2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法(一)——证明

§8.7立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直第八章立体几何与空间向量NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE知识梳理ZHISHISHULI1.用向量表示直线或点在直线上的位置(1)给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP→＝ta，则此向量方程叫做直线l以t为参数的参数方程.向量a称为该直线的方向向量.(2)对空间任一确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t，满足等式OP→＝(1－t)OA→＋tOB→，叫做空间直线的向量参数方程.2.用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔.(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔.(3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔.3.用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔⇔.(2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔⇔.v1∥v2存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2v⊥uu1∥u2v1⊥v2v1·v2＝0v∥uu1⊥u2u1·u2＝01.直线的方向向量如何确定？【概念方法微思考】2.如何确定平面的法向量？提示l是空间一直线，A，B是l上任意两点，则AB→及与AB→平行的非零向量均为直线l的方向向量.提示设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为n·a＝0，n·b＝0.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的.()(2)平面的单位法向量是唯一确定的.()(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行.()(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行.()(5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行.()(6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行.()基础自测JICHUZICE12345××√√××6题组二教材改编2.设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为______；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为_____.12345α⊥βα∥β解析当v＝(3，－2,2)时，u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0⇒α⊥β.当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2u⇒α∥β.6123453.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是_____.垂直6题组三易错自纠4.直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有A.l∥αB.l⊥αC.l与α斜交D.l⊂α或l∥α12345解析由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α，故选B.6√123455.已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3，1，－4)，则A.α∥βB.α⊥βC.α，β相交但不垂直D.以上均不对6解析∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β既不平行，也不垂直.√123456.已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是A.(－1,1,1)B.(1，－1,1)6C.－33，－33，－33D.33，33，－33解析设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量，AB→＝(－1,1,0)，AC→＝(－1,0,1)，则n·AB→＝0，n·AC→＝0，化简得－x＋y＝0，－x＋z＝0，∴x＝y＝z.故选C.√2题型分类深度剖析PARTTWO题型一利用空间向量证明平行问题师生共研例1如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点.求证：PB∥平面EFG.若本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.引申探究利用空间向量证明平行的方法思维升华线线平行证明两直线的方向向量共线线面平行①证明该直线的方向向量与平面的某一法向量垂直；②证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行①证明两平面的法向量为共线向量；②转化为线面平行、线线平行问题跟踪训练1如图，在三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°.点D，E，N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA＝AC＝4，AB＝2.求证：MN∥平面BDE.题型二利用空间向量证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点.求证：AB1⊥平面A1BD.多维探究命题点1证明线面垂直命题点2证明面面垂直例3如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB.求证：平面BCE⊥平面CDE.利用空间向量证明垂直的方法思维升华线线垂直证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示跟踪训练2如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：(1)PA⊥BD；(2)平面PAD⊥平面PAB.题型三利用空间向量解决探索性问题师生共研例4(2019·锦州模拟)如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E，F分别是AB，PB的中点.(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.思维升华对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”.跟踪训练3如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED.2(1)求证：PA⊥平面ABCD；证明∵PA＝AD＝1，PD＝2，∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD.又PA⊥CD，AD∩CD＝D，AD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥平面ABCD.(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，请说明理由.3课时作业PARTTHREE12345678910111213141516基础保分练1.若直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,1,1)，则A.l∥αB.l⊥αC.l⊂α或l∥αD.l与α斜交解析∵a＝(1,0,2)，n＝(－2,1,1)，∴a·n＝0，即a⊥n，∴l∥α或l⊂α.√12345678910111213141516解析由a，b为共线向量，知n≠0且22n＝36＝m8，解得m＝4，n＝2，则m＋n＝6.故选C.2.若a＝(2,3，m)，b＝(2n,6,8)，且a，b为共线向量，则m＋n的值为A.7B.52C.6D.8√3.已知平面α内有一点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3,6)，则下列点P中，在平面α内的是A.P(2,3,3)B.P(－2,0,1)C.P(－4,4,0)D.P(3，－3,4)12345678910111213141516解析逐一验证法，对于选项A，MP→＝(1,4,1)，∴MP→·n＝6－12＋6＝0，∴MP→⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.√123456789101112131415164.如图，F是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱CD的中点，E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有A.B1E＝EBB.B1E＝2EBC.B1E＝12EBD.E与B重合√123456789101112131415165.设u＝(－2,2，t)，v＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量.若α⊥β，则t等于A.3B.4C.5D.6√解析∵α⊥β，∴u·v＝－2×6＋2×(－4)＋4t＝0，∴t＝5.123456789101112131415166.已知AB→＝(1,5，－2)，BC→＝(3,1，z)，若AB→⊥BC→，BP→＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝____.257解析由条件得3＋5－2z＝0，x－1＋5y＋6＝0，3x－1＋y－3z＝0，解得x＝407，y＝－157，z＝4，∴x＋y＝407－157＝257.123456789101112131415167.(2018·呼和浩特质检)已知平面α内的三点A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是_____.α∥β解析设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由m·AB→＝0，得x·0＋y－z＝0，即y＝z，由m·AC→＝0，得x－z＝0，即x＝z，取x＝1，∴m＝(1,1,1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.123456789101112131415168.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB→＝(2，－1，－4)，AD→＝(4,2,0)，AP→＝(－1,2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP→是平面ABCD的法向量；④AP→∥BD→.其中正确的是_______.(填序号)①②③123456789101112131415169.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和为___.11234567891011121314151610.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝12PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.1234567891011121314151611.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点.(1)证明：AC⊥BC1；12345678910111213141516(2)证明：AC1∥平面CDB1.证明设CB1与C1B的交点为E，连接DE，则E(0,2,2)，DE→＝－32，0，2，AC1→＝(－3,0,4)，所以DE→＝12AC1→，DE∥AC1.因为DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，所以AC1∥平面CDB1.1234567891011121314151612.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C和侧面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点.求证：(1)MN∥平面A1B1C1；12345678910111213141516(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.12345678910111213141516技能提升练13.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE，则M点的坐标为A.(1,1,1)B.23，23，1C.22，22，1D.24，24，1√1234567891011121314151614.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a3，则MN与平面BB1C1C的位置关系是A.相交B.平行C.垂直D.MN在平面BB1C1C内√1234567891