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第二章一元二次方程初中数学（北师大版）九年级上册知识点列一元二次方程解应用题1.列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为审、设、列、解、验、答.(1)审清题意,明确题目中有哪些量,哪些是已知量,哪些是未知量,对复杂问题多读细审;(2)设未知数,有直接设未知数和间接设未知数两种常用方法,一般选择直接设未知数,当问题难以解决时考虑间接设未知数;(3)列方程,这是最关键的一步,根据前面的分析,找出等量关系,把等量关系转化为方程,方程中要只含有所设的未知数;(4)解方程,把所列的方程解出来;(5)检验并作答,所谓的检验是要看结果是否符合实际意义,一元二次方程往往求出两个根,而其中一个根常常不符合实际意义,这就是检验,如增长率要符合增长的意义,线段长不能为负值等.2.列方程解应用题的常见类型例某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.(1)设该种品牌玩具的销售单价为x(x40)元,请你分别用关于x的代数式来表示销售量y(件)和销售该品牌玩具获得的利润W(元),并把化简后的结果填写在表格中;销售单价/元x销售量y/件销售玩具获得的利润W/元(2)在(1)问的条件下,若商场获得了10000元的销售利润,求该玩具的销售单价应定为多少元.分析(1)由销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具,得y=600-(x-40)×10=1000-10x,W=(1000-10x)(x-30)=-10x2+1300x-30000;(2)令-10x2+1300x-30000=10000,解这个方程即可求出x的值.解析(1)如下表所示:(2)令-10x2+1300x-30000=10000,得x1=50,x2=80.故该玩具的销售单价定为50元或80元时,商场可获得10000元的销售利润.销售单价/元x销售量y/件1000-10x销售玩具获得的利润W/元-10x2+1300x-30000题型一数字问题例1一个两位数,十位上的数字与个位上的数字之和是5,把这个数的十位上的数字与个位上的数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736,求原来的两位数.分析设原来的两位数十位上的数字为x,则个位上的数字为5-x,可列表如下:十位上的数字个位上的数字两位数原来x5-x10x+(5-x)现在5-xx10(5-x)+x解析设原来的两位数的十位上的数字为x,则个位上的数字为5-x.根据题意,得[10x+(5-x)][10(5-x)+x]=736.整理,得x2-5x+6=0.解这个方程,得x1=2,x2=3.当x=2时,5-x=3,则原来的两位数是23;当x=3时,5-x=2,则原来的两位数是32.综上所述,原来的两位数是23或32.题型二增长率与降低率问题例2(2016广西贺州中考)某地区2014年投入教育经费2900万元,2016年投入教育经费3509万元.(1)求2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率;(2)按照义务教育法规定,教育经费的投入不低于国民生产总值的百分之四,结合该地区国民生产总值的增长情况,该地区到2018年需投入教育经费4250万元.如果按(1)中教育经费投入的增长率,到2018年该地区投入的教育经费是否能达到4250万元?请说明理由.(参考数据: =1.1, =1.2, =1.3, =1.4)1.211.441.691.96解析(1)设2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为x,由题意得2900(1+x)2=3509,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去).答:2014年至2016年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.(2)不能.理由:按10%的增长率,到2018年投入教育经费为3509×(1+10%)2=4245.89(万元).因为4245.894250,所以如果按(1)中教育经费投入的增长率,到2018年该地区投入的教育经费不能达到4250万元.例3(2015湖北襄阳中考)如图2-6-1,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用长为12m的住房墙,另外三边用25m长的建筑材料围成,为方便进出,在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门.所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时,猪舍面积为80m2? 图2-6-1题型三几何问题解析设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为xm,则其邻边长为(26-2x)m.依题意,得x(26-2x)=80.化简,得x2-13x+40=0.解这个方程,得x1=5,x2=8.当x=5时,26-2x=1612(舍去);当x=8时,26-2x=1012.答:所建猪舍的长为10m,宽为8m.注意解答题目时,由于门不占用建筑材料,故相当于三边所用建筑材料的长度为26米.例4某校要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排21场比赛,则参赛球队的个数是()A.5B.6C.7D.8题型四单、双循环问题解析设参赛球队的个数是x,则 x(x-1)=21,解得x1=7,x2=-6(舍去),故选C.12答案C温馨提示解决体育比赛问题,关键是分清是单循环问题还是双循环问题.握手问题、互赠礼物问题等都是相关的单循环、双循环问题.单循环问题设参加队伍有n个队,则总的比赛场数为 n(n-1)双循环问题设参加队伍有n个队,则总的比赛场数为n(n-1)12题型五销售问题例5某商店购进600个旅游纪念品,进价为每个6元,第一周以每个10元的价格售出200个;第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个,但商店为了适当增加销量,决定降价销售(根据市场调查,单价每降低1元,可多售出50个,但售价不得低于进价),单价降低x元销售一周后,商店对剩余旅游纪念品清仓处理,以每个4元的价格全部售出,如果这批旅游纪念品共获利1250元,问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元?分析根据纪念品的进价和售价以及销量表示出两周的总利润,进而列出方程求解即可.解析由题意得,200×(10-6)+(10-x-6)(200+50x)+(4-6)[600-200-(200+50x)]=1250,整理得x2-2x+1=0,解得x1=x2=1.10-1=9(元).答:第二周每个旅游纪念品的销售价格为9元.素养解读数学建模是对现实问题进行数学抽象,用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养.数学建模过程主要包括:在实际情境中从数学的视角发现问题,提出问题,分析问题,构建模型,确定参数,计算求解,检验结果,改进模型,最终解决实际问题.建立一元二次方程模型解决面积和增长(降低)率问题是常见的实际问题,销售问题也是现实生活中经常遇到的实际问题,同样可建立一元二次方程模型解答.例某商店如果将进货价为每件8元的商品按每件10元售出,每天可销售200件.现采用提高售价、减少进货量的方法增加利润,如果这种商品每件涨0.5元,其销售量就会减少10件,那么,将售价定为多少元,才能使每天的利润为640元?典例剖析解析设每件的售价提高x元,则每件的利润为(10+x-8)元,即(x+2)元,每天的销售量为 件.根据题意,得(x+2) =640,化简,得x2-8x+12=0,解得x1=2,x2=6.当x=2时,售价为每件12元,每天的销售量为200- ×10=160(件);当x=6时,售价为每件16元,每天的销售量为200- ×10=80(件).因为要减少进货量,所以售价定为每件16元才合适.200100.5x200100.5x20.560.5素养呈现数学模型是数学知识与数学应用的桥梁,随着我们学习的不断深入,要重视数学知识与现实生活的联系.一元二次方程解应用题建模的一般步骤为:审、设、列、解、验、答.先审题,明确已知量、未知量,通过分析问题找出题中的数量关系、等量关系,再列出方程求解.销售利润=(每件售价-每件进价)×销售件数,若设每件的售价提高x元,则每件的利润为(10+x-8)元,每天的销售量为 件,根据等量关系列方程即可.200100.5x知识点列一元二次方程解应用题1.(2018四川眉山中考)我市某楼盘准备以每平方6000元的均价对外销售,由于国务院有关房地产的新政策出台后,购房者持币观望,为了加快资金周转,房地产开发商对价格经过连续两次下调后,决定以每平方4860元的均价开盘销售,则平均每次下调的百分率是 ()A.8%B.9%C.10%D.11%答案C设平均每次下调的百分率为x,则根据题意可得6000(1-x)2=4860,解方程得x1=0.1=10%,x2=1.9(舍去).故选C.2.(2015广东佛山中考)如图2-6-1,将一块正方形空地划出部分区域进行绿化,原空地一边减少了2m,其邻边减少了3m,剩余一块面积为20m2的矩形空地,则原正方形空地的边长是 () 图2-6-1A.7mB.8mC.9mD.10m答案A设原正方形空地的边长为xm,依题意得(x-3)·(x-2)=20,解得x1=7,x2=-2(不合题意,舍去),∴原正方形空地的边长为7m.故选A.3.已知一个两位数,个位上的数字比十位上的数字少4,这个两位数十位和个位交换位置后,新两位数与原两位数的积为1612,那么这个两位数是 ()A.95B.59C.26D.62答案D设个位上的数字为y,十位上的数字为x,则这个两位数为10x+y,且x-4=y,交换位置后,新两位数为10y+x,则(10x+y)(10y+x)=1612,即(11x-4)(11x-40)=1612,整理得x2-4x-12=0,解得x=6或x=-2(舍去),则10x+y=60+(6-4)=62.故这个两位数是62.故选D.4.某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?学习以下解答过程,并完成填空.解:设应邀请x支球队参赛,则每队共打场比赛,比赛总场数用代数式表示为,根据题意,可列出方程.整理,得.解这个方程,得.合乎实际意义的解为.答:应邀请支球队参赛.答案(x-1); x(x-1); x(x-1)=28;x2-x-56=0;x1=8,x2=-7;x=8;81212解析设应邀请x支球队参赛,则每队共打(x-1)场比赛,比赛总场数用代数式表示为 x(x-1).根据题意,可列出方程 x(x-1)=28.整理,得x2-x-56=0,解得x1=8,x2=-7.合乎实际意义的解为x=8.答:应邀请8支球队参赛.12125.为响应市委市政府提出的建设“绿色襄阳”的号召,我市某单位准备将院内一块长30m,宽20m的长方形空地,建成一个矩形花园,要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道,剩余的地方种植花草.如图2-6-2,要使种植花草的面积为532m2,那么小道进出口的宽度应为多少米?(注:所有小道进出口的宽度相等,且每段小道均为平行四边形) 图2-6-2解析设小道进出口的宽度为xm.依题意得(30-2x)(20-x)=532.整理,得x2-35x+34=0.解得x1=1,x2=34.∵3430(不合题意,舍去),∴x=1.答:小道进出口的宽度应为1m.1.(2014江苏宿迁中考)一块矩形菜地的面积是120m2,如果它的长减少2m,那么菜地就变成正方形,则原菜地的长是m.答案12解析设矩形菜地的长为xm,则宽为(x-2)m,由题意得x(x-2)=120,解得x1=12,x2=-10(舍去),故原菜地的长为12m.2.为了宣传环保,小明写了一篇倡议书,决定用微博转发的方式传播,他设计了如下的传播规则:将倡议书发表在自己的微博上,再邀请n个好友转发倡议书,每个好友转发倡议书之后,又邀请n个互不相同的好友转发倡议书,依此类推,已知经过两轮传播后,共有111人参与了传播活动,则n=.答案10解析由题意,得n+n2+1=111,解得n1=-11(舍去),n2=10.3.(2015贵州黔西南州中考)某精品店购进甲乙两种小礼品,已知1件甲种礼品的进价比1件乙种礼品的进价多1元