2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.9 函数模型及其应用课件 理 新人

§2.9函数模型及其应用第二章函数概念与基本初等函数ⅠNEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.几类函数模型知识梳理ZHISHISHULI函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a0且a≠1)幂函数模型f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0)kx2.三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a1)y＝logax(a1)y＝xn(n0)在(0，＋∞)上的增减性单调_____单调_____单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与平行随x的增大逐渐表现为与平行随n值变化而各有不同值的比较存在一个x0，当xx0时，有logaxxnax递增递增y轴x轴【概念方法微思考】请用框图概括解函数应用题的一般步骤.提示解函数应用题的步骤题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使logax0.()(4)“指数爆炸”是指数型函数y＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.()基础自测JICHUZICE1234567××××0xaxn0题组二教材改编12345672.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同D.前6个月的平均收入为40万元√1234563.生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元).一万件售价为20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为______万件.718解析利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值.12124.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为_______.1234567则y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，解析设隔墙的长度为x(0x6)，矩形面积为y，3∴当x＝3时，y最大.12345675.一枚炮弹被发射后，其升空高度h与时间t的函数关系为h＝130t－5t2，则该函数的定义域是________.解析令h≥0，解得0≤t≤26，故所求定义域为[0,26].[0,26]1234566.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为__________________.7解析设年平均增长率为x，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，题组三易错自纠p＋1q＋1－1∴x＝1＋p1＋q－1.1234567.已知某种动物繁殖量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到________只.7解析由题意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1).当x＝8时，y＝100log39＝200.2002题型分类深度剖析PARTTWO题型一用函数图象刻画变化过程自主演练解析v＝f(h)是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.1.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是√解析y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C.又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D.2.(2018·呼和浩特联考)设甲、乙两地的距离为a(a0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为√3.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油√判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.思维升华题型二已知函数模型的实际问题师生共研例1(1)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为________分钟.3.75(2)某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q件，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q＝8300－170p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)A.30元B.60元C.28000元D.23000元√解析设毛利润为L(p)元，则由题意知L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11700p－166000，所以L′(p)＝－3p2－300p＋11700.令L′(p)＝0，解得p＝30或p＝－130(舍去).当p∈(0,30)时，L′(p)0，当p∈(30，＋∞)时，L′(p)0，故L(p)在p＝30时取得极大值，即最大值，且最大值为L(30)＝23000.求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.思维升华跟踪训练1(1)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为______元.解析∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.4.24(2)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.则当Q＝300时，L(Q)的最大值为2500万元.1202500解析L(Q)＝40Q－120Q2－10Q－2000＝－120Q2＋30Q－2000＝－120(Q－300)2＋2500.题型三构建函数模型的实际问题命题点1构造一次函数、二次函数模型多维探究例2(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量x(kg)与其运费y(元)之间的关系由如图所示的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为______kg.解析由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x＝19.19(2)在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是解析由题中表可知函数在(0，＋∞)上是增函数，且y的变化随x的增大而增大的越来越快，分析选项可知B符合，故选B.x1.992345.156.126y1.5174.04187.51218.01A.y＝2x－2B.y＝12(x2－1)C.y＝log2xD.y＝12logx√例3一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；命题点2构造指数函数、对数函数模型则a(1－x)10＝12a，即(1－x)10＝12，解设每年降低的百分比为x(0x1)，1422解得x＝1－.11012(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？解设经过m年剩余面积为原来的22，故到今年为止，该森林已砍伐了5年.则a(1－x)m＝22a，即＝，1012m1212即m10＝12，解得m＝5.若本例的条件不变，试计算：今后最多还能砍伐多少年？则n年后剩余面积为22a(1－x)n.令22a(1－x)n≥14a，即(1－x)n≥24，引申探究解设从今年开始，以后砍了n年，故今后最多还能砍伐15年.≥，即n10≤32，解得n≤15.1012n3212例4(1)某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y(万元)与营运年数x的关系如图所示(抛物线的一段)，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为_____.命题点3构造y＝x＋(a0)型函数解析根据图象求得y＝－(x－6)2＋11，ax5∴年平均利润yx＝12－x＋25x，∵x＋25x≥10，当且仅当x＝5时等号成立.∴要使平均利润最大，客车营运年数为5.(2)某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边夹角为60°(如图)，考虑防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9平方米，且高度不低于米.记防洪堤横断面的腰长为x米，外周长(梯形的上底线段BC与两腰长的和)为y米.要使防洪堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小)，则防洪堤的腰长x＝________米.323解析由题意可得BC＝18x－x2(2≤x6)，∴y＝18x＋3x2≥218x×3x2＝63.当且仅当18x＝3x2(2≤x6)，即x＝23时等号成立.3例5已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万只还需另投入16万美元.设该公司一年内共生产该款手机x万只并全部销售完，每万只的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万只)的函数解析式；解当0x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，当x40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－40000x－16x＋7360.400－6x，0x≤40，7400x－40000x2，x40.命题点4构造分段函数模型所以W＝－6x2＋384x－40，0x≤40，－40000x－16x＋7360，x40.(2)当年产量为多少万只时，该公司在该款手机的生产中所获得的年利润最大？并求出最大年利润.解①当0x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6104，所以Wmax＝W(32)＝6104；②当x40时，W＝－40000x－16x＋7360，由于40000x＋16x≥240000x×16x＝1600，当且仅当40000x＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值5760.综合①②，当年产量为32万只时，W取最大值6104万美元.构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略