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专题五操作实践题专题名师解读操作实践题是指通过动手操作对某种现象获得感性认识,再利用数学知识进行思考、探索和解决的一类问题,这类问题具有较强的实践性,能够有效考查学生的实践能力、创新意识和发散思维能力等综合素质.操作实践题就其操作过程的形式而言,有折叠与剪拼,平移与旋转等多种变换操作.在操作中观察、探索、发现、手脑并用是这类问题的基本特征,让学生在动手操作的过程中体验数学结论与规律的发现过程,亲自体验问题情境、研究问题情趣,领略数学的奥秘.操作实践题能够更好地促进学生对数学的理解,帮助他们提高使用数学的语言、符号进行表达交流的能力.在解决这类问题的过程中,学生能够感受到数学学习的情趣与价值,经历“数学化”和“再创造”的过程,不断提高自己的创新意识与综合能力,因此,近年来操作实践性试题颇受命题者的青睐.专题名师解读解答操作实践题的关键是要学会自觉地运用数学知识去观察、分析、概括所给的实际问题,揭示其数学本质,并转化为我们所熟悉的数学问题,解答操作实践试题的基本步骤为:从实例或实物出发,通过具体操作实践,发现其中可能存在的规律,提出问题,检验猜想.在解答过程中一般需要经历操作、观察、思考、想象、推理、探索、发现、总结、归纳等过程,利用自己已有的生活经验和数学知识去感知操作过程中发生的现象,从而发现结论,进而解决问题.热点考向例析考向一考向二考向三考向一图形的展开与折叠问题折纸是最富有自然情感而又形象的实验,它的实质是对称问题,折痕就是对称轴,而一个点折叠前后的不同位置就是对称点,“遇到折叠用对称”就是运用对称的性质:(1)关于一条直线对称的两个图形全等;(2)对称轴是对称点连线的中垂线.此类题有一定的趣味性和挑战性,需要学生有折叠图形之间联系的空间概念,考查观察能力、分析能力与直觉思维能力,通过实际演示与操作给不同思维层次的学生都提供了机会.学生在解题时也可“就地取材”,剪下草稿纸的一角,动手操作即可解决.热点考向例析考向一考向二考向三【例1】已知矩形纸片OABC的长为4、宽为3,以长OA所在的直线为x轴,O为坐标原点建立平面直角坐标系.点P是OA边上的动点(与点O,A不重合),△POC沿PC翻折得到△PEC,再在AB边上选取适当的点D,将△PAD沿PD翻折,得到△PFD,使得直线PE与PF重合.(1)若点E落在BC边上,如图①,求点P,C,D的坐标,并求过此三点的抛物线的函数关系式;(2)若点E落在矩形纸片OABC的内部,如图②,设OP=x,AD=y,当x为何值时,y取得最大值?热点考向例析考向一考向二考向三解:(1)由题意知,△POC,△PAD均为等腰直角三角形,可得P(3,0),C(0,3),D(4,1).设过此三点的抛物线的函数关系式为y=ax2+bx+c(a≠0),则𝑐=3,9𝑎+3𝑏+𝑐=0,16𝑎+4𝑏+𝑐=1,解得𝑎=12,𝑏=-52,𝑐=3.所以过P,C,D三点的抛物线的函数关系式为y=12x2-52x+3.热点考向例析考向一考向二考向三(2)由PC平分∠OPE,PD平分∠APF,且PE与PF重合,得∠CPD=90°.所以∠OPC+∠APD=90°.又∠APD+∠ADP=90°,所以∠OPC=∠ADP.所以Rt△POC∽Rt△DAP.所以𝑂𝑃𝐴𝐷=𝑂𝐶𝐴𝑃,即𝑥𝑦=34-𝑥.所以y=13x(4-x)=-13x2+43x=-13(x-2)2+43(0x4),所以当x=2时,y有最大值43.热点考向例析考向一考向二考向三热点考向例析考向一考向二考向三考向二图形的移动问题图形的移动问题是指题目中的图形通过移动,得到新图形,但在变化过程中存在变量或不变量.通过实验动手操作来分析问题中的图形关系,从而寻求解答思路.一般综合性较强,是近几年中考的热点.考查学生解决复杂问题的能力、实验能力及空间想象能力等.热点考向例析考向一考向二考向三【例2】在平面直角坐标系中,已知O为坐标原点,点A(3,0),点B(0,4),以点A为旋转中心,把△ABO顺时针旋转,得到△ACD.记旋转角为α,∠ABO为β.(1)如图①,当旋转后点D恰好落在AB边上时,求点D的坐标;(2)如图②,当旋转后满足BC∥x轴时,求α与β之间的数量关系.热点考向例析考向一考向二考向三解:(1)由点A(3,0),B(0,4),得OA=3,OB=4.在Rt△ABO中,由勾股定理,得AB=𝑂𝐴2+𝑂𝐵2=5.根据题意,有DA=OA=3.如图,过点D作DM⊥x轴于点M,则MD∥OB,所以△ADM∽△ABO.有𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝑀𝐴𝑂=𝐷𝑀𝐵𝑂,得AM=𝐴𝐷𝐴𝐵·AO=35×3=95,DM=𝐴𝐷𝐴𝐵·BO=35×4=125.又OM=OA-AM,得OM=3-95=65,故点D的坐标为65,125.热点考向例析考向一考向二考向三(2)由题知∠CAB=α,AC=AB,所以∠ABC=∠ACB.在△ABC中,由∠ABC+∠ACB+∠CAB=180°,得α=180°-2∠ABC.又由BC∥x轴,得∠OBC=90°,有∠ABC=90°-∠ABO=90°-β,所以α=2β.热点考向例析考向一考向二考向三热点考向例析考向一考向二考向三考向三在操作中探究【例3】邻边不相等的平行四边形纸片,剪去一个菱形,余下一个四边形,称为第一次操作;在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形,又余下一个四边形,称为第二次操作……以此类推,若第n次操作余下的四边形是菱形,则称原平行四边形为n阶准菱形.如图甲,在▱ABCD中,若AB=1,BC=2,则▱ABCD为1阶准菱形.热点考向例析考向一考向二考向三(1)判断与推理:①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形;②小明为了剪去一个菱形,进行如下操作:如图乙,把▱ABCD沿BE折叠(点E在AD上),使点A落在BC边上的点F处,得到四边形ABFE.请证明四边形ABFE是菱形.(2)操作、探究与计算:①已知▱ABCD的邻边长分别为1,a(a1),且是3阶准菱形,请画出▱ABCD及裁剪线的示意图,并在图形下方写出a的值;②已知▱ABCD的邻边长分别为a,b(ab),满足a=6b+r,b=5r,请写出▱ABCD是几阶准菱形.热点考向例析考向一考向二考向三解:(1)①2②由折叠知:∠ABE=∠FBE,AB=BF.因为四边形ABCD是平行四边形,所以AE∥BF.所以∠AEB=∠FBE.所以∠AEB=∠ABE.所以AE=AB,所以AE=BF.所以四边形ABFE是菱形.热点考向例析考向一考向二考向三(2)①▱ABCD及裁剪线的示意图如下:②10阶准菱形.热点考向例析考向一考向二考向三