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专题六方案设计题专题名师解读同一个问题往往有多种不同的解决方案,但其中常常存在最科学、最合理的方案.方案设计题有利于考查学生的创新意识和实践能力,它已成为中考命题的一大热点.方案设计问题大多取材于生活,命题背景富有浓厚的生活气息,有利于激发同学们学习数学的兴趣.它改变了只依赖模仿和记忆的“重结果,轻过程”的学习方式,培养了同学们动手操作和实践的能力,有助于帮助同学们养成在生活中应用数学的习惯.方案设计问题在求解时,多会涉及几何、函数、方程、不等式以及概率等知识,其主要特征是要求在众多的可行方案中确定最佳方案或最优方案.解决方案设计问题的一般方法是:阅读,了解问题的背景和要求;观察,结合生活经验寻找问题的等量关系与不等关系;建模,应用数学知识将问题转化为数学问题;解答,求解相关的数学问题;作答,根据实际意义,对所获得的结论进行归纳、比较,确定符合题目要求的最佳方案.热点考向例析考向一考向二考向三考向一利用方程(或不等式)、一次函数等知识进行方案设计本类题是一类综合性较强的分析决策问题,涵盖了方程、不等式、一次函数等有关知识,考查学生的综合分析、归纳能力.热点考向例析考向一考向二考向三【例1】某社区饮用水紧张,每天需从社区外调运饮用水120吨.有关部门紧急部署,从甲、乙两水厂调运饮用水到该社区供水点,甲厂每天最多可调出80吨饮用水,乙厂每天最多可调出90吨饮用水.从两水厂运水到该社区供水点的路程和运费如下表:到该社区供水点的路程/千米运费/(元/吨·千米)甲厂2012乙厂1415(1)若某天调运水的总运费为26700元,则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水?(2)设从甲厂调运饮用水x吨,总运费为W元,试写出W关于x的函数解析式,怎样安排调运方案才能使每天的总运费最少?热点考向例析考向一考向二考向三解:(1)设从甲厂调运饮用水a吨,从乙厂调运饮用水b吨,根据题意,得20×12𝑎+14×15𝑏=26700,𝑎+𝑏=120,解得𝑎=50,𝑏=70.因为5080,7090,所以50,70符合题意.故从甲、乙两水厂各调运了50吨、70吨饮用水.(2)从甲厂调运饮用水x吨,则需从乙厂调运饮用水(120-x)吨,根据题意,可得𝑥≤80,120-𝑥≤90,解得30≤x≤80.总运费W=20×12x+14×15(120-x)=30x+25200(30≤x≤80).因为W的值随x值的增大而增大,所以当x=30时,W取得最小值,W最小值=30×30+25200=26100.故每天从甲厂调运30吨饮用水,从乙厂调运90吨饮用水时,可使每天的总运费最少.热点考向例析考向一考向二考向三热点考向例析考向一考向二考向三考向二利用几何知识进行方案设计利用几何知识进行方案设计,不仅要有一定的几何作图能力,而且要能熟练地运用几何的有关性质及全等、相似、图形变换、方程及三角函数的有关知识,并注意充分发挥分类讨论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作用.热点考向例析考向一考向二考向三【例2】一种电讯信号转发装置的发射直径为31km,现要求:在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点,每个点安装一个这种转发装置,使这些装置转发的信号完全覆盖这个城区.(1)能否找到这样的4个安装点,使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?在图①中画出安装点的示意图,用大写字母M,N,P,Q表示安装点,并简要说明理由;(2)能否找到这样的3个安装点,使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求?在图②中画出示意图,并用大写字母M,N,P表示安装点,用计算、推理和文字来说明你的理由.热点考向例析考向一考向二考向三解:(1)如图①(图案设计不唯一).图①理由:计算可得AM=15cos45°=15×22≈10.61312,同理DQ=PC=BN≈10.61312.故如此安装4个这种转发装置,能达到要求.热点考向例析考向一考向二考向三(2)如图②(图案设计不唯一).图②理由:将原正方形分割成如图②中的3个矩形,使得BE=OD=OC,将每个装置安装在这些矩形的对角线的交点处.设AE=x,则ED=30-x,DH=15.由BE=OD,得x2+302=152+(30-x)2,解得x=154.∴BE=1542+302≈30.231.故如此安装3个这种转发装置,能达到要求.热点考向例析考向一考向二考向三热点考向例析考向一考向二考向三考向三利用解直角三角形进行测量方案设计这类题目的特点是在测量方案中,用有关的三角函数知识解决.【例3】如图,飞机沿水平方向(A,B两点所在的直线)飞行,前方有一座高山,为了避免飞机飞行过低,就必须测量山顶M到飞行路线AB的距离MN.飞机能够测量的数据有俯角和飞行距离(因安全因素,飞机不能飞到山顶的正上方N处才测飞行距离),请设计一个求距离MN的方案,要求:(1)指出需要测量的数据(用字母表示,并在图中标出);(2)用测出的数据写出求距离MN的步骤.热点考向例析考向一考向二考向三解:此题为开放题,答案不唯一,只要方案设计合理即可.(1)如图,测出飞机在A处对山顶的俯角α,测出飞机在B处对山顶的俯角β,测出AB的水平距离d,连接AM,BM,MN.(2)步骤:第一步:在Rt△AMN中,tanα=𝑀𝑁𝐴𝑁,∴AN=𝑀𝑁tan𝛼;第二步:在Rt△BMN中,tanβ=𝑀𝑁𝐵𝑁,∴BN=𝑀𝑁tan𝛽;其中:AN=d+BN,解得MN=𝑑·tan𝛼·tan𝛽tan𝛽-tan𝛼.热点考向例析考向一考向二考向三