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第11课时反比例函数基础自主导学考点梳理自主测试考点一反比例函数的概念一般地,形如_______(k是常数,k≠0)的函数叫做反比例函数.自变量x的取值范围是x≠0,函数图象与x轴、y轴无交点.注意:反比例函数的表达式除外,还可以写成y=kx-1或xy=k(k≠0).考点二反比例函数的图象与性质1.图象反比例函数的图象是双曲线.2.性质(1)当k0时,双曲线的两支分别在第一、三象限,在每一个象限内,y随x的增大而减小;当k0时,双曲线的两支分别在第二、四象限,在每一个象限内,y随x的增大而增大.注意双曲线的两支和坐标轴无限靠近,但永远不能相交.(2)双曲线是轴对称图形,直线y=x或y=-x是它的对称轴;双曲线也是中心对称图形,对称中心是坐标原点.y=𝑘𝑥y=𝑘𝑥基础自主导学考点梳理自主测试考点三反比例函数(k≠0)中k的几何意义y=𝑘𝑥1.如图,过双曲线上任意一点P分别作x轴、y轴的垂线PM,PN,所得的矩形PMON的面积S=PM·PN=|y|·|x|=|xy|.∵y=𝑘𝑥,∴xy=k.∴S=|k|,即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得的矩形面积为|k|.2.如上图,过双曲线上的任意一点E作EF垂直于其中一坐标轴,垂足为F,连接EO,则S△EOF=|𝑘|2,即过双曲线上的任意一点作一坐标轴的垂线,连接该点与原点,所得三角形的面积为|𝑘|2.基础自主导学考点梳理自主测试考点四用待定系数法求函数解析式利用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤是:(1)设出反比例函数的解析式;(2)将适合函数的x与y的值代入所设的反比例函数解析式;(3)计算出k值;(4)将所得的k值代入一开始所设出的函数解析式.基础自主导学考点梳理自主测试1.已知点M(-2,3)在双曲线上,则下列各点一定在该双曲线上的是()A.(3,-2)B.(-2,-3)C.(2,3)D.(3,2)答案:A2.已知反比例函数,下列结论不正确的是()A.该函数的图象经过点(1,1)B.该函数的图象在第一、第三象限C.当x1时,0y1D.当x0时,y随着x的增大而增大答案:Dy=𝑘𝑥y=1𝑥基础自主导学考点梳理自主测试3.若反比例函数的图象经过点(2,-1),则该反比例函数的图象在()A.第一、第二象限B.第一、第三象限C.第二、第三象限D.第二、第四象限答案:D4.已知反比例函数(k为常数,k≠0)的图象位于第一、第三象限,写出一个符合条件的k的值为.答案:1(答案不唯一,大于0的常数均可)y=𝑘𝑥y=𝑘𝑥规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点1反比例函数的概念【例1】当k为何值时,y=(k-1)𝑥𝑘2-2是反比例函数?分析:反比例函数的解析式y=𝑘𝑥(k≠0),也可以写成y=kx-1(k≠0)的形式,后一种表达方式中x的次数为-1.由此可知函数是反比例函数,要具备的两个条件为k2-2=-1,且k-1≠0,二者必须同时满足,缺一不可.解:由题意可得𝑘2-2=-1,𝑘-1≠0,①②由①得,k=±1,由②得,k≠1.综上,当k=-1时,y=(k-1)𝑥𝑘2-2是反比例函数.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点2反比例函数的图象与性质【例2】已知点(-1,y1),(2,y2),(3,y3)在反比例函数的图象上.下列结论正确的是()A.y1y2y3B.y1y3y2C.y3y1y2D.y2y3y1解析:因为-k2-10,所以两个分支在第二、第四象限,在每个象限内,y随x的增大而增大.当x=-1时,y10.因为23,所以y2y30.所以y1y3y2.答案:By=-𝑘2-1𝑥规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6变式训练在同一平面直角坐标系中,一次函数y=kx-k与反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)的图象大致是()答案:A规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点3反比例函数y=𝑘𝑥(k≠0)中k的几何意义【例3】在平面直角坐标系中,若一条平行于x轴的直线l分别交双曲线y=-6𝑥和y=2𝑥于A,B两点,P是x轴上任意一点,则△ABP的面积等于.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6解析:(方法一)设直线l交y轴于点C,如图,连接PC,OA,OB.∵l∥x轴,∴S△OAC=12×|-6|=3.同理,S△OBC=12×|2|=1.∴S△PAB=S△PAC+S△PBC=S△OAC+S△OBC=3+1=4.(方法二)如图,设C(0,b),则A-6𝑏,𝑏,B2𝑏,𝑏,从而AB=8𝑏,故S△PAB=12AB·OC=12·8𝑏·b=4.答案:4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点4反比例函数解析式的确定【例4】如图,若双曲线(x0)与边长为5的等边三角形AOB的边OA,AB分别相交于C,D两点,且OC=3BD,则实数k的值为.y=𝑘𝑥规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6解析:如图,过点C作CE⊥x轴于点E,过点D作DF⊥x轴于点F,设BF=x,则DF=3x,BD=2x.因为OC=3BD,所以OE=3x,CE=33x,所以C(3x,33x),D(5-x,3x).因为点C,D都在双曲线上,所以3x·33x=3x·(5-x),解得:x1=12,x2=0(舍去),所以C32,332,故k=332×32=934.答案:934规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点5反比例函数与一次函数的综合运用【例5】如图,在平面直角坐标系中,点A是反比例函数(x0)图象上的一点,AB⊥x轴的正半轴于点B,C是OB的中点;一次函数y2=ax+b的图象经过A,C两点,并交y轴于点D(0,-2),若S△AOD=4.(1)求反比例函数和一次函数的解析式;(2)观察图象,请指出在y轴的右侧,当y1y2时,x的取值范围.y1=𝑘𝑥规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6解:(1)作AE⊥y轴于点E,∵S△AOD=4,OD=2,∴12OD·AE=4.∴AE=4.∵AB⊥OB,C为OB的中点,∴∠DOC=∠ABC=90°,OC=BC,∠OCD=∠BCA.∴△DOC≌△ABC.∴AB=OD=2.∴A(4,2).将A(4,2)代入y1=𝑘𝑥(x0)中,得k=8,∴y1=8𝑥(x0).将A(4,2)和D(0,-2)代入y2=ax+b,得4𝑎+𝑏=2,𝑏=-2,解得:𝑎=1,𝑏=-2,∴y2=x-2.(2)在y轴的右侧,当y1y2时,0x4.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6命题点6反比例函数的实际应用【例6】据媒体报道,春秋季是“手足口病”的发病高峰期,某校根据《学校卫生工作条例》,为预防“手足口病”,对教室进行“薰药消毒”.已知药物在燃烧释放过程中,室内空气中每立方米含药量y(单位:mg)与燃烧时间x(单位:min)之间的关系如图(即图中线段OA和双曲线在点A及其右侧的部分),根据图象所示信息,解答下列问题:(1)写出从药物释放开始,y与x之间的函数解析式及自变量的取值范围.(2)据测定,当空气中每立方米的含药量低于2mg时,对人体无毒害作用,那么从消毒开始,至少在多长时间内,师生不能进入教室?规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6解:(1)设反比例函数解析式为y=𝑘𝑥(k≠0).将(25,6)代入解析式得k=25×6=150.将y=10代入解析式得10=150𝑥,即x=15.故反比例函数解析式为y=150𝑥(x≥15),点A坐标为(15,10).设正比例函数解析式为y=nx,将A(15,10)代入,得n=1015=23,因此正比例函数解析式为y=23x(0≤x≤15).故y与x之间的函数解析式为y=23𝑥,0≤𝑥15,150𝑥,𝑥≥15.(2)由150𝑥=2,解得:x=75(min).答:从药物释放开始,师生至少在75min内不能进入教室.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点5命题点6