2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ2.2 函数的单调性与最值课件 理 新

§2.2函数的单调性与最值第二章函数概念与基本初等函数ⅠNEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.函数单调性的定义知识梳理ZHISHISHULI增函数减函数定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x10，则当时，就称函数y＝f(x)在区间M上是增函数时，就称函数y＝f(x)在区间M上是减函数Δy＝f(x2)－f(x1)0Δy＝f(x2)－f(x1)0图象自左向右看图象是_______自左向右看图象是_______下降的上升的2.单调性与单调区间如果一个函数在某个区间M上是或是，就说这个函数在这个区间M上具有单调性，区间M称为.3.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的x∈I，都有；(2)存在x0∈I，使得_________(3)对于任意的x∈I，都有；(4)存在x0∈I，使得_________结论M为最大值M为最小值增函数减函数单调区间f(x)≤Mf(x)≥Mf(x0)＝Mf(x0)＝M1.在判断函数的单调性时，你还知道哪些等价结论？【概念方法微思考】提示对∀x1，x2∈D，fx1－fx2x1－x20⇔f(x)在D上是增函数，减函数类似.2.写出对勾函数y＝x＋ax(a0)的增区间.提示(－∞，－a]和[a，＋∞).题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若定义在R上的函数f(x)，有f(－1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数.()(2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()(3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(4)如果一个函数在定义域内的某几个子区间上都是增函数，则这个函数在定义域上是增函数.()(5)所有的单调函数都有最值.()××××基础自测JICHUZICE×1234561x78题组二教材改编1234562.函数f(x)＝x2－2x的单调递增区间是_____________________.[1，＋∞)(或(1，＋∞))7821234563.函数y＝2x－1在[2,3]上的最大值是______.784.若函数f(x)＝x2－2mx＋1在[2，＋∞)上是增函数，则实数m的取值范围是___________.123456(－∞，2]解析由题意知，[2，＋∞)⊆[m，＋∞)，∴m≤2.78123456题组三易错自纠5.函数y＝的单调递减区间为__________.212log(4)x－(2，＋∞)781234566.已知函数f(x)＝a－2x，x≥2，12x－1，x2，满足对任意的实数x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，则实数a的取值范围为____________.－∞，138解析由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有a－20，a－2×2≤122－1，由此解得a≤138，即实数a的取值范围是－∞，138.78123456解析由条件知－2≤a＋1≤2，－2≤2a≤2，a＋12a，7.函数y＝f(x)是定义在[－2,2]上的减函数，且f(a＋1)f(2a)，则实数a的取值范围是________.[－1,1)解得－1≤a1.78123458.函数f(x)＝1x，x≥1，－x2＋2，x1的最大值为______.2解析当x≥1时，函数f(x)＝为减函数，所以f(x)在x＝1处取得最大值，为f(1)＝1；当x1时，易知函数f(x)＝－x2＋2在x＝0处取得最大值，为f(0)＝2.故函数f(x)的最大值为2.1x6782题型分类深度剖析PARTTWO题型一确定函数的单调性多维探究命题点1求函数的单调区间A.(1，＋∞)B.－∞，34例1(1)函数y＝的单调递减区间为C.12，＋∞D.34，＋∞√212log(231)xx－＋(2)(2018·沈阳检测)设函数f(x)＝1，x0，0，x＝0，－1，x0，g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是________.[0,1)解析由题意知g(x)＝x2，x1，0，x＝1，－x2，x1，该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1).例2判断并证明函数f(x)＝ax2＋(其中1a3)在[1,2]上的单调性.1x命题点2讨论函数的单调性如何用导数法求解本例？引申探究因为1≤x≤2，所以1≤x3≤8，又1a3，所以2ax3－10，所以f′(x)0，解f′(x)＝2ax－1x2＝2ax3－1x2，所以函数f(x)＝ax2＋1x(其中1a3)在[1,2]上是增函数.确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接.(4)具有单调性函数的加减.思维升华跟踪训练1(1)下列函数中，满足“∀x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0”的是A.f(x)＝2xB.f(x)＝|x－1|C.f(x)＝－xD.f(x)＝ln(x＋1)解析由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]0可知，f(x)在(0，＋∞)上是减函数，A，D选项中，f(x)为增函数；B中，f(x)＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调；对于f(x)＝－x，因为y＝与y＝－x在(0，＋∞)上单调递减，因此f(x)在(0，＋∞)上是减函数.√1x1x1x(2)函数f(x)＝(a－1)x＋2在R上单调递增，则函数g(x)＝a|x－2|的单调递减区间是__________.解析因为f(x)在R上单调递增，所以a－10，即a1，因此g(x)的单调递减区间就是y＝|x－2|的单调递减区间(－∞，2].(－∞，2](3)函数f(x)＝|x－2|x的单调递减区间是________.解析f(x)＝x2－2x，x≥2，－x2＋2x，x2.[1,2]画出f(x)图象，由图知f(x)的单调递减区间是[1,2].题型二函数的最值自主演练解析由y＝x2－1x2＋1，可得x2＝1＋y1－y.1.函数y＝x2－1x2＋1的值域为__________.[－1,1)由x2≥0，知1＋y1－y≥0，解得－1≤y1，故所求函数的值域为[－1,1).则y＝cosθ＋sinθ＝2sinθ＋π4，θ∈[0，π]，所以－1≤y≤2，故原函数的最大值为2.解析由1－x2≥0，可得－1≤x≤1.可令x＝cosθ，θ∈[0，π]，2.函数y＝x＋1－x2的最大值为_____.2解析函数y＝－2x＋1，x≤－1，3，－1x2，2x－1，x≥2.3.函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为__________.作出函数的图象如图所示.根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞).[3，＋∞)解析由y＝5x－14x＋2，可得y＝54－742x＋1.4.当－3≤x≤－1时，函数y＝5x－14x＋2的最小值为________.85∵－3≤x≤－1，∴720≤－742x＋1≤74，∴85≤y≤3.∴所求函数的最小值为85.解析由于y＝13x在[－1,1]上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，5.函数f(x)＝13x－log2(x＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________.3所以f(x)在[－1,1]上单调递减，故f(x)在[－1,1]上的最大值为f(－1)＝3.6.若函数f(x)＝x2＋ax＋b在区间[0,1]上的最大值是M，最小值是m，则M－mA.与a有关，且与b有关B.与a有关，但与b无关C.与a无关，且与b无关D.与a无关，但与b有关√求函数最值的五种常用方法及其思路(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值.(4)分离常数法：形如求y＝(ac≠0)的函数的值域或最值常用分离常数法求解.(5)均值不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用均值不等式求出最值.思维升华cx＋dax＋b题型三函数单调性的应用命题点1比较函数值的大小例3已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，[f(x2)－f(x1)]·(x2－x1)0恒成立，设a＝，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为A.cabB.cbaC.acbD.bac多维探究解析根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且在(1，＋∞)上是减函数，因为a＝f－12＝f52，且2523，所以bac.f－12√解析因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)2得f(x2－4)f(1)，所以0x2－41，解得－5x－2或2x5.命题点2解函数不等式例4已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)2，则实数x的取值范围是______________________.(－5，－2)∪(2，5)命题点3求参数的取值范围例5(1)(2018·全国Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]上是减函数，则a的最大值是A.π4B.π2C.3π4D.π√解析由题意，得12＋12a－2≤0，则a≤2，又y＝ax－a(x1)是增函数，故a1，所以a的取值范围为1a≤2.(2)已知函数f(x)＝若f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________.x2＋12a－2，x≤1，ax－a，x1，(1,2](3)若函数f(x)＝ln(ax2＋x)在区间(0,1)上单调递增，则实数a的取值范围为____________.－12，＋∞函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小.(2)解不等式.利用函数的单调性将“f”符号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注意函数的定义域.(3)利用单调性求参数.①依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较；②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的；③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值.思维升华跟踪训练2(1)如果函数f(x)＝2－ax＋1，x1，ax，x≥1满足对任意x1≠x2，都有fx1－fx2x1－x20成立，那么a的取值范围是________.32，2(2)定义在R上的奇函数y＝f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且＝0，则不等式0的解集为__________________.f1219logfxx0x13或1x33课时作业PARTTHREE1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是基础保分练解析函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数.12345678910111213141516A.y＝ln(x＋2)B.y＝－x＋1C.y＝12xD.y＝x＋1x√2.函数y＝的单调递增区间为解析由－x2＋x＋60，得－2x3，故函数的定义域为(－2,3)，令t＝－x2＋A.12，3B.－2，12C.12，＋∞D.－∞，12√21