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第15课时等腰三角形基础自主导学考点梳理自主测试考点一等腰三角形1.等腰三角形的有关概念及分类有两边相等的三角形叫做等腰三角形,三边相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形.2.等腰三角形的性质(1)等腰三角形的两个底角相等(简称为“等边对等角”);(2)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(简称为“三线合一”);(3)等腰三角形是轴对称图形,它有一条对称轴.3.等腰三角形的判定如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(简称为“等角对等边”).基础自主导学考点梳理自主测试考点二等边三角形的性质与判定1.等边三角形的性质(1)等边三角形的三个内角相等,且都等于60°;(2)等边三角形的三条边都相等,等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴.2.等边三角形的判定(1)三条边相等的三角形是等边三角形;(2)三个角相等的三角形是等边三角形;(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形.考点三线段的垂直平分线1.概念:经过线段中点,并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,也叫做中垂线.2.性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.3.判定:到一条线段的两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,线段的垂直平分线可以看作是到线段两端点距离相等的点的集合.基础自主导学考点梳理自主测试考点四角平分线的性质及判定1.性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.2.判定:角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上,角的平分线可以看作是到角两边距离相等的点的集合.3.三角形角平分线的性质:三角形的三条角平分线交于一点,且这一点到三角形三边的距离相等.基础自主导学考点梳理自主测试1.已知一个等腰三角形的两条边长分别为3和8,则这个等腰三角形的周长为()A.11B.14C.19D.14或19答案:C2.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,∠A=20°.线段AB的垂直平分线交AB于点D,交AC于点E,连接BE,则∠CBE等于()A.80°B.70°C.60°D.50°答案:C基础自主导学考点梳理自主测试3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,AD=5,AC=4,则点D到AB的距离是.答案:3规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1等腰三角形的性质与判定【例1】如图,在△ABC中,AB=BC,BE⊥AC于点E,AD⊥BC于点D,∠BAD=45°,AD与BE交于点F,连接CF.(1)求证:BF=2AE;(2)若,求AD的长.(1)证明:∵AD⊥BC,∠BAD=45°,∴∠ABD=∠BAD=45°.∴AD=BD.∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠CAD+∠ACD=90°,∠CBE+∠ACD=90°.∴∠CAD=∠CBE.又∠CDA=∠BDF=90°,∴△ADC≌△BDF,∴AC=BF.∵AB=BC,BE⊥AC,∴AE=EC,即AC=2AE,∴BF=2AE.CD=2规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4(2)解:∵△ADC≌△BDF,∴DF=CD=2.在Rt△CDF中,CF=𝐷𝐹2+𝐶𝐷2=2,∵BE⊥AC,AE=EC,∴AF=FC=2.∴AD=AF+DF=2+2.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2等边三角形的性质与判定【例2】已知△ABC为等边三角形,点D,E分别在BC,AC边上,且AE=CD,AD与BE相交于点F.(1)求证:△ABE≌△CAD;(2)求∠BFD的度数.分析:解决等边三角形问题时,要充分利用等边三角形三边相等、三个角都等于60°的性质.全等是解决这类问题最常见的方法.(1)证明:∵△ABC为等边三角形,∴∠BAC=∠C=60°,AB=CA.在△ABE和△CAD中,AB=CA,∠BAE=∠C,AE=CD,∴△ABE≌△CAD.(2)解:∵△ABE≌△CAD,∴∠ABE=∠CAD.∵∠BFD=∠ABE+∠BAD,∴∠BFD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4变式训练如图,已知在等边三角形ABC的AC边上取中点D,在BC的延长线上取一点E,使CE=CD.求证:BD=DE.证明:∵△ABC是等边三角形,∴∠ABC=∠ACB=60°.∵点D是AC边上的中点,∴∠ABD=∠CBD=30°.∵CE=CD,∴∠CDE=∠CED.又∠ACB=∠CDE+∠CED=60°,∴∠CED=30°.∴∠CBD=∠CED=30°.∴BD=DE.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3线段的垂直平分线【例3】一张矩形纸片OABC平放在平面直角坐标系内,O为原点,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=5,OC=4.(1)如图①,将纸片沿CE对折,点B落在x轴上的点D处,求点D的坐标;(2)若将纸片沿直线l对折,点B落在x轴上的点F处(如图②),l与BF的交点为Q,若点Q的坐标是(3,2),求l的解析式.若点Q的坐标是(4,2),你能确定l的解析式吗?若能,求出其解析式;若不能,请说明理由.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4分析:(1)由对称性知道,CD=CB,根据勾股定理求出OD,即可以求得点D的坐标;(2)由垂直平分线的性质,点Q为BF的中点.由中位线知识和点Q的坐标,可确定l上的另一点A.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4解:(1)根据题意,知CD=CB=OA=5.∵∠COD=90°,∴OD=𝐶𝐷2-𝑂𝐶2=52-42=3.∴点D的坐标为(3,0).(2)过点Q作QM⊥x轴于点M.当点Q的坐标为(3,2)时,如题图,OM=3,MA=2,QM为△FAB的中位线,∴FM=2,即FA=4.而AB=4,FA=AB,而l为BF的中垂线,∴点A在l上.∴l的解析式为y=-x+5.当Q点坐标为(4,2)时,OM=4,MA=1,OF=3,CF=5,而CB=5,∴CF=CB.∵l为BF的中垂线,∴点C在l上.∴l的解析式为y=-x+4.12规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4角平分线的性质和判定【例4】如图,BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,BE,CF相交于点D,若BD=CD,求证:(1)DF=DE;(2)AD平分∠BAC.分析:由BE⊥AC于点E,CF⊥AB于点F,易得∠BFD=∠CED,先证△BDF与△CDE全等得到DF=DE,再由直角三角形的判定条件“HL”,证明Rt△ADF与Rt△ADE全等,便可得证AD平分∠BAC.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4证明:(1)∵CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,∴∠BFD=∠CED=90°.又∠BDF=∠CDE,BD=CD,∴△BDF≌△CDE(AAS),∴DF=DE.(2)在Rt△ADF和Rt△ADE中,𝐴𝐷=𝐴𝐷,𝐷𝐹=𝐷𝐸,∴Rt△ADF≌Rt△ADE(HL),∴∠FAD=∠EAD,即AD平分∠BAC.