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第22课时与圆有关的计算基础自主导学考点梳理自主测试考点一弧长、扇形面积的计算1.如果弧长为l,圆心角的度数为n°,圆的半径为r,那么弧长的计算公式为l=𝑛π𝑟180.2.由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形.若扇形的圆心角为n°,所在圆半径为r,弧长为l,面积为S,则S=𝑛π𝑟2360或S=12lr;扇形的周长为2r+l.考点二圆柱和圆锥1.圆柱的侧面展开图是矩形,这个矩形的一边长等于圆柱的底面圆的周长,另一邻边长等于圆柱的高.如果圆柱的底面圆半径是r,高是h,那么S侧=2πrh,S全=2πr2+2πrh.2.圆锥的轴截面是由母线、底面直径组成的等腰三角形.圆锥的侧面展开图是一个扇形,扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.因此圆锥的侧面积:S侧=12l·2πr=πrl(l为母线长,r为底面圆半径);圆锥的全面积:S全=S侧+S底=πrl+πr2.基础自主导学考点梳理自主测试考点三不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时,最基本的思想就是转化思想,即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积.常用的方法有:(1)直接用公式求解.(2)将所求面积分割后,利用规则图形的面积求解.(3)将阴影中某些图形等积变形后移位,重组成规则图形求解.(4)将所求面积分割后,利用旋转,将部分阴影图形移位后,组成规则图形求解.基础自主导学考点梳理自主测试考点四正多边形和圆的相关概念1.外切多边形:和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆,这个多边形叫做圆外切多边形.2.一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心;外接圆的半径叫正多边形的半径;正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角;中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.基础自主导学考点梳理自主测试1.如图,已知圆锥侧面展开图的扇形面积为65πcm2,扇形的弧长为10πcm,则圆锥的母线长为()A.5cmB.10cmC.12cmD.13cm答案:D2.如图,AB是☉O的切线,切点为A,OA=1,∠AOB=60°,则图中阴影部分的面积是()A.3−16πB.3−13πC.32−16πD.32−13π答案:C基础自主导学考点梳理自主测试3.已知扇形的面积为12π,半径为6,则它的圆心角等于.答案:120°4.一个圆柱的高是8cm,侧面积是200.96cm2,则它的底面积是(π≈3.14).答案:100.48cm25.如图,正五边形ABCDE内接于☉O,点M为BC的中点,点N为DE的中点,则∠MON的大小为.答案:144°规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1弧长、扇形的面积【例1】如图,☉O的半径等于1,弦AB和半径OC互相平分交于点M,求扇形OACB的面积(结果保留π).解:∵弦AB和半径OC互相平分,∴OC⊥AB,OM=MC=12OC=12OA.在Rt△OAM中,sinA=𝑂𝑀𝑂𝐴=12,∴∠A=30°.又OA=OB,∴∠B=∠A=30°.∴∠AOB=120°.∴S扇形OACB=120×π×12360=π3.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2圆柱和圆锥【例2】如图,已知圆锥的底面半径为5cm,侧面积为65πcm2,设圆锥的母线与高的夹角为θ(如图),则sinθ的值为()A.512B.513C.1013D.1213解析:由圆锥的侧面积为65πcm2,底面半径为5cm,可得圆锥的母线长为13cm.由三角函数知识可知sinθ=,故选B.答案:B513规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4变式训练1一个圆锥的底面半径为3cm,侧面展开图是半圆,则圆锥的侧面积是cm2.答案:18π规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3不规则图形的面积【例3】如图,PA,PB分别与☉O相切于点A,B,∠APB=60°,连接AO,BO.(1)所对的圆心角∠AOB=度;(2)求证:PA=PB;(3)若OA=3,求阴影部分的面积.𝐴𝐵解:(1)120(2)证明:连接OP.∵PA,PB分别切☉O于点A,B,∴∠OAP=∠OBP=90°.∵OA=OB,OP=OP,∴Rt△OAP≌Rt△OBP,∴PA=PB.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4(3)由(2)知Rt△OAP≌Rt△OBP,则∠OPA=∠OPB=12∠APB=30°.在Rt△OAP中,OA=3,∴AP=33,∴S△OPA=12×3×33=932,∴S阴影=2×932−120π×32360=93-3π.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4正多边形的有关计算【例4】若一个正六边形的周长为24,则该正六边形的面积为.解析:如图,因为∠AOB=360°÷6=60°,OA=OB,所以△AOB为等边三角形,且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形,S△AOB=12×4×4×32=43,所以S正六边形=6×43=243.答案:243规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4变式训练2已知正六边形的边心距为3,则它的周长是()A.6B.12C.63D.123答案:B