2019秋九年级数学上册 第2章 一元二次方程 2.4 用因式分解法求解一元二次方程课件 （新版）北

第二章一元二次方程初中数学（北师大版）九年级上册知识点一因式分解法解一元次方程定义依据步骤因式分解法因式分解法解一元二次方程,是将方程的一边化为0,而另一边分解为两个一次因式乘积的形式,分别令每个因式等于0,得到两个一次方程,解这两个方程得到一元二次方程的两个根因式分解法解一元二次方程的依据是“若a·b=0,那么a=0或b=0”移项:将方程的右边化为0;化积:把方程的左边分解为两个一次因式的积;转化:令每个因式分别为0,转化为两个一元一次方程;求解:解这两个一元一次方程,它们的根就是原方程的根因式分解的常用方法(1)提公因式:一元二次方程右边化为0后,若左边多项式有公因式,则把公因式提到括号外面,将多项式分解成两个一次因式的乘积的形式,再解方程.(2)运用公式:一元二次方程右边化成0后,若左边多项式可逆用平方差公式或完全平方公式分解因式,则将多项式分解为两个一次因式的乘积的形式,再解方程例1用因式分解法解下列方程:(1)(x+3)(x-2)=0;(2)3x2-12x=0;(3)(x+4)2=36;(4)(x-2)2=2-x.分析(1)符合因式分解法的要求,只需令每个因式等于0即可;(2)因为3x2与12x都含有因式3x,所以可利用提公因式法分解因式;(3)因为36=62,所以移项后可利用平方差公式分解因式;(4)将(x-2)看成一个整体,将方程右边的(2-x)移到方程的左边后,可用提公因式法分解因式.解析(1)若x+3=0,则x=-3;若x-2=0,则x=2.∴x1=-3,x2=2.(2)原方程可变形为3x(x-4)=0.若3x=0,则x=0;若x-4=0,则x=4.∴x1=0,x2=4.(3)原方程可变形为(x+4)2-36=0,∴(x+4+6)(x+4-6)=0,即(x+10)(x-2)=0.若x+10=0,则x=-10;若x-2=0,则x=2.∴x1=-10,x2=2.(4)移项,得(x-2)2+(x-2)=0.∴(x-2)[(x-2)+1]=0,即(x-2)(x-1)=0,∴x-2=0或x-1=0,∴x1=2,x2=1.知识点二灵活选择方法解一元二次方程方法理论依据适用方程关键步骤直接开平方法平方根的意义(x-m)2=n(n≥0)开平方配方法完全平方公式所有一元二次方程配方公式法配方法所有一元二次方程代入求根公式因式分解法若两个因式的积为0,那么这两个因式至少有一个为0一边是0,另一边易于分解成两个一次因式的乘积的方程分解因式一元二次方程主要有四种解法,它们的理论依据及适用范围如下表:例2用适当的方法解下列方程:(1)2(x-1)2-18=0;(2)x2+4x-1=0;(3)9(x+1)2=(2x-5)2;(4)9x2-12x-1=0.分析(1)2(x-1)2-18=0,整理可得(x-1)2=9,适合用直接开平方法;(2)x2+4x-1=0,二次项系数为1,一次项系数为偶数,适合用配方法;(3)9(x+1)2=(2x-5)2,整理可得[3(x+1)]2-(2x-5)2=0,适合用因式分解法;(4)9x2-12x-1=0,用直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便,适合用公式法.解析(1)2(x-1)2-18=0,整理得(x-1)2=9,开平方得x-1=±3,即x-1=3或x-1=-3,所以方程的两根为x1=4,x2=-2.(2)原方程变形为x2+4x=1.配方得x2+4x+22=1+22,即(x+2)2=5,由此可得x+2=± ,所以方程的两根为x1=-2+ ,x2=-2- .(3)9(x+1)2=(2x-5)2,整理得[3(x+1)]2-(2x-5)2=0,因式分解得[3(x+1)+(2x-5)][3(x+1)-(2x-5)]=0,于是得3(x+1)+(2x-5)=0或3(x+1)-(2x-5)=0,即5x-2=0或x+8=0,所以方程的两根为x1= ,x2=-8.(4)9x2-12x-1=0,a=9,b=-12,c=-1,Δ=b2-4ac=(-12)2-4×9×(-1)=144+36=1800，55525所以x= = = ,所以方程的两根为x1= ,x2= .点拨一元二次方程的解法的选择顺序:先特殊,后一般,即先考虑能否用直接开平方法和因式分解法,不能用这两种方法时,再用公式法,没有特殊要求解法时,一般不用配方法,因为用配方法解方程比较烦琐.(1)当方程一边为含有未知数的完全平方式,另一边为非负数时,可用直接开平方法.(2)当方程的一边为0,而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时,运用因式分解法求解.(3)当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式,另一边为非负数时,常用配方法.(4)当不使用上面三种方法时,就用公式法.242bbaca(12)18029253253253题型一用多种方法解一元二次方程例1已知一元二次方程(x-2)2=(2x+5)2,可以用哪几种方法来解这个方程?分析一元二次方程的解法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,其中直接开平方法与因式分解法较简单.解析解法一:(直接开平方法)开平方,得x-2=±(2x+5),即x-2=2x+5或x-2=-(2x+5).∴原方程的解是x1=-7,x2=-1.解法二:(因式分解法)移项,得(x-2)2-(2x+5)2=0.因式分解,得[(x-2)-(2x+5)][(x-2)+(2x+5)]=0,即(-x-7)(3x+3)=0.∴-x-7=0或3x+3=0,∴原方程的解是x1=-7,x2=-1.解法三:(公式法)将原方程变形为x2+8x+7=0,这里a=1,b=8,c=7,∴b2-4ac=82-4×1×7=36,∴x= = .∴原方程的解是x1=-1,x2=-7.8362862解法四:(配方法)将原方程变形为x2+8x+7=0.移项,得x2+8x=-7.配方,得x2+8x+42=-7+42,即(x+4)2=9.开平方,得x+4=±3,∴原方程的解是x1=-1,x2=-7.点拨解法一运用的是直接开平方法,若方程能写成A2=B2的形式,就可用直接开平方法求解,开平方时要注意一个正数的平方根有两个,且互为相反数,不要出现A=B的错误;解法二运用的是因式分解法,若方程的一边为0,另一边能分解成两个一次因式的乘积,就可用因式分解法来解;解法三和解法四是先把方程整理为一元二次方程的一般形式,再选用公式法或配方法来解,这是解一元二次方程的常规方法.解一元二次方程时要同时掌握这些方法,以便灵活运用.题型二用因式分解法解形如x2-(a+b)x+ab=0(a,b为常数)的一元二次方程例2用因式分解法解下列方程:(1)x2+2013x-2014=0;(2)x2-2013x-2014=0;(3)x2-( + )x+ =0.236分析(1)要设法找到两个数a,b,使a+b=-2013,ab=-2014,经过反复试验可发现这两个数分别为1,-2014,所以方程x2+2013x-2014=0可转化为(x-1)(x+2014)=0.同样地,方程(2)(3)的左边也可以分解成两个一次因式的乘积的形式.解析(1)x2+2013x-2014=0,(x-1)(x+2014)=0,∴x-1=0或x+2014=0,∴x1=1,x2=-2014.(2)x2-2013x-2014=0,(x-2014)(x+1)=0,∴x-2014=0或x+1=0,∴x1=2014,x2=-1.(3)x2-( + )x+ =0,(x- )(x- )=0,∴x- =0或x- =0,∴x1= ,x2= .236232323易错点用因式分解法解方程时,方程两边同除以一个式子时,忽略了所除的式子可能为0的情况例解方程:(x-2)2=2(x-2).解析移项,得(x-2)2-2(x-2)=0.∴(x-2)(x-2-2)=0,∴x-2=0或x-4=0.∴x1=2,x2=4.易错警示若方程两边同时除以(x-2),得x-2=2,解得x=4.造成错解的原因是方程两边同时除以(x-2)时,没有注意到x-2可能等于0的情况,违背了等式的性质,从而漏解.1.(2019江苏盐城六校联考期中)方程x2=4x的解是 ()A.x=0B.x1=4,x2=0C.x=4D.x=2知识点一因式分解法答案Bx2=4x,x2-4x=0,x(x-4)=0,∴x-4=0或x=0,∴x1=4,x2=0,故选B.2.经计算,整式x+1与x-4的积为x2-3x-4,则一元二次方程x2-3x-4=0的根为 ()A.x1=-1,x2=-4B.x1=-1,x2=4C.x1=1,x2=4D.x1=1,x2=-4答案B由题意知方程x2-3x-4=0可化为(x+1)(x-4)=0,则x+1=0或x-4=0,解得x1=-1,x2=4,故选B.3.(2019河南新野期中)方程3x(x-2)=x-2的根为 ()A.x=2B.x=0C.x1=2,x2=0D.x1=2,x2= 13答案D3x(x-2)=x-2,3x(x-2)-(x-2)=0,(x-2)(3x-1)=0,所以x-2=0或3x-1=0,所以x1=2,x2= .故选D.134.用因式分解法解下列方程:(1)x2-7x-18=0;(2)2(x-3)=5x(x-3);(3)(y-3)(y+2)=6;(4)(5x-2)2=3.解析(1)将原方程化为(x+2)(x-9)=0,∴x+2=0或x-9=0,∴x1=-2,x2=9.(2)将原方程化为5x(x-3)-2(x-3)=0,即(x-3)(5x-2)=0,∴x-3=0或5x-2=0,∴x1=3,x2= .(3)将原方程化为y2-y-12=0,即(y-4)(y+3)=0,∴y-4=0或y+3=0,∴y1=4,y2=-3.25(4)将原方程化为(5x-2)2-( )2=0,即(5x-2+ )(5x-2- )=0,∴5x-2+ =0或5x-2- =0,∴x1= ,x2= .23523533333知识点二灵活选择方法解一元二次方程5.解下列方程:①2x2-18=0;②9x2-12x-1=0;③2x2+4x+2=0;④2(5x-1)2=3(5x-1).较简便的方法是 ()A.依次为:直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法B.依次为:因式分解法、公式法、配方法、直接开平方法C.①用直接开平方法,②③用公式法,④用因式分解法D.①用直接开平方法,②用公式法,③④用因式分解法答案D6.用适当的方法解下列方程:(1)(3x-1)2=4(2x+3)2;(2)2x2- x-5=0;(3)(x-5)2-9=0;(4)x2-6x=5.2解析(1)直接开平方,得3x-1=±2(2x+3),即3x-1=2(2x+3)或3x-1=-2(2x+3),解得x1=-7,x2=- .(2)∵a=2,b=- ,c=-5,∴b2-4ac=(- )2-4×2×(-5)=420,∴x= ,∴x1= ,x2= .(3)(x-5+3)(x-5-3)=0,即(x-2)(x-8)=0,∴x-2=0或x-8=0,∴x1=2,x2=8.5722(2)422224242424(4)原方程可化为x2-6x+9=5+9,即(x-3)2=14,∴x-3=± ,∴x1=3+ ,x2=3- .1414141.解方程2(4x+5)2=3(5+4x)的最佳方法是 ()A.直接开平方法B.因式分解法C.配方法D.公式法答案B原方程左右两边都含有公因式4x+5,移项后可利用提公因式法分解因式.2.(2017上海浦东新区期中)一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2,那么二次三项式2x2+px+q可分解为 ()A.(x+1)(x-2)B.(2x+1)(x-2)C.2(x-1)(x+2)D.2(x+1)(x-2)答案D∵一元二次方程2x2+px+q=0的两根为-1和2,∴2(x+1)(x-2)=0,∴2x2+px+q可分解为2(x+1)(x-2).故选D.3.方程2(x-3)2=x2-9的解是.答案x1=3,x2=9解析方程整理得2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0,因式分解得(x-3)(2x-