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第10课时一次函数基础自主导学考点梳理自主测试考点一一次函数和正比例函数的定义一般地,如果y=kx+b(k,b是常数,k≠0),那么y叫做x的一次函数.特别地,当b=0时,一次函数y=kx+b就成为y=kx(k是常数,k≠0),这时y叫做x的正比例函数.考点二正比例函数的图象和性质一般地,正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)的图象是一条经过原点和点(1,k)的直线,我们称它为直线y=kx.当k0时,直线y=kx经过第一、三象限,从左向右上升,即y随x的增大而增大;当k0时,直线y=kx经过第二、四象限,从左向右下降,即y随x的增大而减小.考点三正比例函数解析式的确定确定一个正比例函数,就是要确定正比例函数y=kx(k为常数,k≠0)中的系数k.基础自主导学考点梳理自主测试考点四一次函数的图象与性质1.一次函数的图象及画法一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线,我们称为直线y=kx+b.因为两点确定一条直线,所以画一次函数的图象只需取两点即可,通常取直线与两坐标轴的交点(0,b)和(即横坐标或纵坐标为0的点),再过这两点作直线.-𝑏𝑘,0基础自主导学考点梳理自主测试2.一次函数图象的性质(1)性质:一次函数y=kx+b,当k0时,y随x的增大而增大;当k0时,y随x的增大而减小.(2)直线y=kx+b的位置与k,b符号之间的关系:直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的,其中k决定直线从左至右呈上升趋势还是下降趋势(共两种情况);b决定直线与y轴交点的位置是在y轴的正半轴上、在y轴的负半轴上,还是在原点(共三种情况).k与b综合起来即可决定直线y=kx+b在平面直角坐标系中的位置,详见下表:基础自主导学考点梳理自主测试示意图k,b的符号k0b0b0b=0图象经过的象限一、二、三一、三、四一、三示意图k,b的符号k0b0b0b=0图象经过的象限一、二、四二、三、四二、四基础自主导学考点梳理自主测试考点五一次函数解析式的确定常用待定系数法求一次函数的解析式,待定系数法的一般步骤是:1.设出函数解析式;2.根据已知条件求出未知的系数;3.具体写出这个解析式.基础自主导学考点梳理自主测试考点六一次函数图象的平移1.直线y=kx+b可以看作是由直线y=kx平移|b|个单位长度而得到的.当b0时,向上平移;当b0时,向下平移.2.直线y=kx+b左右(或沿x轴)平移的规律:直线y=kx+b向左平移m(m为正)个单位长度得到直线y=k(x+m)+b,直线y=kx+b向右平移m(m为正)个单位长度得到直线y=k(x-m)+b.简记为左加右减(只对于改变x).3.直线y=kx+b上下(或沿y轴)平移的规律:直线y=kx+b向上平移n(n为正)个单位长度得到y=kx+b+n,直线y=kx+b向下平移n(n为正)个单位长度得到直线y=kx+b-n.简记为上加下减(只对于改变b).基础自主导学考点梳理自主测试考点七一次函数与方程、方程组及不等式的关系1.一次函数与一元一次方程直线y=kx+b与x轴交点的横坐标是一元一次方程kx+b=0的解,一元一次方程kx+b=0的解是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标.2.一次函数与一元一次不等式从函数值的角度看,不等式kx+b0的解集为使函数值大于零(即kx+b0)的x的取值范围;从图象的角度看,由于一次函数的图象在x轴上方时,y0,因此kx+b0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围.3.一次函数与二元一次方程组两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解;以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点.基础自主导学考点梳理自主测试考点八一次函数的应用一次函数在现实生活中有着广泛的应用,在解答一次函数的实际问题时,应从给定的信息中抽象出一次函数关系.理清哪个是自变量,哪个是自变量的函数,确定出一次函数,再利用一次函数的图象与性质求解,同时要注意自变量的取值范围.基础自主导学考点梳理自主测试1.若点A(-2,m)在正比例函数y=-12x的图象上,则m的值是()A.14B.-14C.1D.-1答案:C2.一次函数y=2x-1的图象大致是()答案:B3.若一次函数y=kx+b,当x的值减小1时,y的值就减小2,则当x的值增加2时,y的值()A.增加4B.减小4C.增加2D.减小2答案:A基础自主导学考点梳理自主测试4.两直线l1:y=2x-1,l2:y=x+1的交点坐标为()A.(-2,3)B.(2,-3)C.(-2,-3)D.(2,3)答案:D5.若一次函数y=2x+b(b为常数)的图象经过点(1,5),则b的值为.答案:3规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1一次函数的图象与性质【例1】点P1(x1,y1)和点P2(x2,y2)是一次函数y=-4x+3图象上的两个点,且x1x2,则y1与y2的大小关系是()A.y1y2B.y1y20C.y1y2D.y1=y2解析:因为一次函数y=-4x+3中k0,根据其性质,y随x的增大而减小.所以当x1x2时,y1y2.答案:A规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4变式训练一次函数y=kx+b(k,b为常数,且k≠0)的图象如图所示.根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=-3的解为.答案:x=-4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2用待定系数法确定一次函数解析式【例2】已知甲、乙两地相距90km,A,B两人沿同一公路从甲地出发到乙地,A骑摩托车,B骑电动车,图中DE,OC分别表示A,B离开甲地的路程s(单位:km)与时间t(单位:h)的函数关系的图象,根据图象解答下列问题.(1)A比B后出发几小时?B的速度是多少?(2)在B出发后几小时,两人相遇?规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4解:(1)A比B后出发1h,B的速度是20km/h.(2)设直线DE的解析式为s=kt+b,把D(1,0),E(3,90)代入得𝑘+𝑏=0,3𝑘+𝑏=90,解得:𝑘=45,𝑏=-45.∴直线DE的解析式为s=45t-45,直线OC的解析式为s=20t,由𝑠=45𝑡-45,𝑠=20𝑡,解得:𝑡=95,𝑠=36.∴在B出发后1.8h,两人相遇.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3一次函数与方程(组)、不等式的关系【例3】如图,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为.解析:把点P(a,2)的坐标代入y=x+1,得2=a+1,所以a=1.观察图象知,当x1时,直线y=x+1在直线y=mx+n的上方,此时x+1mx+n.故不等式x+1≥mx+n的解集为x≥1.答案:x≥1规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4一次函数的应用【例4】某中学欲购置一批标价为4800元的某型号电脑,需求数量在15台至25台之间,经与两个专卖店商谈,甲店同意打八折,乙店承诺先赠一台,其余打八五折,这个学校从哪个专卖店购买电脑更划算?分析:购买电脑的花费和电脑的台数有关,可以设购买的台数为x,用待定系数法分别求出两种不同购买方式的函数解析式,再作比较.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4解:设购买电脑x(15≤x≤25)台,在甲店需花费y甲=4800×0.8x=3840x(元),在乙店需要花费y乙=4800×0.85(x-1)=4080x-4080(元).在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象(如图).解方程组𝑦=3840𝑥,𝑦=4080𝑥-4080,得𝑥=17,𝑦=65280.所以两图象交于点(17,65280).观察图象知,当购买台数为15,16台时,直线y=4080x-4080在直线y=3840x下方,应在乙店购买;当购买台数为17台时,两店价钱相同,在甲、乙两店中哪个店购买都行;当购买台数在18台至25台时,直线y=3840x在直线y=4080x-4080下方,应在甲店购买.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4