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本章整合1.平行线分线段成比例【例1】如图,在△ABC中,AB=10,AC=8,BC=6,DE是AC的垂直平分线,DE交AB于点D,连接CD,则CD=()A.3B.4C.4.8D.5分析先根据已知数据判断△ABC的形状,再通过探索DE与BC的位置关系及AD与BD的数量关系,确定CD即为△ABC的中线,最后利用三角形中线的性质计算CD的长即可.解析:∵62+82=102,即BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形,∠ACB=90°.∵DE是AC的垂直平分线,∴DE⊥AC,AE=CE,∴DE∥BC,∴AD∶BD=AE∶CE=1,∴AD=BD,∴CD是Rt△ABC斜边上的中线,∴CD=×10=5,故选D.答案:D点拨若已知中有平行线,求两条线段的比,常常考虑应用平行线分线段成比例的性质求解.应用该性质时,要看清平行线组,找准对应线段.12AB=12跟踪训练GenZonɡXunLian1.如图,l1∥l2∥l3,直线a,b与l1,l2,l3分别交于点A,B,C和点D,E,F.若𝐴𝐵𝐵𝐶=23,DE=4,则EF的长是()A.83B.203C.6D.10答案解析解析关闭∵l1∥l2∥l3,∴𝐴𝐵𝐵𝐶=𝐷𝐸𝐸𝐹.又𝐴𝐵𝐵𝐶=23,DE=4,∴23=4𝐸𝐹,解得EF=6.答案解析关闭C2.三角形相似的判定方法【例2】如图,BC⊥AF,FD⊥AB,垂足分别为C,D,则图中共有对相似三角形.解析:观察题图,我们可以发现,图中有4个直角三角形,它们是Rt△ABC,Rt△ADF,Rt△EDB,Rt△CFE.这四个直角三角形每两个之间都相似,所以一共有6对三角形相似,分别是:△ABC∽△EBD,△ABC∽△AFD,△ABC∽△EFC,△AFD∽△EBD,△AFD∽△EFC,△EBD∽△EFC.答案:6点拨在复杂图形中辨认相似三角形时,要着重抓住图形的特征,如本题先找相等的角,再判定.跟踪训练GenZonɡXunLian2.如图,在下列每个图形中,存不存在相似的三角形?如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.解:(1)△ADE∽△ABC,根据∠A=∠A,∠ADE=∠ABC=50°即得.(2)△ADE∽△ACB,根据∠A=∠A,∠AED=∠ABC=70°即得.(3)△CDE∽△CAB,根据∠C=∠C,∠CDE=∠CAB=90°即得.(4)△EAB∽△ECD,根据𝐸𝐴𝐸𝐶=𝐸𝐵𝐸𝐷=12,∠AEB=∠CED即得.(5)△ABD∽△ACB,根据𝐴𝐷𝐴𝐵=𝐴𝐵𝐴𝐶=23,∠A=∠A即得.(6)△ABC∽△DEF,根据𝐴𝐵𝐷𝐸=𝐴𝐶𝐷𝐹=𝐵𝐶𝐸𝐹=21即得.3.相似三角形的性质【例3】如图,AD=DF=FB,DE∥FG∥BC,则S1∶S2∶S3=.解析:∵DE∥FG∥BC,∴△ADE∽△AFG∽△ABC.又AD=DF=FB,∴AD∶AF∶AB=1∶2∶3.答案:1∶3∶5∴𝑆1𝑆△𝐴𝐹𝐺=122=14,∴S1∶S2=1∶3,𝑆△𝐴𝐹𝐺𝑆△𝐴𝐵𝐶=232=49,∴𝑆2𝑆3=35,∴S1∶S2∶S3=1∶3∶5.跟踪训练GenZonɡXunLian3.已知△ABC的三边长分别为5,12,13,与其相似的△A'B'C'的最大边长为26,求△A'B'C'的面积S.答案解析解析关闭由△ABC的三边长可以判断出△ABC为直角三角形.又因为△ABC∽△A'B'C',所以△A'B'C'也是直角三角形,那么由△A'B'C'的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出△A'B'C'的两条直角边长,再求得△A'B'C'的面积.答案解析关闭设△ABC的三边依次为BC=5,AC=12,AB=13,则AB2=BC2+AC2,∴∠C=90°.又△ABC∽△A'B'C',∴∠C'=∠C=90°.𝐵𝐶𝐵'𝐶'=𝐴𝐶𝐴'𝐶'=𝐴𝐵𝐴'𝐵'=1326=12.又BC=5,AC=12,∴B'C'=10,A'C'=24,∴S=12A'C'×B'C'=12×24×10=120.4.相似三角形的实际应用【例4】如图,有一批形状大小相同的不锈钢片,呈直角三角形.已知∠C=90°,AB=5cm,BC=3cm,试设计一种方案,用这批不锈钢片裁出面积最大的正方形不锈钢片,并求出这种正方形不锈钢片的边长.分析要在三角形内裁出面积最大的正方形,那么这个正方形所有顶点应落在△ABC的边上,先画出不同方案,再把每种方案中的正方形边长求出.解:如图甲,设正方形EFGH的边长为xcm,由勾股定理得AC=4cm.而CD·AB=AC·BC=2S△ABC,得CD=125cm.又△CEH∽△CAB,得𝐶𝑀𝐶𝐷=𝐸𝐻𝐴𝐵,于是125-𝑥125=𝑥5,解得x=6037.如图乙,设正方形CFGH的边长为ycm.由GH∥AC,得𝐺𝐻𝐴𝐶=𝐵𝐻𝐵𝐶,即𝑦4=3-𝑦3,解得y=127.由x=6037,y=127=6035,知yx.即应如图乙那样裁剪,这时正方形的面积最大,它的边长为127cm.点拨根据相似的性质进行计算或推理.解决实际问题时,首先要弄清题意,把实际问题抽象为数学问题,然后利用已学知识解决.在解决实际问题时,常常是多种知识的合理运用,因此要联系已学知识,做到融会贯通.跟踪训练GenZonɡXunLian4.如图,小明为了测量一座高楼MN的高,在离点N20m的A处放了一个平面镜,小明沿NA后退到点C,正好从镜中看到楼顶M.若AC=1.5m,小明的眼睛离地面的高度为1.6m,请你帮助小明计算一下楼房MN的高度.(精确到0.1m)答案答案关闭∵BC⊥CA,MN⊥AN,∠BAC=∠MAN,∴△BCA∽△MNA.∴MN∶BC=AN∶AC,即MN∶1.6=20∶1.5.∴MN=1.6×20÷1.5≈21.3(m).5.位似【例5】一般室外放映的电影胶片上,每一个图片的规格为3.5cm×3.5cm,放映的银幕的规格是2m×2m.若影机的光源距胶片20cm时,问银幕应拉在离光源多远的地方,放映的图象刚好布满整个银幕?解:相似比为k=2003.5=4007,设银幕应拉在离光源xm的地方,则由位似图形的性质得𝑥0.2=4007,所以x=807,故银幕应拉在离光源807m的地方.跟踪训练GenZonɡXunLian5.如图,把四边形ABCD以点O为位似中心,沿OA方向放大2倍.(即相似比为2)答案答案关闭作法(1)连接OA,并延长OA到点A',使AA'=OA.(2)连接OB,并延长OB到点B',使BB'=OB.(3)连接OC,并延长OC到点C',使CC'=OC.(4)连接OD,并延长OD到点D',使DD'=OD.(5)连接A'B',B'C',C'D',D'A',则四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点O成位似图形,并且相似比为2.678910111212345答案答案关闭B13141.(2018·山东临沂中考)如图,利用标杆BE测量建筑物的高度.已知标杆BE高为1.2m,测得AB=1.6m,BC=12.4m,则建筑物CD的高是()A.9.3mB.10.5mC.12.4mD.14m6789101112123451314答案答案关闭D2.(2018·四川自贡中考)如图,在△ABC中,点D,E分别是AB,AC的中点,若△ADE的面积为4,则△ABC的面积为()A.8B.12C.14D.166789101112123451314答案答案关闭C3.(2018·重庆中考)要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5cm,6cm和9cm,另一个三角形的最短边长为2.5cm,则它的最长边为()A.3cmB.4cmC.4.5cmD.5cm6789101112123451314答案答案关闭D4.(2018·四川内江中考)已知△ABC与△A1B1C1相似,且相似比为1∶3,则△ABC与△A1B1C1的面积比为()A.1∶1B.1∶3C.1∶6D.1∶96789101112123451314答案答案关闭C5.(2018·山东滨州中考)在平面直角坐标系中,线段AB两个端点的坐标分别为A(6,8),B(10,2),若以原点O为位似中心,在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD,则点A的对应点C的坐标为()A.(5,1)B.(4,3)C.(3,4)D.(1,5)1267891011121234513146.(2018·山东潍坊中考)在平面直角坐标系中,点P(m,n)是线段AB上一点,以原点O为位似中心,把△AOB放大到原来的2倍,则点P的对应点的坐标为()A.(2m,2n)B.(2m,2n)或(-2m,-2n)C.12𝑚,12𝑛D.12𝑚,12𝑛或-12𝑚,-12𝑛答案答案关闭B67891011121234513147.(2018·四川成都中考)已知,且a+b-2c=6,则a的值为.𝑎6=𝑏5=𝑐4答案答案关闭126789101112123451314答案答案关闭28.(2018·浙江嘉兴中考)如图,直线l1∥l2∥l3,直线AC交l1,l2,l3于点A,B,C,直线DF交l1,l2,l3于点D,E,F,已知𝐴𝐵𝐴𝐶=13,则𝐸𝐹𝐷𝐸=.67891011121234513149.(2018·安徽中考)在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△PBE∽△DBC,若△APD是等腰三角形,则PE的长为.答案答案关闭65或3678910111212345131410.(2018·四川南充中考)如图,在△ABC中,DE∥BC,BF平分∠ABC,交DE的延长线于点F.若AD=1,BD=2,BC=4,则EF=.答案答案关闭23678910111212345131411.(2018·江苏连云港中考)如图,在△ABC中,点D,E分别在AB,AC上,DE∥BC,AD∶DB=1∶2,则△ADE与△ABC的面积的比为.答案答案关闭1∶9678910111212345131412.(2018·浙江杭州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD为BC边上的中线,DE⊥AB于点E.(1)求证:△BDE∽△CAD.(2)若AB=13,BC=10,求线段DE的长.答案答案关闭(1)证明∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∠B=∠C.∵DE⊥AB,∴∠DEB=∠ADC,∴△BDE∽△CAD.(2)解∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.在Rt△ADB中,AD=𝐴𝐵2-𝐵𝐷2=132-52=12.∵12·AD·BD=12·AB·DE,∴DE=6013.678910111212345131413.(2018·山东滨州中考)如图,AB为☉O的直径,点C在☉O上,AD⊥CD于点D,且AC平分∠DAB.求证:(1)直线DC是☉O的切线;(2)AC2=2AD·AO.6789101112123451314证明(1)如图,连接OC.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA.∵AC平分∠DAB,∴∠OAC=∠DAC,∴∠DAC=∠OCA,∴OC∥AD.又AD⊥CD,∴OC⊥DC,∴DC是☉O的切线.6789101112123451314(2)连接BC,∵AB为☉O的直径,∴AB=2AO,∠ACB=90°.∵AD⊥DC,∴∠ADC=∠ACB=90°.又∠DAC=∠CAB,∴△DAC∽△CAB,∵AB=2AO,∴AC2=2AD·AO.∴𝐴𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐷𝐴𝐶,即AC2=AB·AD.678910111212345131414.(2018·浙江衢州中考)如图,已知AB为☉O直径,AC是☉O的切线,连接BC交☉O于点F,取的中点D,连接AD交BC于点E,过点E作EH⊥AB于点H.(1)求证:△HBE∽△ABC.(2)若CF=4,BF=5,求AC和EH的长.𝐵𝐹6789101112123451314(1)证明∵AC是☉O的切线,∴CA⊥AB.∵EH⊥AB,∴∠EHB=∠CAB.∵∠EBH=∠CBA,