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第21课时与圆有关的位置关系基础自主导学考点梳理自主测试考点一点与圆的位置关系点与圆有三种位置关系,主要根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系得出.具体关系如下表:d与r的数量关系点与圆的位置关系dr点在圆外d=r点在圆上dr点在圆内基础自主导学考点梳理自主测试考点二直线与圆的位置关系1.相离:如果直线和圆没有公共点,那么称直线与圆相离.2.相切:如果直线和圆有唯一的公共点,那么称直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做圆的切点.3.相交:如果直线和圆有两个公共点,那么称直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.4.直线与圆有三种位置关系,具体的位置关系取决于圆心O到直线l的距离d和☉O的半径r之间的大小关系,几种位置关系的区别如下表:基础自主导学考点梳理自主测试直线与圆的位置关系相离相切相交图形公共点个数012公共点名称无切点交点圆心到直线的距离d与半径r的大小关系drd=rdr基础自主导学考点梳理自主测试考点三切线的判定和性质1.切线的判定方法(1)与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(切线的定义);(2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线;(3)经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(切线的判定定理).2.切线的性质(1)切线与圆只有一个公共点;(2)圆心到切线的距离等于半径;(3)切线垂直于过切点的半径.3.切线长(1)定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.(2)性质定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.基础自主导学考点梳理自主测试考点四三角形的内切圆与圆的外接三角形1.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆,这个三角形叫做圆的外切三角形,这个圆的圆心叫做三角形的内心.2.三角形外心、内心有关知识的比较图形名称性质位置角度关系外心(三角形三边垂直平分线的交点)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等外心不一定在三角形内∠BOC=2∠A内心(三角形三条内角平分线的交点)三角形的内心到三角形三边的距离相等内心一定在三角形内部∠BOC=90°+12∠A基础自主导学考点梳理自主测试1.在一个圆中,给出下列命题,其中正确的是()A.若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径,则这两条直线不可能垂直B.若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径,则这两条直线与圆一定有4个公共点C.若两条弦所在的直线不平行,则这两条弦可能在圆内有公共点D.若两条弦平行,则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径答案:C基础自主导学考点梳理自主测试2.如图,CD切☉O于点B,CO的延长线交☉O于点A.若∠C=36°,则∠ABD的度数是()A.72°B.63°C.54°D.36°答案:B3.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以点C为圆心,以2.5cm为半径画圆,则☉O与直线AB的位置关系是()A.相交B.相切C.相离D.不能确定答案:A基础自主导学考点梳理自主测试4.如图,正三角形的内切圆半径为1,则这个正三角形的边长为.答案:23规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点1点与圆的位置关系【例1】在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,以B为圆心,BC为半径作☉B,则点A,C及AB,AC的中点D,E与☉B有怎样的位置关系?分析:先求出点A,C,D,E与圆心B的距离,再与半径3cm进行比较.解:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3cm,AC=4cm,∴AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=5(cm).∵☉B半径为3cm,AB=5cm3cm,∴点A在☉B外.∵BC=3cm,∴点C在☉B上.∵DB=12×5=2.5(cm)3cm,∴点D在☉B内.∵BE=𝐵𝐶2+𝐶𝐸2=9+4=13(cm),3=9,139,∴BEBC,∴点E在☉B外.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点2直线与圆的位置关系【例2】如图,在平面直角坐标系中,☉O的半径为1,则直线与☉O的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.以上三种情况都有可能y=x-2解析:∵令x=0,则y=-2;令y=0,则x=2,∴A(0,-2),B(2,0).∴OA=OB=2,∴△AOB是等腰直角三角形,∴AB=2.过点O作OD⊥AB,则OD=BD=12AB=12×2=1,∴直线y=x-2与☉O相切.答案:B规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5变式训练1如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是()A.8≤AB≤10B.8AB≤10C.4≤AB≤5D.4AB≤5答案:A规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点3切线的性质的应用【例3】(1)如图①,AB是☉O的弦,PA是☉O的切线,A是切点,如果∠PAB=30°,那么∠AOB=;(2)如图②,AB是☉O的直径,DC切☉O于点C,连接CA,CB,如果AB=12cm,∠ACD=30°,那么AC=cm.图①图②规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5解析:(1)由于△OAB为等腰三角形,要求∠AOB,即需求∠OAB.因为PA是☉O的切线,所以∠OAB+∠PAB=90°,所以∠OAB=90°-30°=60°,所以△OAB为等边三角形,所以∠AOB=60°.(2)连接OC.因为CD是☉O的切线,所以OC⊥CD,而∠ACD=30°,所以∠ACO=60°,所以△AOC是等边三角形,所以AC=OA=AB=×12=6(cm).答案:(1)60°(2)61212规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5变式训练2如图,直线CD与以线段AB为直径的圆相切于点D并交BA的延长线于点C,且AB=2,AD=1,点P在切线CD上移动.当∠APB的度数最大时,∠ABP的度数为()A.15°B.30°C.60°D.90°答案:B规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点4切线的判定【例4】如图,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,BD=OB,点C在☉O上,∠CAB=30°,求证:DC是☉O的切线.分析:欲证DC是☉O的切线,由于直线CD与☉O有公共点C,因此连接OC,BC,易知△OCB为等边三角形,由CB=OB=BD可得△OCD是直角三角形.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5证明:如图,连接OC,BC.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠CAB=30°,∴∠ABC=60°.∵OB=OC,∴△BOC为等边三角形,∴BC=OB.又OB=BD,∴BC=BD,∴△BCD为等腰三角形.又∠CBD=180°-∠ABC=120°,∴∠BCD=30°.∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°,∴OC⊥CD.∵点C在☉O上,∴CD是☉O的切线.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点5三角形的内切圆【例5】在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆半径r=.解析:如图,在Rt△ABC中,AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=62+82=10.∵S△ACB=12AC·BC=12×6×8=24,∴r=2𝑆△𝐴𝐶𝐵𝐴𝐶+𝐵𝐶+𝐴𝐵=486+8+10=2.答案:2规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5