2019秋九年级数学上册 第4章 图形的相似 4.7 相似三角形的性质课件 （新版）北师大版

第四章图形的相似初中数学（北师大版）九年级上册知识点一相似三角形对应线段的比内容相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比基本图形  符号表示如图所示,△ABC∽△A‘B’C‘,△ABC和△A’B‘C’的相似比为k,AD是BC边上的高,AE是∠BAC的平分线,AF是BC边的中线,A‘D’是B‘C’边上的高,A‘E’是∠B‘A’C‘的平分线,A’F‘是B’C‘边的中线,那么 = = =kADA'D'AEA'E'AFA'F'例1如图4-7-1,点P在AB的正上方,AB∥CD,AB=2m,CD=6m,点P到CD的距离是2.7m,则AB与CD间的距离是m. 图4-7-1解析如图4-7-2,过点P作PN⊥CD,分别交AB,CD于点M,N.由AB∥CD易得△APB∽△CPD.由相似三角形的性质可知 = ,即 = ,所以PM=0.9(m),所以MN=PN-PM=2.7-0.9=1.8(m).故AB与CD间的距离是1.8m. 图4-7-2PMPNABCD2.7PM26答案1.8如果△ABC∽△A'B'C',相似比为k,则 = = =k.因此AB=kA'B',BC=kB'C',AC=kA'C',∴ = =k,即 =k.由此我们得到:相似三角形的周长比等于相似比. = = · =k·k=k2(AD、A'D'分别为边BC、B'C'上的高).这样,我们得到:相似三角形的面积比等于相似比的平方.''ABAB''BCBC''ACAC''''''ABBCACABBCAC('''''')''''''kABBCACABBCAC'''ABCABC的周长的周长'''ABCABCSS121''''2BCADBCAD''BCBC''ADAD知识点二相似三角形的周长比和面积比例2如图4-7-3,在△ABC中,D为AB的中点,DE∥BC,交AC于E,BE,CD相交于G.(1)求 的值;(2)求 与 的值. 图4-7-3DEBCGEDGBC的周长的周长ADEABCSS分析由DE∥BC,可得△ADE∽△ABC,△DEG∽△CBG,然后利用相似三角形的性质求解即可.解析(1)∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB.∴△ADE∽△ABC,∴ = .∵D是AB的中点,∴ = .∴ = = .(2)∵DE∥BC,∴∠EDC=∠BCD,∠DEG=∠CBG,∴△GED∽△GBC,∴ = = .∵△ADE∽△ABC,∴ = = = .DEBCADABADAB12DEBCADAB12GEDGBC的周长的周长DEBC12ADEABCSS2DEBC21214知识点三相似多边形的性质相似多边形性质边、角相似多边形的对应边的比相等,对应角相等周长相似多边形的周长比等于相似比面积相似多边形的面积比等于相似比的平方例3已知甲、乙两个多边形相似,其相似比为2∶5.若多边形甲的周长为24,则多边形乙的周长为;若两个多边形的面积之和为174,则多边形甲的面积为.解析(1)设甲、乙两个多边形的周长分别为C甲,C乙.根据题意,得 = ,即 = ,∴C乙= =60,即多边形乙的周长为60.(2)设甲、乙两个多边形的面积分别为S甲,S乙.根据题意,得 = = ,∴ = ,即 = ,∴S甲= =24,∴多边形甲的面积为24.CC甲乙2524C乙252452SS甲乙225425SSS乙甲甲4254174S甲294174429答案60;24点拨根据相似多边形的周长比、面积比与相似比的关系列出比例式,用比例的性质列方程解题.题型一利用相似三角形的性质计算线段的长分析根据四边形DEFG是矩形推出DG∥BC,进而得到△ADG∽△ABC,由四边形DEFG的面积与△ADG的面积相等推出△ADG与△ABC的相似比,根据“相似三角形对应边成比例”即可求出DG的长.例1如图4-7-4所示,在△ABC中,E、F都是BC上的点,D、G分别是AB、AC上的点,四边形DEFG是矩形,AH是BC边上的高,AH与DG相交于点K.若BC=12,矩形DEF的面积与△ADG的面积相等,求DG的长.图4-7-4解析∵四边形DEFG是矩形,∴DG∥BC,∴△ADG∽△ABC,∵矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等,且DG⊥KH,∴DG·KH= DG·AK,∴AK=2KH,∴ = ,∴ = = .∵BC=12,∴DG= BC=8.解题技巧解答本题的关键是求△ADG与△ABC的相似比,由于利用两三角形的对应边求相似比比较困难,故转化为利用两三角形对应边上高的比求相似比,以矩形DEFG的面积与△ADG的面积相等为切入点.12AKAH23DGBCAKAH2323题型二相似三角形的性质与判定的综合应用例2如图4-7-5所示,在△ABC和△ADE中, = = ,∠BAD=∠CAE,△ABC的周长是12cm,△ADE的面积是135cm2.(1)求△ADE的周长;(2)求△ABC的面积. 图4-7-5ABADACAE23分析首先根据相似三角形的判定定理判定△ABC和△ADE相似,然后根据相似三角形的周长比等于相似比、相似三角形的面积比等于相似比的平方求解.解析(1)∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,即∠BAC=∠DAE.又∵ = = ,∴△ABC∽△ADE.∵ = ,△ABC的周长是12cm,∴△ADE的周长为 =18cm.(2)∵△ABC∽△ADE,且 = ,∴ = = ,∵△ADE的面积是135cm2,∴S△ABC=135× =60(cm2).解题技巧解答本题的关键是根据相似三角形的判定定理判定△ABC∽△ADE,进而利用相似三角形的性质定理求解.ABADACAE23ABAD231223ABAD23ABCADESS2234949知识点一相似三角形对应线段的比1.(2016甘肃兰州中考)已知△ABC∽△DEF,若△ABC与△DEF的相似比为 ,则△ABC与△DEF对应中线的比为()A. B. C. D. 343443916169答案A∵△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为 ,∴△ABC与△DEF对应中线的比为 ,故选A.34342.已知△ABC∽△DEF,且相似比为4∶3,若△ABC中BC边上的中线AM=8,则△DEF中EF边上的中线DN=.答案6解析由相似三角形对应线段的比等于相似比,得 = ,∵AM=8,∴DN=6.AMDN433.已知△ABC∽△A'B'C',AE和A'E'是它们的对应高,AB=4cm,A'B'=10cm,AE=4.8cm.求A'E'的长.解析∵△ABC∽△A'B'C',∴ = .∴ = .∴A'E'=12cm.''AEAE''ABAB4.8''AE410知识点二相似三角形的周长比和面积比4.(2019江苏无锡期中)两个三角形的相似比是3∶2,则其面积比是 ()A.4∶9B.3∶2C.9∶4D.27∶8答案C根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答即可.5.(2015江苏南京中考)如图4-7-1,在△ABC中,DE∥BC, = ,则△ADE的周长与△ABC的周长比是 () 图4-7-1A.3B. C.2D. ADBD121312答案B∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB,∴△ADE∽△ABC.∵ = ,∴ = ,∴△ADE的周长∶△ABC的周长=AD∶AB=1∶3.ADBD12ADAB136.如图4-7-2,在平行四边形ABCD中,点E在CD上,若DE∶CE=1∶2,则△CEF与△ABF的周长比为 () 图4-7-2A.1∶2B.1∶3C.2∶3D.4∶9答案C∵四边形ABCD是平行四边形,∴DC∥AB,CD=AB.∴△CEF∽△ABF,∵DE∶EC=1∶2,∴EC∶DC=CE∶AB=2∶3,∴C△CEF∶C△ABF=2∶3.故选C.7.(2019上海浦东新区月考)已知两个相似三角形的一组对应高分别是15和5,面积之差为80,则较大三角形的面积为 ()A.90B.180C.270D.3600答案A∵两个相似三角形的一组对应高分别为15,5,∴两个相似三角形的相似比为3∶1,∴面积比为9∶1,设两个相似三角形的面积分别为9x和x,根据题意列方程得9x-x=80,解得x=10,则较大三角形的面积为90,故选A.8.(2015四川德阳中考)如图4-7-3,四边形ABCD为菱形,M为BC上一点,连接AM交对角线BD于点G,并且∠ABM=2∠BAM.(1)求证:AG=BG;(2)若点M为BC的中点,同时S△BMG=1,求三角形ADG的面积. 图4-7-3解析(1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴∠ABD=∠CBD,∵∠ABM=2∠BAM,∴∠ABD=∠BAM,∴AG=BG.(2)∵AD∥BC,∴△ADG∽△MBG,∴ = ,∵点M为BC的中点,∴ =2,∴ = =4,∵S△BMG=1,∴S△ADG=4.AGGMADBMADBMADGBMGSS2ADBM知识点三相似多边形的性质9.如图4-7-4,在四边形ABCD中,E,F,G分别是BA,BD,BC上的点,EF∥AD,FG∥DC,且 = ,则四边形ABCD和四边形EBGF的周长之比为() 图4-7-4A.4∶3B.3∶2C.4∶1D.2∶1AEBE12答案B因为 = ,所以 = .因为EF∥AD,所以 = = .因为FG∥CD,所以 = = ,所以 = = = .由EF∥AD,FG∥CD可知∠A=∠BEF,∠C=∠FGB,∠ADB=∠EFB,∠BDC=∠BFG,∴∠ADC=∠EFG,又∠ABC=∠EBG,所以四边形ABCD∽四边形EBGF,所以 = = .AEBE12ABBE32BEABEFADBFBDBFBDFGCDBGBCBEBAEFADFGCDBGBCABCDEBGF四边形的周长四边形的周长ABEB3210.如图4-7-5,已知五边形ABCDE,O是五边形ABCDE内一点,连接OA,OB,OC,OD,OE,A'、B'、C'、D'、E'分别是OA、OB、OC、OD、OE上一点,连接A'B',B'C',C'D',D'E',E'A',且A'B'∥AB,B'C'∥BC,C'D'∥CD,D'E'∥DE,E'A'∥EA,OD=2OD',S五边形ABCDE=100cm2,求S五边形A'B'C'D'E'. 图4-7-5解析由已知,得 = = = = = = = = = ,即 = = = = .又由已知得∠B'A'O=∠BAO,∠E'A'O=∠EAO,∴∠B'A'O+∠E'A'O=∠BAO+∠EAO,即∠B'A'E'=∠BAE,同理,其余各角对应相等.∴五边形ABCDE∽五边形A'B'C'D'E'.∵OD=2OD',∴ = .∴ = = = .∴S五边形A'B'C'D'E'= S五边形ABCDE= ×100=25(cm2).''ABAB'OAOA''AEAE'OEOE''DEDE'ODOD''DCDC'OCOC''BCBC'OBOB''ABAB''BCBC''CDCD''DEDE''AEAE'ODOD12'''''ABCDEABCDESS五边形五边形2'ODOD2121414141.已知△ABC∽△A'B'C',AD、A'D'分别是△ABC、△A'B'C'的高,且AD∶A'D'=2∶3,那么 ()A.△ABC与△A'B'C'的周长之比为4∶9B.AB∶A'B'=2∶3C.S△A'B'C'∶S△ABC= ∶ D.S△ABC∶S△A'B'C'=2∶332答案B相似三角形对应边上高的比等于相似比,故B正确.2.已知△ABC和△DEF相似,且△ABC的三边长分别为3、4、5,如果△DEF的周长为6,那么下列不可能是△DEF的边长的是 ()A.1.5B.2C.2.5D.3答案D∵△ABC的三边长分别为3、4、5,∴△ABC的周长=12,∴ = =2.选项A,1.5×2=3,与△ABC的一边长相符,故本选项不符合题意;选项B,2×2=4,与△ABC的一边长相符,故本选项不符合题意;选项C,2.5×2=5,与△A