2019秋九年级数学上册 第4章 图形的相似 4.4-4.5课件 （新版）北师大版

第四章图形的相似初中数学（北师大版）九年级上册知识点一相似三角形的概念内容温馨提示概念三个角分别相等,三条边成比例的三角形叫做相似三角形相似三角形的概念是最基本的判定方法表示相似用符号“∽”来表示,读作“相似于”用“∽”表示相似时,对应顶点应写在对应的位置上相似比相似三角形对应边的比叫做相似比,通常用“k”表示(1)相似比有顺序;(2)全等是相似的特殊情形,相似比等于1性质相似三角形的对应角相等,对应边成比例关键是找准对应边和对应角例1图4-4-1中的两个三角形是否相似?请说明理由. 图4-4-1分析要判断两个三角形是否相似,需要看三个角是否分别相等,三条边是否成比例.解析这两个三角形相似.理由:∵ = = , = = , = = ,∴ = = .∵∠D=180°-105°-30°=45°,∠C=180°-105°-45°=30°,∴∠A=∠E,∠B=∠D,∠C=∠F,∴△ABC∽△EDF.规律总结判定两个三角形相似,除了要掌握定义外,还要注意正确找出两个三角形分别相等的角和成比例的边.ABDE22221BCDF2231321ACEF4221ABDEBCDFACEF知识点二相似三角形的判定定理1文字语言两角分别相等的两个三角形相似数学语言∵∠A=∠A',∠B=∠B',∴△ABC∽△A'B'C'图形 归纳总结用两角分别相等来判定三角形相似是常用方法,应掌握好寻找等角的方法,同时要注意图形中隐含的等角条件,如公共角、对顶角等例2如图4-4-2所示,∠1=∠2=∠3,试问△ABC与△ADE相似吗?请说明理由. 图4-4-2解析△ABC∽△ADE.理由:∵∠1=∠2,∴∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,∴∠BAC=∠DAE,∵∠1=∠3,∠AOB=∠COD,∴∠B=∠D,∴△ABC∽△ADE.点拨应仔细观察图形,寻找图中的隐含条件,从中发现相等关系.知识点三相似三角形的判定定理2文字语言两边成比例且夹角相等的两个三角形相似数学语言∵ = ,∠A=∠A',∴△ABC∽△A'B'C'图形 特别提醒利用该判定定理时,相等的角必须是已知两组边的夹角,否则两个三角形不一定相似ABA'B'ACA'C'例3如图4-4-3所示,已知∠A=60°,BD,CE分别是△ABC对应边上的高,问△ADE∽△ABC成立吗?为什么? 图4-4-3分析已知△ADE和△ABC有一个公共角,即∠A,要说明两个三角形相似,可找另一组角相等或夹公共角的两边成比例.根据在直角三角形中,30°的角所对的直角边等于斜边的一半可知, = = ,从而结论得证.ADABAEAC12解析△ADE∽△ABC成立.理由如下:∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠ADB=∠AEC=90°.∵∠A=60°,∴∠ABD=∠ACE=30°,∴AB=2AD,AC=2AE,∴ = = .又∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC.点拨(1)当条件中有两边成比例时,通常考虑相似三角形的判定定理2.(2)注意利用图中的隐含条件,如公共角、对顶角等.(3)相似三角形没有类似全等三角形判定定理的简写形式,解题时不能把相似三角形的判定定理书写为SSS,SAS等.ADABAEAC12知识点四相似三角形的判定定理3文字语言三边成比例的两个三角形相似数学语言∵ = = ,∴△ABC∽△A'B'C'图形 方法技巧判断三角形三边是否成比例的一般步骤:(1)排:将三角形的边按大小顺序排列;(2)算:分别计算小、中、大边的比;(3)判:由比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例ABA'B'BCB'C'CAC'A'例4图4-4-4,图4-4-5中小正方形的边长均为1,则图4-4-5中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是哪一个图形? 图4-4-4 图4-4-5解析BC=2,由勾股定理求得AC= ,AB= .图4-4-5①中,三角形的三边长分别为1, ,2 ;图4-4-5②中,三角形的三边长分别为1, , ;图4-4-5③中,三角形的三边长分别为 , ,3;图4-4-5④中,三角形的三边长分别为2, , .∵ = = = ,∴图4-4-5②中的三角形与△ABC相似.规律总结利用三角形三边成比例判定两个三角形相似的方法:首先把两个三角形的边分别按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,再分别计算小、中、大边的比,最后看三个比是否相等,若相等,则两个三角形相似,否则不相似.特别地,若三个比相等且等于1,则两个三角形全等.21052252551321221052知识点五黄金分割ACABBCACBDAB512ACAB512黄金分割的概念一般地,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图4-4-6所示),如果 = ,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. 图4-4-6注意线段AB有两个黄金分割点(如图4-4-7所示),其中一点D靠近点A,有 = ;另一点C靠近点B,有 = ,并且AD=BC,AC=BD. 图4-4-7例5已知线段AB=20cm,点C是AB的黄金分割点,且ACBC,求AC和BC的长.分析由点C是线段AB的黄金分割点,且ACBC,可想到 = ,而BC=AB-AC,故AC和BC的长可求.ACAB512解析∵点C是AB的黄金分割点,且ACBC,∴ = .又∵AB=20cm,∴AC= ×20=10( -1)(cm),BC=AB-AC=20-10( -1)=(30-10 )cm.ACAB512512555题型添加条件使两个三角形相似例如图4-4-8,在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,要使△ABC∽△AED成立,还需要添加一个条件为. 图4-4-8序号添加条件分析①∠B=∠AED∵∠B=∠AED,∠A=∠A,∴△ABC∽△AED②∠C=∠ADE∵∠C=∠ADE,∠A=∠A,∴△ABC∽△AED③ = ∵ = ,∠A=∠A,∴△ABC∽△AED解析分析如下:ADACAEABADACAEAB答案∠C=∠ADE 点拨解答添加条件使两个三角形相似的题目,要掌握好三角形相似的判定方法,看题目有什么已知条件或隐含条件,再根据判定方法添加缺少的条件.ADAEBAEDACAB或或综上可知,共有三种添加方法.知识点一相似三角形的概念1.已知△ABC∽△A'B'C',若AC=3,A'C'=1.8,则△A'B'C'与△ABC的相似比为 ()A. B. C. D. 23325335答案D对应边的比是相似比,且有顺序性,故△A'B'C'与△ABC的相似比为 = = .故选D.''ACAC1.83352.△ABC中,AB=12,BC=18,CA=24,另一个和它相似的三角形最长的一边是36,则最短的一边是 ()A.27B.12C.18D.20答案C设另一个三角形最短的一边是x,∵△ABC中,AB=12,BC=18,CA=24,另一个和它相似的三角形最长的一边是36,∴ = ,解得x=18.故选C.12x36243.如图4-4-1,在△ABC中,DE∥BC.(1)求 , , 的值;(2)△ADE与△ABC相似吗?为什么? 图4-4-1ADABAEACDEBC解析(1)由题图可知AB=9,AC=6,∴ = = , = = , = = .(2)△ADE与△ABC相似.理由:∵DE∥BC,∴∠ADE=∠ABC,∠AED=∠ACB.由(1)知 = = ,又∵∠DAE=∠BAC,∴△ADE∽△ABC.ADAB3913AEAC2613DEBC3.510.513ADABAEACDEBC知识点二相似三角形的判定定理14.如图4-4-2所示的三个三角形,相似的是 () 图4-4-2A.①②B.②③C.①③D.①②③答案A第①、②个三角形满足角对应相等,故选A.5.下列各组图形中有可能不相似的是 ()A.各有一个角是50°的两个等腰三角形B.各有一个角是60°的两个等腰三角形C.各有一个角是100°的两个等腰三角形D.两个等腰直角三角形答案A选项A中,当一个三角形中,50°的角为顶角,底角为65°,另一个三角形中,50°的角为底角,顶角为80°时,这两个三角形不相似,故选A.6.(2018天津和平期末)如图4-4-3,四边形ABCD是矩形,E是边BC延长线上的一点,AE与CD相交于点F,则图中的相似三角形共有 () 图4-4-3A.4对B.3对C.2对D.1对答案B∵∠E=∠DAF,∠FCE=∠D,∴△CEF∽△DAF.∵∠E是公共角,∠B=∠FCE,∴△ABE∽△FCE,∴△ABE∽△FDA.共有3对.故选B.7.如图4-4-4所示,∠C=∠E=90°,AC=3,BC=4,AE=2,则AD=. 图4-4-4答案 103解析在Rt△ABC中,∵∠C=90°,AC=3,BC=4,∴AB= = =5.∵∠C=∠E=90°,∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE.∴ = ,即 = .∴AD= .22BCAC2243ABACADAE532AD1038.如图4-4-5,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E,求证:△ABD∽△CBE. 图4-4-5证明∵AB=AC,BD=CD,CE⊥AB,∴∠ADB=∠CEB=90°,又∠B=∠B,∴△ABD∽△CBE.9.(2017山东德州二模)如图4-4-6,在边长为1的正方形ABCD中,E是AB的中点,CF⊥DE,F为垂足.(1)△CDF与△DEA是否相似?说明理由;(2)求CF的长. 图4-4-6解析(1)△CDF∽△DEA,理由:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=90°,AB∥CD,∴∠CDF=∠DEA.又∵CF⊥DE,∴∠CFD=90°,∴∠CFD=∠A,∴△CDF∽△DEA.(2)由题意知AD=CD=1,AE= ,在直角△DEA中,DE= = = .由(1)可得 = ,则CF= = .1222ADAE2211252CFADCDDEADCDDE255知识点三相似三角形的判定定理210.(2018江苏宜兴外国语学校月考)下列条件中可以判定△ABC∽△A'B'C'的是 ()A. = B. = ,∠B=∠B'C. = ,∠A=∠A'D. = ABAC''''ABACABAC''''ABACABAC''''ABAC''ABAB''ACAC答案CA,D中只有对应边成比例,角不确定,A,D错;B中∠B不是AB,AC的夹角,所以B错;C中对应边成比例,且夹角相等,所以C可判定两三角形相似,C对,故选C.11.(2014贵州贵阳中考)如图4-4-7,在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC∽△EPD,则点P所在的格点为 () 图4-4-7A.P1B.P2C.P3D.P4答案C由题图可知∠E=∠A=90°,要使△ABC∽△EPD,则 = =2,所以EP=2AB=6,则点P所在的格点为P3,故选C.EPABDEAC12.如图4-4-8,两对角线AC、BD相交于O点,且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形.若OA∶OC=OB∶OD=1∶2,则下列说法中正确的是 ()图4-4-8A.甲、丙相似,乙、丁相似B.甲、丙相似,乙、丁不一定相似C.甲、丙不相似,乙、丁相似D.甲、丙不相似,乙、丁不一定相似答案B在△OAB和△OCD中,OA∶OC=OB∶OD,∠AOB=∠COD,∴△OAB∽△OCD,即甲、丙相似.无法证明△OAD与△OCB相似,即乙、丁不一定相似.故选B.13.如图4-4-9,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.求证:△ADQ∽△QCP. 图4-4-9DQCPADQC证明设正方形ABCD的边长为4a,则AD=CD=BC=4a.∵Q是CD的中点,BP=3PC,∴DQ=CQ=2a,PC=a.∴ = =2.又∵∠D=∠C=90°,∴△ADQ∽△QCP.知识点四相似三角形的判定定理314.若△ABC和△DEF满足下列条件,其中能使△ABC与△DEF相似的是 ()A.AB=3,BC=8,AC=9,DE= ,EF=2,DF=6B.AB=4,BC=6,AC=8,DE=5,EF=10