越大，斜率k就越大，同样α∈π2，π时也是如此，但当α∈(0，π)且α≠π2时就不是了.2.“截距”与“距离”有何区别？当截距相等时应注意什么？提示“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.应注意过原点的特殊情况是否满足题意.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置.()(2)若直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α.()(3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示.()√××√基础自测JICHUZICE123456题组二教材改编2.若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为A.1B.4C.1或3D.1或4√123456解析由题意得m－4－2－m＝1，解得m＝1.3.过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为______________________.3x－2y＝0或x＋y－5＝0解析当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；123456当截距不为0时，设直线方程为xa＋ya＝1，则2a＋3a＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.A.0，π4B.3π4，πC.0，π4∪π2，πD.π4，π2∪3π4，π题组三易错自纠4.直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是√123456解析由直线方程可得该直线的斜率为－1a2＋1，又－1≤－1a2＋10，所以倾斜角的取值范围是3π4，π.5.如果A·C0且B·C0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限123456√解析由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－CA0，在y轴上的截距－CB0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限.6.过直线l：y＝x上的点P(2,2)作直线m，若直线l，m与x轴围成的三角形的面积为2，则直线m的方程为.解析①若直线m的斜率不存在，则直线m的方程为x＝2，直线m，直线l和x轴围成的三角形的面积为2，符合题意；x－2y＋2＝0或x＝2②若直线m的斜率k＝0，则直线m与x轴没有交点，不符合题意；③若直线m的斜率k≠0，设其方程为y－2＝k(x－2)，令y＝0，得x＝2－2k，依题意有12×2－2k×2＝2，即1－1k＝1，解得k＝12，所以直线m的方程为y－2＝12(x－2)，即x－2y＋2＝0.综上可知，直线m的方程为x－2y＋2＝0或x＝2.6123452题型分类深度剖析PARTTWO题型一直线的倾斜角与斜率师生共研例1(1)直线2xcosα－y－3＝0α∈π6，π3的倾斜角的取值范围是A.π6，π3B.π4，π3C.π4，π2D.π4，2π3√(2)(2018·抚顺调研)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为.解析如图，∵kAP＝1－02－1＝1，3(－∞，－3]∪[1，＋∞)kBP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3]∪[1，＋∞).引申探究1.若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.解∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，3)，∴kAP＝1－02－－1＝13，kBP＝3－00－－1＝3.如图可知，直线l斜率的取值范围为13，3.2.若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.解如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°).(1)倾斜角α与斜率k的关系思维升华①当α∈0，π2时，k∈[0，＋∞).②当α＝π2时，斜率k不存在.③当α∈π2，π时，k∈(－∞，0).(2)斜率的两种求法①定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k＝tanα求斜率.②公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k＝y2－y1x2－x1(x1≠x2)求斜率.(3)倾斜角α范围与直线斜率范围互求时，要充分利用y＝tanα的单调性.跟踪训练1(1)若平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，则a等于解析∵平面内三点A(1，－a)，B(2，a2)，C(3，a3)共线，∴kAB＝kAC，A.1±2或0B.2－52或0C.2±52D.2＋52或0√即a2＋a2－1＝a3＋a3－1，即a(a2－2a－1)＝0，解得a＝0或a＝1±2.故选A.(2)直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，则直线l的倾斜角α的取值范围是.所以k＝tanα≥1.π4，π2解析直线l的斜率k＝1＋m23－2＝1＋m2≥1，又y＝tanα在0，π2上是增函数，因此π4≤απ2.题型二求直线的方程例2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；师生共研解设所求直线的斜率为k，依题意(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－14；k＝－14×3＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.思维升华跟踪训练2求适合下列条件的直线方程：(1)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数；解当直线过原点时，方程为y＝32x，即3x－2y＝0.当直线l不过原点时，设直线方程为xa－ya＝1.将P(2,3)代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.(2)过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；解设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.因为tanα＝3，所以tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－34(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)直线过点(－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋y12－a＝1，又直线过点(－3,4)，从而－3a＋412－a＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.题型三直线方程的综合应用命题点1与基本不等式相结合求最值问题例3(2018·包头模拟)已知直线l过点M(2,1)，且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点，求当取得最小值时直线l的方程.多维探究|MA→|·|MB→|命题点2由直线方程解决参数问题例4已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值.解由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，当a＝12时，四边形的面积最小.所以四边形的面积S＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝a－122＋154，与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值.(2)求直线方程.弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程.(3)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.思维升华跟踪训练3过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点.(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程.解因为4a＋1b＝1，a0，b0，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·4a＋1b＝5＋ab＋4ba≥5＋2ab·4ba＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为x6＋y3＝1，即x＋2y－6＝0.3课时作业PARTTHREE一、选择题1.直线x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为A.30°B.60°C.150°D.120°123456789101112131415163解析设直线的倾斜角为α，斜率为k，化直线方程为y＝3x＋a，∴k＝tanα＝3.∵0°≤α180°，∴α＝60°.√2.(2018·大连模拟)过点(2,1)且倾斜角比直线y＝－x－1的倾斜角小的直线方程是A.x＝2B.y＝1C.x＝1D.y＝2解析∵直线y＝－x－1的斜率为－1，√12345678910111213141516π4则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x＝2.3.已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为A.150°B.135°C.120°D.不存在√123456789101112131415162－x24.如图