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第26课时图形的平移和旋转基础自主导学考点梳理自主测试考点一图形的平移1.定义在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,图形的这种变换,叫做平移变换,简称平移.确定一个平移变换的条件是平移的方向和距离.2.性质(1)平移不改变图形的形状与大小,即平移前后的两个图形是全等图形;(2)连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等;(3)对应线段平行(或共线)且相等;(4)对应角相等.基础自主导学考点梳理自主测试考点二图形的旋转1.定义在平面内,把一个平面图形绕着一个定点沿着某个方向旋转一定的角度,图形的这种变换叫做旋转变换.这个定点叫做旋转中心,这个角度叫做旋转角.图形的旋转由旋转中心、旋转方向和旋转角所决定.2.性质(1)图形上的每一点都绕着旋转中心沿着相同的方向旋转了同样大小的角度;(2)旋转后的图形与原来的图形的形状和大小都没有发生变化,即它们是全等的;(3)旋转前后两个图形的对应点到旋转中心的距离相等;(4)对应点到旋转中心的连线所成的角相等,并且等于旋转角.基础自主导学考点梳理自主测试考点三简单的平移作图与旋转作图1.平移作图的步骤(1)首先找出原图形中的关键点,如多边形的顶点、圆的圆心;(2)根据平移的距离与方向,画出关键点的对应点;(3)顺次连接各对应点,就得到原图形平移后的图形.2.旋转作图的步骤(1)找出旋转中心与旋转角;(2)找出构成图形的关键点;(3)作出这些关键点旋转后的对应点;(4)顺次连接各对应点.基础自主导学考点梳理自主测试1.将数字“6”旋转180°,得到数字“9”,将数字“9”旋转180°,得到数字“6”.现将数字“69”旋转180°,得到的数字是()A.96B.69C.66D.99答案:B2.如图,在平面直角坐标系中,正三角形OAB的顶点B的坐标为(2,0),点A在第一象限内,将△OAB沿直线OA的方向平移至△O'A'B'的位置,此时点A'的横坐标为3,则点B'的坐标为()A.(4,23)B.(3,33)C.(4,33)D.(3,23)答案:A基础自主导学考点梳理自主测试3.在6×6方格中,将图①中的图形N平移后位置如图②,则图形N的平移方法中,正确的是()A.向下平移1格B.向上平移1格C.向上平移2格D.向下平移2格答案:D基础自主导学考点梳理自主测试4.如图,将△ABC绕点P顺时针旋转90°得到△A'B'C',则点P的坐标是()A.(1,1)B.(1,2)C.(1,3)D.(1,4)答案:B基础自主导学考点梳理自主测试5.在如图的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A'B'C'.基础自主导学考点梳理自主测试解:如图.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点1平移【例1】如图,把图①中的☉A经过平移得到☉O(如图②),如果图①中☉A上一点P的坐标为(m,n),那么平移后在图②中的对应点P'的坐标为()A.(m+2,n+1)B.(m-2,n-1)C.(m-2,n+1)D.(m+2,n-1)解析:平移时图形上每个点平移的方向和距离都相同,☉A经过平移得到☉O,点A的横坐标增加2个单位,纵坐标减小1个单位.则点P移到P',移动的距离与点A相同.所以点P'的横坐标为m+2,纵坐标为n-1,即点P'的坐标为(m+2,n-1).答案:D规律方法探究命题点1命题点2命题点3规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点2旋转【例2】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=6.Rt△ABC绕直角顶点C逆时针旋转,当点A的对应点A'落在AB边的起始位置上时即停止转动,则点B转过的路径长为.解析:点B转过的路径长为𝐵𝐵'的长.在Rt△ACB中,∠B=30°,∴∠A=60°.又AC=A'C,∴△ACA'为正三角形.∴∠ACA'=60°,即旋转角为60°,∴∠BCB'=60°.∴𝑙𝐵𝐵'=60π×6180=2π.答案:2π规律方法探究命题点1命题点2命题点3规律方法探究命题点1命题点2命题点3变式训练如图,在方格纸中,△ABC经过变换得到△DEF,下列变换正确的是()A.先把△ABC绕点C逆时针方向旋转90°,再向下平移2格B.先把△ABC绕点C顺时针方向旋转90°,再向下平移5格C.先把△ABC向下平移4格,再绕点C逆时针方向旋转180°D.先把△ABC向下平移5格,再绕点C顺时针方向旋转180°答案:B规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点3图形变换的应用【例3】如图,△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形,∠BAC=∠EDF=90°,△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合.将△DEF绕点E旋转,旋转过程中,线段DE与线段AB相交于点P,线段EF与射线CA相交于点Q.(1)如图①,当点Q在线段AC上,且AP=AQ时,求证:△BPE≌△CQE;(2)如图②,当点Q在线段CA的延长线上时,求证:△BPE∽△CEQ;并求当BP=a,CQ=时,P,Q两点间的距离(用含a的代数式表示).92a规律方法探究命题点1命题点2命题点3(1)证明:∵E为BC的中点,∴BE=CE.∵△ABC是等腰直角三角形,∴AB=AC,∠B=∠C.∵AP=AQ,∴AB-AP=AC-AQ,即BP=CQ.在△BPE和△CQE中,∵𝐵𝑃=𝐶𝑄,∠𝐵=∠𝐶,𝐵𝐸=𝐶𝐸,∴△BPE≌△CQE.规律方法探究命题点1命题点2命题点3(2)解:∵△ABC和△DEF是等腰直角三角形,∴∠B=∠C=∠DEF=45°.∵∠BEQ是△QEC的一个外角,∴∠BEQ=∠C+∠CQE.又∠BEQ=∠BEP+∠DEF,∴∠BEP=∠CQE,∴△BPE∽△CEQ,∴𝐵𝑃𝐶𝐸=𝐵𝐸𝐶𝑄.又BE=CE,∴BE2=BP·CQ=9𝑎22,∴BE=32𝑎2,∴BC=32a.∴在Rt△ABC中,AB=AC=3a,∴AQ=QC-AC=92a-3a=32a,AP=AB-BP=3a-a=2a.连接PQ,则PQ=𝐴𝑃2+𝐴𝑄2=(2𝑎)2+32𝑎2=52a.规律方法探究命题点1命题点2命题点3