2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9 函数模型及其应用课件 文 新人

§2.9函数模型及其应用第二章函数概念与基本初等函数ⅠNEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.几类函数模型知识梳理ZHISHISHULI函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)kx函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调_____单调_____单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax2.三种函数模型的性质递增递增y轴x轴请用框图概括解函数应用题的一般步骤.提示解函数应用题的步骤【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使logax0.()(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.()××××基础自测JICHUZICE1234560xaxn07题组二教材改编2.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元√12345673.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为万件.18当x＝18时，L(x)有最大值.解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142，1234561274.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为.解析设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，1234563∴当x＝3时，y最大.75.一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130t－5t2，则该函数的定义域是.[0,26]解析令h≥0，解得0≤t≤26，故所求定义域为[0,26].1234567123456题组三易错自纠6.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为.p＋1q＋1－1解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝1＋p1＋q－1.77.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到只.200解析由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1).当x＝8时，y＝100log39＝200.12345672题型分类深度剖析PARTTWO1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是题型一用函数图象刻画变化过程解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.自主演练√2.(2018·呼和浩特联考)设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.√3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油√判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.思维升华题型二已知函数模型的实际问题例1(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为分钟.师生共研3.75(2)某公司招聘员工，面试对象人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝其中x代表拟录用人数，y代表面试对象人数.若面试对象人数为60，则该公司的拟录用人数为A.15B.40C.25D.70√4x，1≤x≤10，2x＋10，10x≤100，1.5x，x100，解析当1≤x≤10时，y≤40；当x100时，y150.因此所求人数x∈(10,100]，由2x＋10＝60，得x＝25，故选C.求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.思维升华跟踪训练1(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为元.4.24解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.(2)西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销.在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝(x0)，则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大.4解析∵x2＋8x≥24＝4(x0)，当且仅当x＝4时，x2＋8xmin＝4，512－x2＋8x∴当x＝4时，Lmax＝512－4＝432(万元).题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为kg.多维探究19解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.A.y＝2x－2B.y＝12(x2－1)C.y＝log2xD.y＝(2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是解析由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.0112logx√命题点2构造指数函数、对数函数模型例3一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的已知到今年为止，森林剩余面积为原来的(1)求每年砍伐面积的百分比；14，22.解设每年降低的百分比为x(0x1)，则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解得x＝1－12110.(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解设经过m年剩余面积为原来的22，则a(1－x)m＝22a，即1210m＝1212，即m10＝12，解得m＝5.故到今年为止，该森林已砍伐了5年.若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？则n年后剩余面积为22a(1－x)n.引申探究解设从今年开始，以后砍了n年，令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，1210n≥1232，即n10≤32，解得n≤15.故今后最多还能砍伐15年.例4(1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为.命题点3构造y＝x＋ax(a0)型函数5∴年平均利润yx＝12－x＋25x，∵x＋25x≥10，当且仅当x＝5时等号成立.解析根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝米.3323解析由题意可得BC＝18x－x2(2≤x6)，∴y＝18x＋3x2≥218x×3x2＝63.当且仅当18x＝3x2(2≤x6)，即x＝23时等号成立.命题点4构造分段函数模型例5已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；400－6x，0x≤40，7400x－40000x2，x40.(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.解①当0x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104；②当x40时，W＝－40000x－16x＋7360，由于40000x＋16x≥240000x×16x＝1600，当且仅当40000x＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值5760.综合①②，当年产量为32万只时，W取最大值6104万美元.构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.思维升华跟踪训练2(1)某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少至少应过滤次才能达到市场要求.(参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)13，8解析设至少过滤n次才能达到市场要求，则2%1－13n≤0.1%，即23n≤120，所以nlg23≤－1－lg2，所以n≥7.39，所以n＝8.解析由题意，总利润y＝400x－12x2－100x－20000，0≤x≤400，60000－100x，x400，当0≤x≤400时，y＝－12(x－300)2＋25000，(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为200