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第6课时一元二次方程基础自主导学考点梳理自主测试考点一一元二次方程的概念1.定义只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程,叫做一元二次方程.2.一般形式一元二次方程的一般形式:ax2+bx+c=0(a≠0).基础自主导学考点梳理自主测试考点二一元二次方程的解法1.开平方法若x2=a(a≥0),则x=±𝑎,即x1=𝑎,x2=-𝑎.2.配方法若x2+px+q=0,且p2-4q≥0,则𝑥+𝑝22=-q+𝑝22.x1=-𝑝2+-𝑞+𝑝22,x2=-𝑝2−-𝑞+𝑝22.当二次项系数不为1时,先在方程两边同除以二次项系数,把二次项系数化为1.3.公式法方程ax2+bx+c=0(a≠0),且b2-4ac≥0,则x=-𝑏±𝑏2-4𝑎𝑐2𝑎.基础自主导学考点梳理自主测试4.因式分解法一般步骤:(1)将方程的右边各项移到左边,使右边为0;(2)将方程左边分解为两个一次因式乘积的形式;(3)令每个因式为0,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程,它们的解就是原方程的解.基础自主导学考点梳理自主测试考点三一元二次方程根的判别式关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式为b2-4ac,记为Δ.(1)b2-4ac0⇔关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根.(2)b2-4ac=0⇔关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.(3)b2-4ac0⇔关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根.基础自主导学考点梳理自主测试考点四一元二次方程根与系数的关系1.如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根为x1,x2,那么有x1+x2=-p,x1·x2=q.2.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为x1,x2,那么有x1+x2=_____,x1·x2=_____.考点五一元二次方程的实际应用列一元二次方程解实际问题的一般步骤:(1)弄清题意,确定适当的未知数;(2)寻找等量关系;(3)列出方程,注意方程两边的代数式的单位要相同;(4)解方程,检验并写出答案.−𝑏𝑎𝑐𝑎基础自主导学考点梳理自主测试1.若x=-2是关于x的一元二次方程的一个根,则a的值为()A.1或4B.-1或-4C.-1或4D.1或-4答案:B2.关于x的一元二次方程(x+6)2=16可转化为两个一元一次方程,其中一个一元一次方程是x+6=4,则另一个一元一次方程是()A.x-6=-4B.x-6=4C.x+6=4D.x+6=-4答案:D3.用配方法解方程x2-4x+2=0,下列配方正确的是()A.(x-2)2=2B.(x+2)2=2C.(x-2)2=-2D.(x-2)2=6答案:Ax2-52ax+a2=0基础自主导学考点梳理自主测试4.若a,b,c为常数,且(a-c)2a2+c2,则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是()A.有两个相等的实数根B.有两个不相等的实数根C.无实数根D.有一根为0答案:B5.如图,在一块长为22m,宽为17m的矩形地面上,要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路分别与矩形的一条边平行),剩余部分种上草,使草坪面积为300m2.设道路宽为xm,根据题意可列出的方程为.答案:(22-x)(17-x)=300(或x2-39x+74=0)规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点1一元二次方程的解法【例1】解方程x(x+6)=16.解法一:x2+6x=16,即x2+6x-16=0.∴(x+8)(x-2)=0.∴x+8=0或x-2=0,解得:x1=-8,x2=2.解法二:x2+6x=16,即x2+6x-16=0.∵a=1,b=6,c=-16,∴b2-4ac=36+64=100.∴x=-6±1002,解得:x1=-8,x2=2.解法三:x2+6x=16,即x2+6x+622=16+622,∴(x+3)2=25,∴x+3=±5.解得:x1=-8,x2=2.规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点2一元二次方程根的判别式【例2】已知关于x的一元二次方程(m-2)2x2+(2m+1)x+1=0有两个不相等的实数根,则m的取值范围是()A.m34B.m≥34C.m34,且m≠2D.m≥34,且m≠2解析:根据题意,得(2m+1)2-4(m-2)20,且m-2≠0,解得:m,且m≠2,故选C.答案:C34规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点3一元二次方程根与系数的关系【例3】已知关于x的一元二次方程x2-6x+k+1=0的两个实数根分别是x1,x2,且,则k的值是()A.8B.-7C.6D.5解析:=(x1+x2)2-2x1x2,把x1+x2=6,x1·x2=k+1代入,解得:k=5.此时原方程为x2-6x+6=0,判别式为36-24=120,所以原方程有实数根,所以k=5符合题意.答案:D𝑥12+𝑥22=24𝑥12+𝑥22规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4规律方法探究命题点1命题点2命题点3命题点4命题点4一元二次方程的实际应用【例4】如图,用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形,其中正五边形的边长为(x2+17)cm,正六边形的边长为(x2+2x)cm(其中x0).求这两段铁丝的总长.解:由已知得,正五边形周长为5(x2+17)cm,正六边形周长为6(x2+2x)cm.因为正五边形和正六边形的周长相等,所以5(x2+17)=6(x2+2x).整理,得x2+12x-85=0,配方,得(x+6)2=121,解得:x1=5,x2=-17(舍去).故正五边形的周长为5×(52+17)=210(cm).又两段铁丝等长,所以这两段铁丝的总长为420cm.