2019秋九年级数学上册 第4章 图形的相似 4.6 利用相似三角形测高课件 （新版）北师大版

第四章图形的相似初中数学（北师大版）九年级上册知识点一利用阳光下的影子测量高度类型原理操作图操作说明相关算式利用阳光下的影子测高(如测量旗杆的高度)同一时刻物高与影长成比例 (1)需测参照物(人)的高度及参照物(人)的影长;(2)测量被测物体(旗杆)的影长 = ,则AB= ABDFBCEFDFBCEF例1如图4-6-1,甲、乙两楼楼顶上的点A和点E与地面上的点C在同一条直线上,点B、D分别在点E、A的正下方,且D、B、C三点在同一条直线上,B、C相距30米,D、C相距50米.甲楼的影子DC恰好与乙楼的影子BC在同一条直线上,乙楼高BE为18米,求甲楼的高AD. 图4-6-1分析由题意,易证△ADC∽△EBC.根据相似三角形对应边成比例,写出含AD的比例式,把已知数据代入即可求出AD.解析由题意知BE∥AD,∴△EBC∽△ADC,∴ = ,∵BC=30米,DC=50米,BE=18米,∴AD= = =30(米).答:甲楼的高AD为30米.EBADBCDCEBDCBC185030知识点二利用标杆测量高度类型原理操作图操作说明相关算式利用标杆测高(如测量古塔的高度)构造相似三角形,把被测物体分成两部分求解 (1)人眼、标杆顶端和被测物体(古塔)的顶端三点要共线,即人眼恰好看不见被测物体(古塔);(2)需测人眼高、标杆高、人与古塔的距离及人与标杆的距离 = ,则PB= ,从而PO=PB+ADPBFGBDGDBDFGGD例2如图4-6-2,直立在点B处的标杆AB高2.5m,站立在点F处的观察者从点E处看到标杆顶端A、旗杆顶端C在一条直线上.已知BD=18m,FB=3m,EF=1.6m,求旗杆的高CD. 图4-6-2解析过E作EH⊥CD交CD于点H,交AB于点G,如图4-6-3所示. 图4-6-3∴EF=GB=DH=1.6m,EG=FB=3m,GH=BD=18m,∴AG=AB-GB=0.9m.∵AB⊥FD,CD⊥FD,∴AG∥CH,∴△AEG∽△CEH,∴AG∶CH=EG∶EH.∵EH=EG+GH=21m,∴CH= =6.3m,∴CD=CH+HD=7.9m.答:旗杆的高CD为7.9m.点拨解题的关键是正确作出辅助线,构造相似三角形.AGEHEG知识点三利用镜子的反射测量高度类型原理操作图操作说明相关算式利用镜子的反射测高(如测量旗杆的高度)根据反射角等于入射角构造相似三角形 (1)人来回移动,恰好在镜子里看到旗杆的顶端;(2)需测人眼的高度、人到镜子的距离和旗杆底端到镜子的距离 = ,则AB= ABDEBCECBCDEEC例3某同学要测量一烟囱的高度,他将一面镜子放在地面上某一位置,然后站到与镜子、烟囱成一条直线的地方,刚好从镜子中看到烟囱的顶部.如果这名同学的眼高为1.65m,他到镜子的距离是2m,测得镜子到烟囱的距离为20m,求烟囱的高度.解析如图4-6-4,用AB长表示该同学的眼高,CD长表示烟囱的高度,O表示放镜子的地点.由光学知识及等角的余角相等,得∠AOB=∠COD.又因为∠B=∠D=90°,所以△AOB∽△COD,则 = ,即 = ,所以CD=16.5m.故烟囱的高度是16.5m.图4-6-4ABCDOBOD1.65CD220方法总结利用镜子的反射求物体的高度,可根据等角的余角相等和人、物体均与地面垂直以及物理学上的反射角等于入射角得相似三角形,由此得对应边成比例,从而求出物体的高度.题型利用刻度尺测物体的高度例如图4-6-5,一个人拿着一把刻有厘米的刻度尺,站在离电线杆约30m的地方,他把手臂向前伸直,刻度尺竖直,看到尺上约12个刻度恰好遮住电线杆,已知臂长约60cm,你能根据以上数据求出电线杆的高度吗? 图4-6-5分析根据本题所描述的内容可画如图4-6-6所示的示意图,则EB=60cm=0.6m,AB=12cm=0.12m,CF=30m,求DC的长.解析能.如图4-6-6,∵OF⊥FC,EB∥FC,∴∠OEB=∠OFC,∠EOB=∠FOC,∴△OEB∽△OFC,∴ = .∵AB⊥FC,DC⊥FC,∴AB∥DC,∴∠OAB=∠ODC,∠OBA=∠OCD,∴△OAB∽△ODC,∴ = ,∴ = .∵EB=60cm=0.6m,AB=12cm=0.12m,CF=30m,∴ = ,∴DC= =6(m).故电线杆的高度为6m.EBFCOBOCABDCOBOCEBFCABDC0.6300.12DC300.120.6图4-6-6知识点一利用阳光下的影子测量高度1.(2019江苏无锡锡山月考)小兵身高1.4m,他的影长是2.1m,若此时学校旗杆的影长是12m,那么旗杆的高度是 ()A.4.5mB.6mC.7.2mD.8m答案D设旗杆的高度为xm,根据题意得 = ,解得x=8,即旗杆的高度为8m,故选D.1.42.112x2.(2018江西九江期末)如图4-6-1,某班上体育课,当甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时,乙的影子DA恰好与甲的影子CA在同一条直线上,已知甲身高1.8米,乙身高1.5米,甲的影长是6米,则甲、乙两同学相距米. () 图4-6-1A.1B.2C.3D.5答案A设甲、乙两同学相距x米,则CD=x米,DA=(6-x)米.易知△ADE∽△ACB,∴ = ,∴ = ,解得x=1.故选A.DEBCADAC1.51.866x知识点二利用标杆测量高度3.(2018山东临沂中考)如图4-6-2,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m,BC=12.4m,则建筑物CD的高是 () 图4-6-2A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m答案B∵EB∥CD,∴△ABE∽△ACD,∴ = ,即 = ,∴CD=10.5(米).故选B.ABACBECD1.61.612.41.2CD4.如图4-6-3,直立在B处的标杆AB=2.4m,直立在F处的观测者从E处看到标杆顶A、树顶C在同一条直线上(点F,B,D也在同一条直线上).已知BD=8m,FB=2.5m,人眼高EF=1.5m,求树高CD. 图4-6-3解析如图,过点E作EG⊥CD,交CD于点G,交AB于点H. ∴EF=HB=GD=1.5m,EH=FB=2.5m,HG=BD=8m,∴AH=AB-HB=2.4-1.5=0.9(m),EG=FD=FB+BD=2.5+8=10.5(m).∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴AB∥CD,∴△EHA∽△EGC,∴ = ,AHCGEHEG∴CG= = =3.78(m),∴CD=CG+GD=3.78+1.5=5.28(m).故树高CD为5.28m.AHEGEH0.910.52.5知识点三利用镜子的反射测量高度5.(2017甘肃兰州中考)如图4-6-4,小明为了测量一凉亭的高度AB(顶端A到水平地面BD的距离),在凉亭的旁边放置一个与凉亭台阶BC等高的平台DE(DE=BC=0.5米,A,C,B三点共线),把一面镜子水平放置在平台上的点G处,测得CG=15米,然后沿着直线CG后退到点E处,这时恰好在镜子里看到凉亭的顶端A,测得GE=3米,小明身高EF=1.6米,则凉亭的高度AB约为 ()图4-6-4A.8.5米B.9米C.9.5米D.10米答案A由题意得∠AGC=∠FGE,∵∠ACG=∠FEG=90°,∴△ACG∽△FEG,∴ = ,∴ = ,∴AC=8米,∴AB=AC+BC=8+0.5=8.5米.ACEFCGGE1.6AC1536.如图4-6-5所示,从点A(0,2)发出的一束光经x轴反射过点B(4,3),则这束光从点A到点B所经过路径的长为. 图4-6-5答案 41解析如图所示,过点B作BD⊥x轴于点D,则△AOC∽△BDC,∴ = = .设OC=x(x0),则CD=4-x,∴ = ,解得x= .∴AC= = .OCCDOADBACBC4xx238522OAOC2415∵ = = ,∴CB= .∴AC+BC= + = .ACBCOADB23341524153415411.如图,小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度,测量时,使直角边DF保持水平状态,其延长线交AB于点G,使斜边DE所在的直线经过点A.测得边DF离地面的高度为1m,点D到AB的距离等于7.5m.已知DF=1.5m,EF=0.6m,那么树AB的高度等于 () A.4mB.4.5mC.4.6mD.4.8m答案A由题意知BG=DC=1,DG=7.5,EF∥AG,∴△DEF∽△DAG,∴ = ,即 = ,∴AG=3,∴AB=BG+AG=1+3=4.所以树AB的高度为4m.故选A.EFAGDFDG0.6AG1.57.52.(2015新疆中考)如图,李明打网球时,球恰好打过网,且落在离网4m的位置上,则网球拍击球的高度h为.  答案1.4m解析由题意得DE∥BC,所以△ABC∽△AED,所以 = ,即 = ,所以h=1.4m.DEBCAEAB0.8h4431.如图4-6-6,网球单打比赛场地的宽度为8米,长度在球网的两侧各为12米,球网AB的高度为0.9米.中网比赛中,某运动员退出场地在距球网14米的D点处接球,设计打出直线穿越球,使球落在对方底线上的点C处,用刁钻的落点牵制对方.在这次进攻的过程中,为保证战术成功,该运动员击球点的高度至少为 () 图4-6-6A.1.65米B.1.75米C.1.85米D.1.95米答案D如图,由题意知AB∥DE, 则△ABC∽△EDC,∴ = ,即 = ,∴ED=1.95米,故选D.CBCDABED1212140.9ED2.某数学兴趣小组的同学要测量树的高度.在阳光下,一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.4米,同时另一名同学测量树的高度时,发现树的影子不全落在地面上,有一部分落在教学楼的第一级台阶上,测得此影子长为0.2米,一级台阶高为0.3米,如图4-6-7,若此时落在地面上的影长为4.4米,则树高为 () 图4-6-7A.11.5米B.11.75米C.11.8米D.12.25米答案C如图,设AB为树高,BC为树在地面上的影子,CD和DE为树在台阶上的影子.如果我们把BC平移到FD的位置,易知四边形FBCD是矩形,因此FD=BC,则EF=FD+DE=4.6米.设AB=x米,则AF=(x-0.3)米.根据题意,得 = ,解得x=11.8.则树高为11.8米.故选C. 10.40.34.6x3.如图4-6-8所示,小华在测量电线杆AB的高度时,发现电线杆的影子恰好落在坡面CD与地面BC上,影子CD=4m,BC=10m,CD与地面成30°角,且此时测得1m长的标杆的影长为2m,求电线杆的高度(结果精确到0.1m, 取1.41, 取1.73). 图4-6-823解析延长AD交BC的延长线于点F,过点D作DE⊥CF于点E,如图. 在Rt△DCE中,因为CD=4m,∠DCE=30°,所以DE=2m,CE= =2 m.由同一时刻影长与物高成比例,得 = = .所以AB= BF,DE= EF.所以EF=4m,则AB= (BC+CE+EF)≈8.7(m).所以电线杆的高度是8.7m.22CDDE3ABBFDEEF121212124.(2015陕西中考)晚饭后,小聪和小军在社区广场散步.小聪问小军:“你有多高?”小军一时语塞,小聪思考片刻,提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高.于是,两人在灯下沿直线NQ移动,如图4-6-9,当小聪正好站在广场的A点(距N点5块地砖长)时,其影长AD恰好为1块地砖长;当小军正好站在广场的B点(距N点9块地砖长)时,其影长BF恰好为2块地砖长.已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成,小聪的身高AC为1.6米,MN⊥NQ,AC⊥NQ,BE⊥NQ.请你根据以上信息,求出小军身高BE的长.(结果精确到0.01米)图4-6-9解析由题意得∠CAD=∠MND=90°,∠CDA=∠MDN,∴△CAD∽△MND.∴ = .∴ = .∴MN=9.6.又∵∠EBF=∠MNF=90°,∠EFB=∠MFN,∴△EBF∽△MNF.∴ = .∴ = .∴EB≈1.75