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第17课时解直角三角形基础自主导学考点梳理自主测试考点一锐角三角函数定义在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.sinA=∠𝐴的对边斜边=𝑎𝑐;cosA=∠𝐴的邻边斜边=𝑏𝑐;tanA=∠𝐴的对边∠𝐴的邻边=𝑎𝑏.基础自主导学考点梳理自主测试考点二特殊角的三角函数值三角函数值角α三角函数30°45°60°sinα122232cosα322212tanα3313基础自主导学考点梳理自主测试考点三解直角三角形1.解直角三角形的定义由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程,叫做解直角三角形.在直角三角形中,除直角外,一共有5个元素,即3条边和2个锐角.已知元素中,至少有一个是边的条件,才能解直角三角形.2.直角三角形的边角关系在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c.(1)三边之间的关系:a2+b2=c2;(2)锐角之间的关系:∠A+∠B=90°;(3)边角之间的关系:sinA=𝑎𝑐,cosA=𝑏𝑐,tanA=𝑎𝑏,sinB=𝑏𝑐,cosB=𝑎𝑐,tanB=𝑏𝑎.基础自主导学考点梳理自主测试3.解直角三角形的几种类型及解法(1)已知一条直角边和一个锐角(如a,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,c=𝑎sin𝐴,b=𝑎tan𝐴(或b=𝑐2-𝑎2);(2)已知斜边和一个锐角(如c,∠A),其解法为:∠B=90°-∠A,a=c·sinA,b=c·cosA(或b=𝑐2-𝑎2);(3)已知两直角边a,b,其解法为:c=𝑎2+𝑏2,由tanA=𝑎𝑏,得∠A,∠B=90°-∠A;(4)已知斜边和一直角边(如c,a),其解法为:b=𝑐2-𝑎2,由sinA=𝑎𝑐,求出∠A,∠B=90°-∠A.基础自主导学考点梳理自主测试考点四解直角三角形的应用1.仰角与俯角在进行观察时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.2.坡角与坡度(坡比)坡角是坡面与水平面所成的角;坡度是斜坡上两点垂直高度与水平距离之比,常用i表示,也就是坡角的正切值,坡角越大,坡度越大,坡面越陡.基础自主导学考点梳理自主测试3.方向角指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的角叫做方向角.常见的方向角表示为北偏东多少度、北偏西多少度、南偏东多少度、南偏西多少度.如图,目标方向线OA,OB,OC,OD的方向角分别表示北偏东30°、南偏东60°、南偏西80°、北偏西45°.北偏西45°通常也叫西北方向.基础自主导学考点梳理自主测试1.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BC=1,AB=2,则下列结论正确的是()A.sinA=32B.tanA=12C.cosB=32D.tanB=3答案:D2.在正方形网格中,△ABC的位置如图,则cosB的值为()A.12B.22C.32D.33答案:B基础自主导学考点梳理自主测试3.如图,AB是☉O的直径,C是☉O上的点,过点C作☉O的切线交AB的延长线于点E,若∠A=30°,则sin∠E的值为()A.12B.22C.32D.33答案:A4.如图,已知在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=12,则cosB的值为.答案:513规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1锐角三角函数的定义【例1】在△ABC中,∠C=90°,sinA=45,则tanB=()A.43B.34C.35D.45解析:∵sinA=45,∴𝐵𝐶𝐴𝐵=45.于是,设BC=4a,AB=5a.在Rt△ABC中,由勾股定理可得AC=3a.∴tanB=𝐴𝐶𝐵𝐶=3𝑎4𝑎=34.故选B.答案:B规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2特殊角的三角函数值【例2】计算:(-1)2018×12-2+sin98°-π20+|3-2sin60°|.解:原式=1×114+1+3-2×32=1×4+1+0=5.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3解直角三角形【例3】如图,在△ABC中,∠C=90°,点D,E分别在AC,AB上,BD平分∠ABC,DE⊥AB,AE=6,cosA=35.求:(1)DE,CD的长;(2)tan∠DBC的值.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4解:(1)∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.在Rt△AED中,cosA=𝐴𝐸𝐴𝐷,即6𝐴𝐷=35.所以AD=10.根据勾股定理得DE=𝐴𝐷2-𝐴𝐸2=102-62=8.又因为DE⊥AB,DC⊥BC,BD平分∠ABC,所以DC=DE=8.(2)AC=AD+DC=10+8=18.在Rt△ABC中,cosA=𝐴𝐶𝐴𝐵,即18𝐴𝐵=35,∴AB=30.根据勾股定理得BC=𝐴𝐵2-𝐴𝐶2=302-182=24.在Rt△BCD中,tan∠DBC=𝐷𝐶𝐵𝐶=824=13.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4解直角三角形在实际中的应用【例4】如图,在一次数学课外实践活动中,要求测教学楼的高度AB.小刚在D处用高1.5m的测角仪CD,测得教学楼顶端A的仰角为30°,然后向教学楼前进40m到达E处,又测得教学楼顶端A的仰角为60°.求这幢教学楼的高度AB.解:在Rt△AFG中,tan∠AFG=𝐴𝐺𝐹𝐺,∴FG=𝐴𝐺tan∠𝐴𝐹𝐺=𝐴𝐺3.在Rt△ACG中,tan∠ACG=𝐴𝐺𝐶𝐺,∴CG=𝐴𝐺tan∠𝐴𝐶𝐺=3AG.又CG-FG=40m,即3AG-𝐴𝐺3=40m,∴AG=203m.∴AB=(203+1.5)m.答:这幢教学楼的高度AB为(203+1.5)m.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4变式训练如图,某施工单位为测得某河段的宽度,测量员先在河对岸岸边取一点A,再在河这边沿河边取两点B,C,在点B处测得点A在北偏东30°方向上,在点C处测得点A在西北方向上,量得BC长为200m,请你求出该河段的宽度.(结果保留根号)规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4解:如图,过点A作AD⊥BC于点D.根据题意得,∠ABD=90°-30°=60°,∠ACD=45°.∴∠CAD=45°,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD,∴BD=BC-CD=200-AD.在Rt△ABD中,tan∠ABD=𝐴𝐷𝐵𝐷,∴AD=BD·tan∠ABD=(200-AD)·tan60°=3(200-AD)m.∴AD+3AD=2003m.∴AD=20033+1=(300-1003)(m).答:该河段的宽度为(300-1003)m.