2020版高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算课件 理 新人教A

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§8.6空间向量及其运算第八章立体几何与空间向量NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.空间向量的有关概念及定理知识梳理ZHISHISHULI语言描述共线向量(平行向量)如果空间一些向量的基线,则这些向量叫做共线向量或平行向量共线向量定理两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在唯一的实数x,使______互相平行或重合a=xb共面向量定理如果两个向量a、b不共线,则向量c与向量a,b共面的充要条件是,存在唯一的一对实数x,y,使__________空间向量分解定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在一个的有序实数组x,y,z,使_____________c=xa+yb唯一p=xa+yb+zc2.两向量的夹角已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则角∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作,通常规定.3.两条异面直线所成的角把异面直线平移到,这时两条直线的夹角()叫做两条异面直线所成的角.〈a,b〉0≤〈a,b〉≤πOA→OB→一个平面内锐角或直角4.数量积及坐标运算(1)两个向量的数量积:①a·b=;②a⊥b⇔(a,b为非零向量);③|a|2=,|a|=.|a||b|cos〈a,b〉a·b=0a·ax2+y2+z2(2)向量的坐标运算:a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)向量和a+b=______________________向量差a-b=______________________数量积a·b=_______________数乘向量λa=______________(a1+b1,a2+b2,a3+b3)(a1-b1,a2-b2,a3-b3)a1b1+a2b2+a3b3(λa1,λa2,λa3)共线a∥b(b≠0)⇔________________________a∥b⇔(b与三个坐标平面都不平行)垂直a⊥b⇔__________________夹角公式cos〈a,b〉=________________________a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3a1b1=a2b2=a3b3a1b1+a2b2+a3b3=0a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23·b21+b22+b231.共线向量与共面向量相同吗?提示不相同.平行于同一平面的向量就为共面向量.【概念方法微思考】2.零向量能作为基向量吗?提示不能.由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故零向量不能作为基向量.3.空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗?提示无关.这是因为一个确定的几何体,其“线线”夹角、“点点”距离都是固定的,坐标系的位置不同,只会影响其计算的繁简,不会影响结果.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)空间中任意两个非零向量a,b共面.()(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b·c).()(3)对于非零向量b,由a·b=b·c,则a=c.()(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同.()基础自测JICHUZICE12345√×××6(6)若a·b0,则〈a,b〉是钝角.()(5)若A,B,C,D是空间任意四点,则有AB→+BC→+CD→+DA→=0.()√×题组二教材改编123456A.-12a+12b+cB.12a+12b+cC.-12a-12b+cD.12a-12b+c2.如图所示,在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点.若AB→=a,AD→=b,AA1→=c,则下列向量中与BM→相等的向量是√123453.正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为____.=12+22+12+2(1×2×cos120°+0+2×1×cos120°)=2,62解析|EF→|2=EF→2=(EC→+CD→+DF→)2=EC→2+CD→2+DF→2+2(EC→·CD→+EC→·DF→+CD→·DF→)∴|EF→|=2,∴EF的长为2.题组三易错自纠4.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则直线AB与CD的位置关系是A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直123456解析由题意得,AB→=(-3,-3,3),CD→=(1,1,-1),∴AB→=-3CD→,∴AB→与CD→共线,√又AB与CD没有公共点,∴AB∥CD.123455.已知a=(2,3,1),b=(-4,2,x),且a⊥b,则|b|=_____.626解析∵a⊥b,∴a·b=2×(-4)+3×2+1·x=0,∴x=2,∴|b|=-42+22+22=26.12345解析∵P,A,B,C四点共面,66.O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且OP→=34OA→+18OB→+tOC→,若P,A,B,C四点共面,则实数t=___.18∴34+18+t=1,∴t=18.2题型分类深度剖析PARTTWO题型一空间向量的线性运算师生共研例1如图所示,在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中,各面为平行四边形,设AA1→=a,AB→=b,AD→=c,M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表示以下各向量:(1)AP→;(2)MP→+NC1→.解因为M是AA1的中点,所以MP→=MA→+AP→=12A1A→+AP→=-12a+a+c+12b=12a+12b+c.又NC1→=NC→+CC1→=12BC→+AA1→=12AD→+AA1→=12c+a,所以MP→+NC1→=12a+12b+c+a+12c=32a+12b+32c.用基向量表示指定向量的方法(1)结合已知向量和所求向量观察图形.(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.思维升华跟踪训练1(1)如图所示,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.用AB→,AD→,AA1→表示OC1→,则OC1→=_______________.12AB→+12AD→+AA1→解析∵OC→=12AC→=12(AB→+AD→),∴OC1→=OC→+CC1→=12(AB→+AD→)+AA1→=12AB→+12AD→+AA1→.(2)如图,在三棱锥O—ABC中,M,N分别是AB,OC的中点,设OA→=a,OB→=b,OC→=c,用a,b,c表示NM→,则NM→等于A.12(-a+b+c)B.12(a+b-c)C.12(a-b+c)D.12(-a-b+c)√解析NM→=NA→+AM→=(OA→-ON→)+12AB→=OA→-12OC→+12(OB→-OA→)=12OA→+12OB→-12OC→=12(a+b-c).题型二共线定理、共面定理的应用例2如图,已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA的中点.师生共研(1)求证:E,F,G,H四点共面;证明因为EH→=AH→-AE→(2)求证:BD∥平面EFGH.=12AD→-12AB→=12(AD→-AB→)=12BD→,所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH,BD⊄平面EFGH,所以BD∥平面EFGH.证明三点共线和空间四点共面的方法比较思维升华三点(P,A,B)共线空间四点(M,P,A,B)共面PA→=λPB→且同过点PMP→=xMA→+yMB→对空间任一点O,OP→=OA→+tAB→对空间任一点O,OP→=OM→+xMA→+yMB→对空间任一点O,OP→=xOA→+(1-x)OB→对空间任一点O,OP→=xOM→+yOA→+(1-x-y)OB→跟踪训练2如图所示,已知斜三棱柱ABC—A1B1C1,点M,N分别在AC1和BC上,且满足AM→=kAC1→,BN→=kBC→(0≤k≤1).(1)向量MN→是否与向量AB→,AA1→共面?(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行?题型三空间向量数量积的应用师生共研例3如图所示,已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点.(1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;(2)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.思维升华(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.(2)利用夹角公式,可以求异面直线所成的角,也可以求二面角.(3)可以通过|a|=a2,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.跟踪训练3如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱长度都为1,且两两夹角为60°.(1)求AC1→的长;解记AB→=a,AD→=b,AA1→=c,∴a·b=b·c=c·a=12.|AC1→|2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=1+1+1+2×12+12+12=6,∴|AC1→|=6,即AC1的长为6.则|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,(2)求BD1→与AC→夹角的余弦值.解BD1→=b+c-a,AC→=a+b,∴|BD1→|=2,|AC→|=3,BD1→·AC→=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1,∴cos〈BD1→,AC→〉=BD1→·AC→|BD1→||AC→|=66.即BD1→与AC→夹角的余弦值为66.3课时作业PARTTHREE12345678910111213141516基础保分练A.(0,3,-6)B.(0,6,-20)C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)1.已知a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=12x-2a,则x等于得x=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20).解析由b=12x-2a,√2.在下列命题中:①若向量a,b共线,则向量a,b所在的直线平行;②若向量a,b所在的直线为异面直线,则向量a,b一定不共面;③若三个向量a,b,c两两共面,则向量a,b,c共面;④已知空间的三个向量a,b,c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,y,z使得p=xa+yb+zc.其中正确命题的个数是A.0B.1C.2D.312345678910111213141516√3.已知向量a=(2m+1,3,m-1),b=(2,m,-m),且a∥b,则实数m的值等于12345678910111213141516A.32B.-2C.0D.32或-2√解析当m=0时,a=(1,3,-1),b=(2,0,0),a与b不平行,∴m≠0,∵a∥b,∴2m+12=3m=m-1-m,解得m=-2.123456789101112131415164.在空间直角坐标系中,已知A(1,-2,1),B(2,2,2),点P在z轴上,且满足|PA|=|PB|,则P点坐标为A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(0,0,-3)解析设P(0,0,z),则有1-02+-2-02+1-z2=2-02+2-02+2-z2,解得z=3.√12345678910111213141516A.5π6B.2π3C.π3D.π65.已知a=(1,0,1),b=(x,1,2),且a·b=3,则向量a与b的夹角为解析∵a·b=x+2=3,∴x=1,∴b=(1,1,2),∴cos〈a,b〉=a·b|a||b|=32×6=32,又∵〈a,b〉∈[0,π],∴a与b的夹角为π6,故选D.√123456789101112131415166.如图,在大小为45°的二面角A-EF-D中,四边形ABFE,CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是A.3B.2C.1D.3-2解析∵BD→=BF→+FE→+ED→,∴|BD→|2=|BF→|2+|FE→|2+|ED→|2+2BF→·FE→+2FE→·ED→+2BF→·ED
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