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第二章一元二次方程初中数学（北师大版）九年级上册第二章一元二次方程知识点一一元二次方程的概念概念三个特征举例一元二次方程只含有一个未知数的整式方程,并且都可以化成ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的方程叫做一元二次方程(1)是整式方程,即等号两边都是关于未知数的整式的方程;(2)只含有一个未知数;(3)未知数的最高次数是2x2-3=0,x2-x-5=0例1①x2=9,② +2x=3,③x(x+5)=x2-2x,④5x2=0,⑤ x-x2+100,⑥3x2+ x-3=0,⑦ -y=0,属于一元二次方程的是(只填序号).22x25224y解析①④⑥⑦都是一元二次方程;②不是整式方程;③整理后不含二次项;⑤不是方程.答案①④⑥⑦温馨提示根据一元二次方程的定义判断,将方程化简变形后,如果能同时满足定义中所包含的三个条件,那么这个方程是一元二次方程.知识点二一元二次方程的一般形式一般形式一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)项及项的系数二次项:ax2,二次项系数:a一次项:bx,一次项系数:b常数项:c重点解读(1)“a≠0”是一元二次方程ax2+bx+c=0的重要组成部分,如果明确了ax2+bx+c=0是一元二次方程,就隐含了a≠0这个条件,当a=0,b≠0时,它就成为一元一次方程;(2)指出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时,一定要带上前面的符号;(3)一元二次方程化为一般形式时,若没有出现一次项bx,并不是没有,而是b=0例2把下列关于x的方程化为一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项.(1)7x-3=2x2;(2)(1-2x)(x+4)+7x=2x2+3;(3)a(1-x2)+c(1+x2)=2bx(c≠a).解析(1)移项,得2x2-7x+3=0,故二次项系数是2,一次项系数是-7,常数项是3.(2)去括号,得x+4-2x2-8x+7x=2x2+3,移项、合并同类项,得4x2-1=0,故二次项系数是4,一次项系数是0,常数项是-1.(3)去括号,得a-ax2+c+cx2=2bx,移项、合并同类项,得(c-a)x2-2bx+a+c=0,因为c≠a,所以c-a≠0,故二次项系数为c-a,一次项系数为-2b,常数项为a+c.规律总结一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0(a、b、c为常数,a≠0),根据等式的性质,任意一个一元二次方程的一般形式不是唯一的,但为了解题方便,化一元二次方程为一般形式时,应尽量化为最简形式.知识点三一元二次方程解的估算一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解,也叫一元二次方程的根估计一元二次方程的解一般步骤:(1)列表,利用未知数的取值分别计算方程ax2+bx+c=0(a≠0)中ax2+bx+c的值;(2)在表中找出使ax2+bx+c的值可能等于0的未知数符合要求的范围;(3)进一步在(2)中的范围内列表、计算、缩小估计范围,直到符合题中精确度的要求为止知识拓展(1)要判断一个值是不是一元二次方程的解,只需将这个值代入已知方程的左右两边,看能否使方程的左右两边相等.若相等,则是方程的解;否则不是.(2)在估计一元二次方程解的取值范围时,使ax2+bx+c(a≠0)的值由正变负或由负变正的x的取值很重要,因为只有在这个范围内,才能存在使ax2+bx+c=0(a≠0)成立的x的值,即方程的解例3已知一元二次方程(x+2)(x-5)+7=0的一个解为正数.(1)这个解在哪两个整数之间?(2)这个解的十分位是几?分析(1)把方程化为(x+2)(x-5)=-7,估计方程为正数的解在4附近→依次取x=2,3,4,5,求出相应的代数式(x+2)(x-5)的值→比较上述各代数式的值与-7的大小,由此得到方程的解在哪两个整数之间;(2)估计方程(x+2)(x-5)=-7为正数的解在3.8附近→依次取x=3.6,3.7,3.8,3.9,求出相应的代数式(x+2)(x-5)的值→比较上述各代数式的值与-7的大小,由此得到方程的解的十分位.解析(1)把该方程化为(x+2)(x-5)=-7,列表如下:由表格可知,方程的这个正数解在3和4两个整数之间.(2)列表如下:x2345(x+2)(x-5)-12-10-60与-7比较小于-7小于-7大于-7大于-7x3.63.73.83.9(x+2)(x-5)-7.84-7.41-6.96-6.49与-7比较小于-7小于-7大于-7大于-7由表格可知,方程的这个正数解的十分位是7.知识点四由实际问题列出一元二次方程根据数量关系列方程,就是把文字语言叙述的问题转化为数学语言表达的式子.列方程表示实际问题的数量关系的一般步骤:(1)弄清题意,设未知数;(2)分析题中包含的已知与未知的数量关系,列出相应的代数式;(3)根据等量关系列出方程.图2-1-1例4如图2-1-1所示,现有长方形纸片一张,长19cm,宽15cm,需要在四个角剪去边长是多少厘米的小正方形才能将其做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒?请根据题意列出方程.分析要做成底面积为81cm2的无盖长方体纸盒,只要将底面的长和宽分别用含未知数的代数式表示,根据长方形的面积公式,就可以找出等量关系列出方程.解析设需要剪去的小正方形的边长为xcm,则纸盒底面的长为(19-2x)cm,宽为(15-2x)cm.根据题意,得(19-2x)·(15-2x)=81.整理,得x2-17x+51=0.题型一利用定义求字母的值例1关于x的方程(|a|-1)x2-(a-1)x-3=0.(1)当a满足什么条件时,该方程为一元二次方程?(2)当a满足什么条件时,该方程为一元一次方程?解析(1)∵(|a|-1)x2-(a-1)x-3=0为一元二次方程,∴|a|-1≠0,∴a≠±1.(2)∵(|a|-1)x2-(a-1)x-3=0为一元一次方程,∴ 解得a=-1.点拨分清字母所处位置和相应条件是解含字母系数方程问题的关键.||10,(1)0,aa题型二一元二次方程的解与代数式求值的综合例2若关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1,则2013-a-b的值是 ()A.2018B.2008C.2014D.2012解析∵x=1是一元二次方程ax2+bx+5=0的一个根,∴a·12+b·1+5=0,∴a+b=-5,∴2013-a-b=2013-(a+b)=2013-(-5)=2018.答案A方法规律本题运用方程的解的定义,把已知方程的解直接代入方程得到a+b=-5,再依据整体思想代入所求代数式即可求值.易错点判断一元二次方程时,忽略“a≠0”的条件例已知方程(m+1)x|m|+1+2x-3=0是关于x的一元二次方程,则m的值是 ()A.-1B.1C.±1D.无法确定解析由题意得 ∴m=1.||12,10,mm答案B易错警示本题容易由|m|+1=2求得m=±1,从而错选C选项,原因是忽略了m+1≠0,即m≠-1这个前提条件.事实上,当m+1=0时,原方程为2x-3=0,它不是一元二次方程.知识点一一元二次方程的概念1.(2019上海浦东新区期中)下列四个方程中,是一元二次方程的为 ()A.x2-2=0B.2x2-2x+3=4+2x+2x2C.2x2-3 +1=0D.2x2- -3=0x1x答案A判断一个方程是不是一元二次方程,首先要看是不是整式方程,然后看化简后是不是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.A.x2-2=0是一元二次方程;B.2x2-2x+3=4+2x+2x2整理为-4x-1=0,不是一元二次方程;C.2x2-3 +1=0不是整式方程,不是一元二次方程;D.2x2- -3=0不是整式方程,不是一元二次方程.故选A.x1x2.(2019江苏扬州江都三中月考)已知(m-1)x|m|+1-2x+1=0是关于x的一元二次方程,则m=.答案-1解析∵(m-1)x|m|+1-2x+1=0是关于x的一元二次方程,∴|m|+1=2,且m-1≠0,解得m=-1.知识点二一元二次方程的一般形式3.(2019山西太原期中)将方程(x+1)(2x-3)=1化成ax2+bx+c=0的形式,当a=2时,b,c的值分别为 ()A.b=-1,c=-3B.b=-5,c=-3C.b=-1,c=-4D.b=5,c=-4答案C(x+1)(2x-3)=1,整理得2x2-x-4=0,则a=2,b=-1,c=-4,故选C.4.(2019山东青岛城阳九中月考)一元二次方程(x+1)(x+3)=9的一般形式是,二次项系数为,常数项为.答案x2+4x-6=0;1;-6解析由(x+1)(x+3)=9,得x2+4x+3-9=0,即x2+4x-6=0.其中二次项系数是1,常数项是-6.知识点三一元二次方程解的估算5.(2017山东青岛市北一模)根据表格中的数据,估计一元二次方程x2+2x-4=0的一个解x的范围为 ()A.-1x0B.0x1C.1x2D.2x3x-10123x2+2x-4-5-4-1411答案C根据表格中的数据,可以发现:x=1时,x2+2x-4=-1;x=2时,x2+2x-4=4,故一元二次方程x2+2x-4=0的一个解x的范围是1x2.6.(2019浙江台州温岭期中)据有关数据统计,淘宝天猫在2016年“双11”当天的成交额达1207亿元,2018年“双11”当天的成交额达2135亿元.设年平均增长率为x,则所列方程正确的为 ()A.2135(1+x)2=1207B.1207(1+x)2=2135C.1207(1+x)2=2135-1207D.1207(1+2x)=2135知识点四由实际问题列出一元二次方程答案B根据题意得2018年“双11”当天的成交额为1207(1+x)2,列出方程为1207(1+x)2=2135,故选B.7.已知如图2-1-1所示的图形的面积为24.根据图中的条件,可列出方程:. 图2-1-1答案答案不唯一,如(x+1)2=25解析本题可以利用将图形补全成一个大正方形的方法,确定大正方形的边长为(x+1),补全的小正方形的面积为1,从而可以列出方程(x+1)2=25.也可以利用分割的方式列出其他形式的方程.1.下列方程中,是一元二次方程的有 ()①ax2+bx+c=0;② =5-6x;③2x(x-3)=2x2+1;④ =2x2;⑤y2-2xy+3=0;⑥(3x2-1)2-3=0;⑦x2=4;⑧ x2+3x-7=0.A.0个B.1个C.2个D.3个23xx23xxx2答案C①没有确定a的范围;③化简后是一元一次方程;②④分母中含有未知数;⑤含有两个未知数;⑥化简后未知数的最高次数是4;⑦⑧符合一元二次方程的定义.2.已知x=1是一元二次方程x2+ax+b=0的一个根,则代数式a2+2ab+b2的值为.答案1解析把x=1代入一元二次方程x2+ax+b=0中,整理得a+b=-1,所以a2+2ab+b2=(a+b)2=(-1)2=1.3.把下列方程化成一元二次方程的一般形式,并指出二次项系数、一次项系数、常数项.(1)(3x-1)(2x+3)=4;(2)(2x+1)2=(4x+1)(4x-1).解析(1)去括号,得6x2+9x-2x-3=4,移项、合并同类项,得6x2+7x-7=0,所以二次项系数是6,一次项系数是7,常数项是-7.(2)去括号,得4x2+4x+1=16x2-1,移项、合并同类项,得-12x2+4x+2=0,所以二次项系数是-12,一次项系数是4,常数项是2.4.已知关于x的方程(k+1) +(k-3)x-1=0.(1)当k取何值时,它是一元一次方程?(2)当k取何值时,它是一元二次方程?21kx解析(1)由关于x的方程(k+1) +(k-3)x-1=0是一元一次方程,得 或 解得k=-1或k=0.∴当k=-1或k=0时,关于x的方程(k+1) +(k-3)x-1=0是一元一次方程.(2)由关于x的方程(k+1) +(k-3)x-1=0是一元二次方程,得 解得k=1.∴当k