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§8.3平面的基本性质与推论第八章立体几何NEIRONGSUOYIN内容索引基础知识自主学习题型分类深度剖析课时作业1基础知识自主学习PARTONE1.平面的基本性质及推论知识梳理ZHISHISHULI(1)平面的基本性质基本性质1：如果一条直线上的在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内.基本性质2：经过的三点，有且只有一个平面.基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们______________过这个点的公共直线.两点不在同一直线上有且只有一条(2)平面基本性质的推论推论1：经过一条直线和的一点，有且只有一个平面.推论2：经过两条，有且只有一个平面.推论3：经过两条，有且只有一个平面.2.直线与直线的位置关系直线外相交直线平行直线(1)位置关系的分类异面直线：既不又不的直线平行相交共面直线平行相交(2)判断两直线异面：与一平面相交于一点的直线与______________________的直线是异面直线.3.直线与平面的位置关系有、、___________三种情况.4.平面与平面的位置关系有、两种情况.这个平面内不经过交点直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行平行相交分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线吗？提示不一定.因为异面直线不同在任何一个平面内.分别在两个不同平面内的两条直线可能平行或相交.【概念方法微思考】题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.()(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线.()(3)如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合.()(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面.()基础自测JICHUZICE12345√×√×6(5)没有公共点的两条直线是异面直线.()(6)若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a⊂α，b⊂β，则a，b是异面直线.()12345××6题组二教材改编2.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB，AD的中点，则异面直线B1C与EF所成角的大小为A.30°B.45°C.60°D.90°√12345解析连接B1D1，D1C，则B1D1∥EF，故∠D1B1C即为所求的角.又B1D1＝B1C＝D1C，∴△B1D1C为等边三角形，∴∠D1B1C＝60°.6123453.如图，在三棱锥A—BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件________时，四边形EFGH为菱形；AC＝BD∵EF∥AC，EH∥BD，且EF＝12AC，EH＝12BD，解析∵四边形EFGH为菱形，∴EF＝EH，∴AC＝BD.解析∵四边形EFGH为正方形，∴EF＝EH且EF⊥EH，∴AC＝BD且AC⊥BD.(2)当AC，BD满足条件__________________时，四边形EFGH为正方形.AC＝BD且AC⊥BD64.α是一个平面，m，n是两条直线，A是一个点，若m⊄α，n⊂α，且A∈m，A∈α，则m，n的位置关系不可能是A.垂直B.相交C.异面D.平行12345题组三易错自纠解析依题意，m∩α＝A，n⊂α，∴m与n可能异面、相交(垂直是相交的特例)，一定不平行.√6123455.如图，α∩β＝l，A，B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过A.点AB.点BC.点C但不过点MD.点C和点M解析∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根据公理3可知，M在γ与β的交线上.同理可知，点C也在γ与β的交线上.√6123456.如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为__.解析平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化，则AB，CD，EF和GH在原正方体中，显然AB与CD，EF与GH，AB与GH都是异面直线，而AB与EF相交，CD与GH相交，CD与EF平行.故互为异面的直线有且只有3对.362题型分类深度剖析PARTTWO题型一平面基本性质的应用例1如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是AB和AA1的中点.求证：(1)E，C，D1，F四点共面；师生共研(2)CE，D1F，DA三线共点.证明∵EF∥CD1，EFCD1，∴CE与D1F必相交，设交点为P，如图所示.则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.同理P∈平面ADD1A1.又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，∴P∈直线DA，∴CE，D1F，DA三线共点.共面、共线、共点问题的证明(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证两平面重合.(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上.(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点.思维升华跟踪训练1如图，在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求证：E，F，G，H四点共面；证明∵E，F分别为AB，AD的中点，∴EF∥BD.∴GH∥BD，∴EF∥GH.∴E，F，G，H四点共面.∵在△BCD中，BGGC＝DHHC＝12，(2)设EG与FH交于点P，求证：P，A，C三点共线.证明∵EG∩FH＝P，P∈EG，EG⊂平面ABC，∴P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.∴P为平面ABC与平面ADC的公共点.又平面ABC∩平面ADC＝AC，∴P∈AC，∴P，A，C三点共线.题型二判断空间两直线的位置关系例2(1)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是A.l与l1，l2都不相交B.l与l1，l2都相交C.l至多与l1，l2中的一条相交D.l至少与l1，l2中的一条相交师生共研解析由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交.故选D.√(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且A1E＝2ED，CF＝2FA，则EF与BD1的位置关系是A.相交但不垂直B.相交且垂直C.异面D.平行√空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定.异面直线可采用直接法或反证法；平行直线可利用三角形(梯形)中位线的性质及线面平行与面面平行的性质定理；垂直关系往往利用线面垂直或面面垂直的性质来解决.思维升华跟踪训练2(1)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√解析若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.(2)如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：①直线AM与CC1是相交直线；②直线AM与BN是平行直线；③直线BN与MB1是异面直线；④直线AM与DD1是异面直线.其中正确的结论为_____.(注：把你认为正确的结论序号都填上)③④题型三求两条异面直线所成的角师生共研例3(2019·盘锦模拟)如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为A.15B.25C.35D.45√引申探究解设AA1AB＝t(t0)，则AA1＝tAB.∵A1C1＝2，A1B＝t2＋1＝BC1，∴cos∠A1BC1＝A1B2＋BC21－A1C212×A1B×BC1＝t2＋1＋t2＋1－22×t2＋1×t2＋1＝910.将上例条件“AA1＝2AB＝2”改为“AB＝1，若异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为910”，试求AA1AB的值.∵AB＝1，∴AA1＝t.∴t＝3，即AA1AB＝3.用平移法求异面直线所成的角的三个步骤(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；(3)三求：解三角形，求出所作的角.思维升华跟踪训练3(2018·全国Ⅱ)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为A.22B.32C.52D.72√直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题.核心素养之直观想象HEXINSUYANGZHIZHIGUANXIANGXIANG立体几何中的线面位置关系例如图所示，四边形ABEF和ABCD都是梯形，BC∥AD且BC＝12AD，BE∥FA且BE＝12FA，G，H分别为FA，FD的中点.(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；证明由已知FG＝GA，FH＝HD，∴GH∥BC且GH＝BC，∴四边形BCHG为平行四边形.可得GH∥AD且GH＝12AD.又BC∥AD且BC＝12AD，(2)C，D，F，E四点是否共面？为什么？解∵BE∥AF且BE＝12AF，G为FA的中点，∴BE∥FG且BE＝FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.由(1)知BG∥CH.∴EF∥CH，∴EF与CH共面.又D∈FH，∴C，D，F，E四点共面.素养提升平面几何和立体几何在点线面的位置关系中有很多的不同，借助确定的几何模型，利用直观想象讨论点线面关系在平面和空间中的差异.3课时作业PARTTHREE1.四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数为A.4B.3C.2D.112345678910111213141516基础保分练解析首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面，所以最多可以确定四个平面.√2.a，b，c是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是A.若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B.若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C.若a∥b，则a，b与c所成的角相等D.若a⊥b，b⊥c，则a∥c12345678910111213141516解析若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确.故选C.√3.如图所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C∉l，则平面ABC与平面β的交线是A.直线ACB.直线ABC.直线CDD.直线BC√12345678910111213141516解析由题意知，D∈l，l⊂β，所以D∈β，又因为D∈AB，所以D∈平面ABC，所以点D在平面ABC与平面β的交线上.又因为C∈平面ABC，C∈β，所以点C在平面β与平面ABC的交线上，所以平面ABC∩平面β＝CD.123456789101112131415164.如图所示，ABCD－A1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确是A.A，M，O三点共线B.A，M，O，A1不共面C.A，M，C，O不共面D.B，B1，O，M共面√5.(2017·全国Ⅱ)已知直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为12345678910111213141516A.32B.155C.105D.33√123456789101112131415166.正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有__条.解析如图，在正方体AC1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有BB1，DD1，A1B1，A1D1，D1C1，B1C1，共6条.6123456789101112131415167.(2019·东北三省三校模拟)若直线l⊥平面β，平面α⊥平面β，则直线l与平面α的位置关系为_