讲义-第4章-隶属函数的确定方法

数学系•张运杰•模糊数学课程教案第4章•隶属函数的确定方法-1-第4章隶属函数的确定方法在模糊理论的应用中，我们面临的首要问题就是建立模糊集的隶属函数。对于一个特定的模糊集来说，隶属函数不仅基本体现了它所反映的模糊概念的特性，而且通过量化还可以实现相应的数学运算和处理。因此，“正确地”确定隶属函数是应用模糊数学理论恰如其分地定量刻划模糊概念的基础，也是利用模糊数学方法解决各种实际问题的关键。然而，建立一个能够恰如其分地描述模糊概念的隶属函数，并不是一件容易的事情。其原因就在于，一个模糊概念所表现出来的模糊性通常是人对客观模糊现象的主观反映。隶属函数的形成过程基本上是人的心理过程，人的主观因素和心理因素的影响使得隶属函数的确定呈现出复杂性、多样性，也导致到目前为止如何确定隶属函数尚无定法，没有通用的定理或公式可以遵循。但即便如此，鉴于隶属函数在模糊理论中的重要地位，确定隶属函数的方法还是受到了特别的重视，至今已经提出了十几种确定隶属函数的方法，而且其中一些方法基本上摆脱了人的主观因素的影响。本章将选择4种具有代表性的方法予以介绍，它们是：直觉方法，二元对比排序法，模糊统计试验法，最小模糊度法。4.1直觉方法直觉的方法就是人们用自己对模糊概念的认识和理解，或者人们对模糊概念的普遍认同来建立隶属函数。这种方法通常用于描述人们熟知、有共识的客观模糊现象，或者用于难于采集数据的情形。例1考虑描述空气温度的模糊变量或语言变量。如果将描述变量取为“很冷”、“冷”、“凉爽”、“适宜”和“热”，则凭借我们对“很冷”、“冷”、“凉爽”、“适宜”和“热”这几个模糊概念的认知和理解，可以规定这些模糊集的隶属函数曲线如图1所示。0510152025300.51很冷热适宜凉爽冷图1空气温度的隶属函数例2根据人们对汽车行驶速度中“慢速”、“中速”和“快速”这三个概念的普遍认同，可以给出描述这三个概念的模糊集的隶属函数如图2所示。数学系•张运杰•模糊数学课程教案第4章•隶属函数的确定方法-2-0355575950.51慢速中速快速图2汽车行驶速度的隶属函数虽然直觉的方法非常简单，也很直观，但它却包含着对象的背景、环境以及语义上的有关知识，也包含了对这些知识的语言学描述。因此，对于同一个模糊概念，不同的背景、不同的人可能会建立出不完全相同的隶属函数。例如，对于模糊集A={高个子}，如果论域是“成年男性”，则可构造隶属函数如图3(a)所示；而如果论域是“初中一年级男生”，则可构造隶属函数如图3(b)所示。14017018520000.51xTx()14015517020000.51xTx()(a)(b)图3不同论域下“高个子”的隶属函数4.2二元对比排序法有些模糊概念不仅外延是模糊的，其内涵也不十分清晰，如“舒适性”、“满意度”等。对于这样的模糊集建立隶属函数，实际上可以看成是对论域中每个元素隶属于这个模糊概念的程度进行比较、排序。但一般来讲，人们对多个对象的同时比较存在着度量上的困难，为此Saaty教授在设计层次分析法时提出了两两比较的策略。借鉴两两比较排序的思想，人们提出了确定隶属函数的二元对比排序法。二元对比排序方法就是通过对多个对象进行两两对比来确定某种特征下的顺序，由此来决定这些对象对该特征的隶属程度。这种方法更适用于根据事物的抽象性质由专家来确定隶属函数的情形，可以通过多名专家或者一个委员会，甚至一次民意测验来实施，是一种比较实用的确定隶属函数的方法。设U={x,y,z,…}为给定的论域，A是某一模糊概念。二元对比排序法的实施步骤为：1°对任取的一对元素x,y∈U进行比较，得到以y为标准x隶属于A的程度值fy(x)，以及以x为标准y隶属于A的程度值fx(y)。2°计算相对优先度函数：数学系•张运杰•模糊数学课程教案第4章•隶属函数的确定方法-3-Uyxxfyfxfyxfyxy∈∀=,,)}(),(max{)()/((4.1)或Uyxxfyfxfyxfyxy∈∀+=,,)()()()/((4.2)显然，0≤f(x/y)≤1，∀x,y∈U。3°以f(x/y)为元素构造一个矩阵G，称为相对优先矩阵：⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=MMMMLLL)/()/()/()/()/()/()/()/()/(zzfyzfxzfzyfyyfxyfzxfyxfxxfG4°对相对优先矩阵G的每一行取最小值或平均值，即得A的隶属函数为UxyxfxAUy∈∀=∈)},/({min)(或UxxfUxAUyy∈∀=∑∈,)(||1)(例3设U={x,y,z}表示三种服装款式构成的论域，A表示按照某人的标准对服装款式“满意”。对于∀x,y∈U，按照下面表1中给出的方法进行两两比较来计算fy(x)、fx(y)的值。表1两两比较评分表元素x，y相比较fx(y)的取值fy(x)的取值x比y隶属于A的程度相同11x比y隶属于A的程度稍微大13x比y隶属于A的程度明显大15x比y隶属于A的程度突出大17x比y隶属于A的程度绝对大19介于上述某两个判断之间12、4、6、8之一假设经过二元对比得到：fy(x)=7，fx(y)=1；fz(y)=2，fy(z)=1；fz(x)=8，fx(z)=1，则根据相对优先度函数公式(4.1)有：f(x/x)=1，f(x/y)=1，f(x/z)=1f(y/x)=1/7，f(y/y)=1，f(y/z)=1f(z/x)=1/8，f(z/y)=1/2，f(z/z)=1于是可以求得相对优先矩阵：数学系•张运杰•模糊数学课程教案第4章•隶属函数的确定方法-4-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=12/18/1117/1111G如果对相对优先矩阵G的每一行取最小值，则得A的隶属函数为A(x)=1，A(y)=1/7≈0.1429，A(z)=1/8=0.125如果对相对优先矩阵G的每一行取平均值，则得A的隶属函数为A(x)=1，A(y)=5/7≈0.7143，A(z)=13/24≈0.5417例4某汽车研究所拟对4种车型a、b、c、d的乘坐舒适性进行评估。为此，令U={a,b,c,d}，A={乘坐舒适性}，并挑选10名长期从事汽车道路试验的技术人员和司机，通过实际乘坐进行评估，评估方法为：任取两辆车编成一组进行对比，以先乘坐的一辆车为基准，以后乘坐的一辆车为对象作相对比较评分，评分标准如表2所示。表2相对舒适性评分表乘坐感觉很好好稍好相同稍差差很差分值10975310例如，先乘b车再乘a车，相对于b车10人对a车评分的总和为83分，则取fb(a)=0.83，fa(b)=0.17。如此得到的所有评分结果，如表3所示。表3相对舒适性得分表基准yfy(x)abcda0.500.630.700.79b0.370.500.680.69c0.300.320.500.74对象xd0.210.310.260.50(1)如果采用相对优先度函数公式(4.1)，则有：f(a/a)=1，f(a/b)=1，f(a/c)=1，f(a/d)=1f(b/a)=37/63，f(b/b)=1，f(b/c)=1，f(b/d)=1f(c/a)=30/70，f(c/b)=32/68，f(c/c)=1，f(c/d)=1f(d/a)=21/79，f(d/b)=31/69，f(d/c)=26/74，f(d/d)=1可求得相应的相对优先矩阵为数学系•张运杰•模糊数学课程教案第4章•隶属函数的确定方法-5-⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=174/2669/3179/211168/3270/3011163/371111G于是若对相对优先矩阵G的每一行取最小值，则得A的隶属函数为A(a)=1，A(b)=37/63≈0.5873，A(c)=30/70≈0.4286，A(d)=21/79≈0.2658若对相对优先矩阵G的每一行取平均值，则得A的隶属函数为A(a)=1，A(b)=113/126≈0.8968，A(c)=345/476≈0.7248，A(d)=793/1535≈0.5166(2)如果采用相对优先度函数公式(4.2)，则有：f(a/a)=0.50，f(a/b)=0.63，f(a/c)=0.70，f(a/d)=0.79f(b/a)=0.37，f(b/b)=0.50，f(b/c)=0.68，f(b/d)=0.69f(c/a)=0.30，f(c/b)=0.32，f(c/c)=0.50，f(c/d)=0.74f(d/a)=0.21，f(d/b)=0.31，f(d/c)=0.26，f(d/d)=0.50可求得相应的相对优先矩阵为⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛=50.026.031.021.074.050.032.030.069.068.050.037.079.070.063.050.0G于是若对相对优先矩阵G的每一行取最小值，则得A的隶属函数为A(a)=0.50，A(b)=0.37，A(c)=0.30，A(d)=0.21若对相对优先矩阵G的每一行取平均值，则得A的隶属函数为A(a)=0.655，A(b)=0.56，A(c)=0.465，A(d)=0.324.3模糊统计试验法由Bernoulli大数定律我们知道：在n次重复独立试验中，如果事件A发生的频数为nA，则对于任意的ε0有1||lim=⎭⎬⎫⎩⎨⎧−→∞εpnnPAn其中p是事件A发生的概率。这一结论说明，在次数足够多的重复独立随机试验中，随机事件的频率总是稳定在它发生的概率值附近，即事件发生的概率可以通过大量的统计试验来近似确定。数学系•张运杰•模糊数学课程教案第4章•隶属函数的确定方法-6-借用概率论的思想，人们设计了一种称之为模糊统计试验的方法来获得隶属函数：为了确定论域X中的某个元素u0对描述某个模糊概念的模糊集A的隶属关系(即隶属度)，进行n次重复独立统计试验。由于每次试验的条件不同(带有模糊性)，那么每次试验中论域中哪些元素被判定为隶属于A是不大明确的。如果将每次试验中被判定隶属于A的元素构成的集合均记为A*，显然A*是论域X上的分明子集，并且是边界可变的、可移动的，我们通常将A*作为模糊集A的弹性疆域。由于每次试验中或者u0∈A*或者u0∉A*，因而令u0∈A*的次数为m，并称m/n为u0对A的隶属频率。随着n的增大，隶属频率会呈现稳定性，这种稳定性找到了一把度量“隶属程度”的“尺子”。于是，就可以将隶属频率稳定所在的数值，定为u0对A的隶属度A(u0)。归纳起来，模糊统计试验方法的基本步骤是：①在每一次试验下，要对论域中固定的元素u0是否属于一个可变动的分明集合A*(A*作为模糊集A的弹性疆域)作一个确切的判断；注意，在每一次试验下，A*必须是一个确定的清晰集合；②在各次试验中，u0是固定的，而A*在随机变动；如果在所作的n次试验中，元素u0属于A*的次数为m，则元素u0对A的隶属频率定义为：nmAuAu*00试验的总次数的次数的隶属频率对”“∈=当试验次数n足够大时，元素u0的隶属频率总是稳定于某一数，这个稳定的数即为元素u0对A的隶属度。例5为建立“青年人”的隶属函数，以人的年龄作为论域X(参见[7])。①调查若干人选，各自认真考虑“青年人”的含义之后，提出他认为“青年人”最合适的年龄区间(随机地将模糊概念明确化)。表4记录了129人关于“青年人”年龄区间的调查结果。如果设A=“青年人”，那么表中每个区间就是每次试验中的A*。表4关于“青年人”年龄区间调查表18−2518−3017−3020−3515−2818−2518−3519−2817−3016−3015−2815−2516−2818−3018−2518−2817−3015−3018−3018−3515−2517−2517−3018−3518−2518−3016−2818−3018−3515−3018−3515−2815−2516−3218−3018−3517−3018−3516−2820−3016−3018−3518−3518−2917−2818−3518−3518−2518−3016−2817−2715−2616−3518−3515−2515−2718−3516−3014−2518−2518−3020−