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第12课时二次函数基础自主导学考点梳理自主测试考点一二次函数的概念一般地,如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),那么y叫做x的二次函数.任意一个二次函数都可化成y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的形式,因此y=ax2+bx+c(a≠0)叫做二次函数的一般形式.注意:1.二次项系数a≠0;2.ax2+bx+c必须是整式;3.一次项系数可以为零,常数项也可以为零,一次项系数和常数项可以同时为零;4.自变量x的取值范围是全体实数.基础自主导学考点二二次函数的图象及性质二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)图象(a0)(a0)开口方向开口向上开口向下对称轴直线x=-b2a直线x=-b2a顶点坐标-b2a,4ac-b24a-b2a,4ac-b24a增减性当x-b2a时,y随x的增大而减小;当x-b2a时,y随x的增大而增大当x-b2a时,y随x的增大而增大;当x-b2a时,y随x的增大而减小最值当x=-b2a时,y有最小值4ac-b24a当x=-b2a时,y有最大值4ac-b24a考点梳理自主测试基础自主导学考点梳理自主测试考点三二次函数图象的特征与a,b,c及b2-4ac的符号之间的关系项目字母字母的符号图象的特征aa0开口向上a0开口向下bb=0对称轴为y轴ab0(b与a同号)对称轴在y轴左侧ab0(b与a异号)对称轴在y轴右侧cc=0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b2-4acb2-4ac=0与x轴有唯一交点(顶点)b2-4ac0与x轴有两个交点b2-4ac0与x轴没有交点基础自主导学考点梳理自主测试考点四二次函数图象的平移抛物线y=ax2与y=a(x-h)2,y=ax2+k,y=a(x-h)2+k中a相同,则图象的形状和大小都相同,只是位置的不同.它们之间的平移关系如下:基础自主导学考点梳理自主测试考点五二次函数关系式的确定1.设一般式:y=ax2+bx+c(a≠0)若已知条件是图象上三个点的坐标,则设一般式y=ax2+bx+c(a≠0),将已知条件代入,求出a,b,c的值.2.设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标,则设交点式:y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),将第三点的坐标或其他已知条件代入,求出待定系数a,最后将关系式化为一般式.3.设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值,则设顶点式:y=a(x-h)2+k(a≠0),将已知条件代入,求出待定系数化为一般式.基础自主导学考点梳理自主测试考点六二次函数与一元二次方程的关系1.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当y=0时,就变成了ax2+bx+c=0(a≠0).2.ax2+bx+c=0(a≠0)的解是抛物线与x轴交点的横坐标.3.当Δ=b2-4ac0时,抛物线与x轴有两个不同的交点;当Δ=b2-4ac=0时,抛物线与x轴有一个交点;当Δ=b2-4ac0时,抛物线与x轴没有交点.4.设抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点坐标分别为A(x1,0),B(x2,0),则x1+x2=_______,x1·x2=_____.−𝑏𝑎𝑐𝑎基础自主导学考点梳理自主测试考点七二次函数的应用1.二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型,这就需要认真审题、理解题意,利用二次函数解决实际问题,应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题.2.建立平面直角坐标系,把代数问题与几何问题进行互相转化,充分结合三角函数、解直角三角形、相似、全等、圆等知识解决问题,求二次函数的解析式是解题关键.基础自主导学考点梳理自主测试1.抛物线y=(x-2)2+3的顶点坐标是()A.(2,3)B.(-2,3)C.(2,-3)D.(-2,-3)答案:A2.在二次函数y=-x2+2x+1的图象中,若y随x的增大而增大,则x的取值范围是()A.x1B.x1C.x-1D.x-1答案:A3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图,则下列结论正确的是()A.a0B.c0C.b2-4ac0D.a+b+c0答案:D基础自主导学考点梳理自主测试4.把抛物线y=-x2向左平移1个单位长度,然后向上平移3个单位长度,则平移后抛物线的解析式为()A.y=-(x-1)2-3B.y=-(x+1)2-3C.y=-(x-1)2+3D.y=-(x+1)2+3答案:D5.若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图,则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3,另一个解x2=.答案:-1基础自主导学考点梳理自主测试6.函数y=x2+2x+1,当y=0时,x=;当1x2时,y随x的增大而(填写“增大”或“减小”).答案:-1增大规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点1二次函数的图象及性质【例1】(1)二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是()A.(-1,8)B.(1,8)C.(-1,2)D.(1,-4)(2)已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,且经过点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1_______y2.(填“”“”或“=”)解析:(1)抛物线的顶点坐标可以利用顶点坐标公式或配方法来求.则-𝑏2𝑎=--62×(-3)=-1,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎=4×(-3)×5-(-6)24×(-3)=8.所以二次函数y=-3x2-6x+5的图象的顶点坐标是(-1,8).故选A.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7(2)点(-1,y1),(2,y2)不在对称轴的同一侧,不能直接利用二次函数的增减性来判断y1,y2的大小,可先根据抛物线关于对称轴的对称性,再用二次函数的增减性即可.设抛物线经过点(0,y3),因为抛物线对称轴为直线x=1,所以点(0,y3)与点(2,y2)关于直线x=1对称.则y3=y2.又a0,所以当x1时,y随x的增大而减小.则y1y3.故y1y2.答案:(1)A(2)规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点2利用二次函数图象判断a,b,c的符号【例2】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图所示,图象过点(-1,0),对称轴为直线x=2.下列结论:①4a+b=0;②9a+c3b;③8a+7b+2c0;④当x-1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有()A.1个B.2个C.3个D.4个解析:因为对称轴为直线x=2,所以-=2,所以4a+b=0,所以①正确;因为当x=-3时,9a-3b+c0,所以9a+c3b,所以②错误;易知a0,b0,c0,又因为4a+b=0,所以8a+7b+2c=-2b+7b+2c=5b+2c0,所以③正确;因为当x2时,y的值随x值的增大而减小,所以④错误.所以正确的有2个.故选B.答案:B𝑏2𝑎规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7变式训练已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图,有下列结论:①b2-4ac0;②abc0;③8a+c0;④9a+3b+c0.其中,正确结论的个数是()A.1B.2C.3D.4答案:D规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点3二次函数图象的平移【例3】将抛物线y=x2-2x+3向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的抛物线的解析式为()A.y=(x-1)2+4B.y=(x-4)2+4C.y=(x+2)2+6D.y=(x-4)2+6解析:∵y=x2-2x+3=(x-1)2+2,∴向上平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度后,得到的解析式为y=(x-1-3)2+2+2,即y=(x-4)2+4.故选B.答案:B规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点4确定二次函数的解析式【例4】已知一抛物线与x轴的交点是A(-2,0),B(1,0),且经过点C(2,8).(1)求该抛物线的表达式;(2)求该抛物线的顶点坐标.解法一:(1)设这个抛物线的表达式为y=ax2+bx+c(a≠0).由已知抛物线经过A(-2,0),B(1,0),C(2,8)三点,得4𝑎-2𝑏+𝑐=0,𝑎+𝑏+𝑐=0,4𝑎+2𝑏+𝑐=8,解这个方程组,得𝑎=2,𝑏=2,𝑐=-4.所以所求抛物线的表达式为y=2x2+2x-4.(2)y=2x2+2x-4=2𝑥+122−92,所以该抛物线的顶点坐标是-12,-92.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7解法二:(1)设这个抛物线的表达式为y=a(x-x1)(x-x2).由点A和点B的坐标,得y=a(x+2)(x-1).由点C的坐标,可得8=a×(2+2)×(2-1),解得:a=2.所以y=2(x+2)(x-1)=2x2+2x-4,即所求抛物线的表达式为y=2x2+2x-4.(2)由y=2x2+2x-4,得-𝑏2𝑎=-22×2=-12,4𝑎𝑐-𝑏24𝑎=4×2×(-4)-224×2=-92.所以该抛物线的顶点坐标是-12,-92.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点5求二次函数的最大(小)值【例5】已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象如图,当-5≤x≤0时,下列说法正确的是()A.有最小值-5,最大值0B.有最小值-3,最大值6C.有最小值0,最大值6D.有最小值2,最大值6解析:由二次函数的图象,得当x=-5时,y=-3;当x=-2时,y=6;当x=0时,y=2.∵-5≤x≤0,∴-3≤y≤6.故选B.答案:B规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点6二次函数与一元二次方程的关系【例6】若关于x的一元二次方程(x-2)(x-3)=m有实数根x1,x2,且x1≠x2,有下列结论:①x1=2,x2=3;②m-;③二次函数y=(x-x1)(x-x2)+m的图象与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0).其中,正确结论的个数是()A.0B.1C.2D.3解析:因式分解求方程的解,右边应化为0,而现在方程右边为m,所以①错误;方程可化简为x2-5x+6-m=0,则Δ=52-4(6-m)0,可解出m-,所以②正确;二次函数可化简为y=x2-(x1+x2)x+x1x2+m,由根与系数的关系,x1+x2=5,x1x2=6-m,∴y=x2-5x+6-m+m,即y=x2-5x+6,则此二次函数与x轴交点的坐标为(2,0)和(3,0),所以③正确.故选C.答案:C1414规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7命题点7二次函数的实际应用【例7】如图,抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点,点E在抛物线上,点F在x轴上,四边形OCEF为矩形,且OF=2,EF=3.(1)求该抛物线所对应的函数关系式;(2)求△ABD的面积;(3)将三角形AOC绕点C逆时针旋转90°,点A对应点为点G,问点G是否在该抛物线上?请说明理由.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点7解:(1)因为四边形OCEF为矩形,OF=2,EF=3,所以点C的坐标(0,