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第19课时矩形、菱形、正方形基础自主导学考点梳理自主测试考点一矩形的性质与判定1.定义有一个角是直角的平行四边形是矩形.2.性质(1)矩形的对边平行且相等;(2)矩形的四个角都是直角;(3)矩形的对角线相等;(4)矩形既是轴对称图形,又是中心对称图形,它有两条对称轴,它的对称中心是对角线的交点.3.判定(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形;(2)有三个角是直角的四边形是矩形;(3)对角线相等的平行四边形是矩形.基础自主导学考点梳理自主测试考点二菱形的性质与判定1.定义一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2.性质(1)菱形的对边平行,四边都相等;(2)菱形的对角相等;(3)菱形的对角线互相垂直且平分,并且每一条对角线平分一组对角.3.判定(1)一组邻边相等的平行四边形是菱形;(2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形;(3)四条边都相等的四边形是菱形.4.菱形的面积菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,即S菱形=ab.(其中a,b为菱形对角线长)12基础自主导学考点梳理自主测试考点三正方形的性质与判定1.定义一组邻边相等的矩形叫做正方形.2.性质(1)正方形的四条边都相等,四个角都是直角;(2)正方形的对角线相等,且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角;(3)正方形是轴对称图形,两条对角线所在直线以及过每一组对边中点的直线都是它的对称轴;正方形是中心对称图形,对角线的交点是它的对称中心.基础自主导学考点梳理自主测试3.判定(1)一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形;(2)一组邻边相等的矩形是正方形;(3)对角线互相垂直的矩形是正方形;(4)有一个角是直角的菱形是正方形;(5)对角线相等的菱形是正方形.4.正方形的面积公式:S=a2(a为边长)或S=l2.(l为对角线的长)12基础自主导学考点梳理自主测试1.已知四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O,下列结论不正确的是()A.当AB=BC时,四边形ABCD是菱形B.当AC⊥BD时,四边形ABCD是菱形C.当OA=OB时,四边形ABCD是矩形D.当∠ABD=∠CBD时,四边形ABCD是矩形答案:D2.如图,在菱形ABCD中,∠B=60°,AB=4,则以AC为边长的正方形ACEF的周长为()A.14B.15C.16D.17答案:C基础自主导学考点梳理自主测试3.下列命题是真命题的是()A.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形B.有两边和一角对应相等的两个三角形全等C.两条对角线相等的平行四边形是矩形D.两边相等的平行四边形是菱形答案:C4.如图,在正方形ABCD中,AD=1.将△ABD绕点B顺时针旋转45°得到△A'BD',此时A'D'与CD交于点E,则DE的长度为.答案:2-2规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点1矩形的性质与判定【例1】如图,在△ABC中,AB=AC,AD,AE分别是∠BAC和∠BAC外角的平分线,BE⊥AE.(1)求证:DA⊥AE;(2)试判断AB与DE是否相等?并证明你的结论.分析:第(1)题利用邻补角的角平分线互相垂直易证;在第(2)题中,AB与DE是四边形ADBE的对角线,可考虑利用矩形的判定,证明四边形ADBE是矩形即可.规律方法探究命题点1命题点2命题点3(1)证明:∵AD,AE分别平分∠BAC,∠BAF,∴∠BAD=12∠BAC,∠BAE=12∠BAF.∵∠BAC+∠BAF=180°,∴∠BAD+∠BAE=12(∠BAC+∠BAF)=12×180°=90°,即∠DAE=90°.∴DA⊥AE.(2)解:AB=DE.理由:∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.∵BE⊥AE,∴∠AEB=90°.∵∠DAE=90°,∴四边形ADBE是矩形.∴AB=DE.规律方法探究命题点1命题点2命题点3规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点2菱形的性质与判定【例2】如图,在▱ABCD中,AE平分∠BAD,交BC于点E,BF平分∠ABC,交AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF,PD.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若AB=4,AD=6,∠ABC=60°,求tan∠ADP的值.(1)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠EBF.∵AD∥BC,∴∠AFB=∠EBF.∴∠AFB=∠ABF.∴AB=AF.同理,AB=BE.∴AF=BE.又AF∥BE,∴四边形ABEF是平行四边形.∵AB=AF,∴四边形ABEF是菱形.规律方法探究命题点1命题点2命题点3(2)解:过点P作PG⊥AD于点G,如图.∵四边形ABEF是菱形,∠ABC=60°,∴△ABE是等边三角形.∵AB=4,∴AE=AB=4,∴AP=12AE=2.在Rt△AGP中,可求得∠PAG=60°.∴AG=AP·cos60°=1,GP=AP·sin60°=3.∵AD=6,∴DG=5,∴tan∠ADP=𝐺𝑃𝐷𝐺=35.规律方法探究命题点1命题点2命题点3规律方法探究命题点1命题点2命题点3变式训练如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,AC=6.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E.(1)求△BDE的周长;(2)点P为线段BC上的点,连接PO,并延长交AD于点Q,求证:BP=DQ.规律方法探究命题点1命题点2命题点3(1)解:因为四边形ABCD为菱形,所以BE∥AD.又AC∥DE,所以四边形ACED为平行四边形,则有AB=AD=BC=CE=5,所以BE=BC+CE=10,AC=DE=6.又OA=12AC=12×6=3,AB=5,OA⊥OB,所以在Rt△AOB中有AB2=OB2+OA2,所以OB=4=12BD,BD=8,故△BDE的周长为BD+DE+BE=8+6+10=24.(2)证明:因为四边形ABCD为菱形,所以OB=OD,BE∥AD,则∠DBC=∠ADB.又∠BOP=∠DOQ,所以△BOP≌△DOQ,故有BP=DQ.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点3正方形的性质与判定【例3】如图①,在正方形ABCD中,E,F,G,H分别为边AB,BC,CD,DA上的点,HA=EB=FC=GD,连接EG,FH,交点为O.(1)如图②,连接EF,FG,GH,HE,试判断四边形EFGH的形状,并证明你的结论;(2)将正方形ABCD沿线段EG,HF剪开,再把得到的四个四边形按图③的方式拼接成一个四边形.若正方形ABCD的边长为3cm,HA=EB=FC=GD=1cm,则图③中阴影部分的面积为cm2.规律方法探究命题点1命题点2命题点3分析:根据题目的条件,可先证△AEH,△BFE,△CGF,△DHG四个三角形全等,证得四边形EFGH的四边相等,然后由全等再证一个角是直角.解:(1)四边形EFGH是正方形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.∵HA=EB=FC=GD,∴AE=BF=CG=DH.∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG.∴EF=FG=GH=HE.∴四边形EFGH是菱形.由△DHG≌△AEH,知∠DHG=∠AEH.∵∠AEH+∠AHE=90°,∴∠DHG+∠AHE=90°.∴∠GHE=90°.∴菱形EFGH是正方形.(2)1规律方法探究命题点1命题点2命题点3