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第3课时相似三角形的判定(3)新课早知学前温故两边且夹角的两个三角形相似.成比例相等1.两角分别的两个三角形相似.2.下列各对三角形不一定相似的是()A.在△ABC中,∠A=54°,∠B=78°;在△A'B'C'中,∠C'=48°,∠B'=78°B.在△ABC中,∠C=90°,AC=4cm,BC=3cm;在△A'B'C'中,∠C'=90°,A'C'=12cm,A'B'=15cmC.在△ABC中,∠B=90°,AB=5,AC=13;在△A'B'C'中,∠B'=90°,A'B'=2.5a,B'C'=6aD.在△ABC中,∠C=90°,∠A=45°,AB=5;在△A'B'C'中,∠A'=45°,A'B'=5相等D新课早知学前温故3.如果两个直角三角形满足一个锐角相等或两组直角边,那么这两个直角三角形.4.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,AC=3,BC=4,A'B'=10,A'C'=6,则这两个三角形,记作.成比例相似相似Rt△ABC∽Rt△A'B'C'解析:∵AC=3,BC=4,∴AB=5.∴Rt△ABC∽Rt△A'B'C'.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,𝐴𝐵𝐴'𝐵'=𝐴𝐶𝐴'𝐶'=12,新课早知学前温故1.利用“两角分别相等的两个三角形相似”的方法判定三角形相似【例1】如图,☉O是△ABC的外接圆,BC是☉O的直径,D是劣弧的中点,BD交AC于点E.求证:AD2=DE·DB.分析由于AD2=DE·DB⇔因此只需证明△ADB∽△EDA即可,因为∠ADB=∠EDA,所以只需证明∠DAC=∠ABD.𝐴𝐷𝐷𝐸=𝐷𝐵𝐴𝐷,𝐴𝐶证明:∵D是劣弧𝐴𝐶的中点,∴𝐴𝐷=𝐷𝐶.∴∠DAC=∠ABD.又∠ADB=∠EDA,∴△ADB∽△EDA.∴𝐴𝐷𝐷𝐸=𝐷𝐵𝐴𝐷.∴AD2=DE·DB.点拨证明线段的等积式的一般思路是证明四条线段所在的两个三角形相似,或者先转化其中的等线段,再考虑各自所在的三角形相似,或者通过等比来代换.2.判定三角形相似的开放性试题【例2】如图,要使△ACD∽△ABC,只需添加条件.(只要写出一种合适的条件即可)解析:这是开放型题目,只要在已知条件下,添加的条件符合三角形相似的判定方法即可.答案:∠1=∠2(或AC2=AD·AB等)点拨一定要结合已知条件添加,此外,应熟悉相似三角形的几种判定方法,选择一个最简单、最有把握的条件填写.123451.如图,AB∥CD,AC,BD交于点O,BO=7,DO=3,AC=25,则AO的长为()A.10B.12.5C.15D.17.5答案答案关闭D123452.已知如图①②中各有两个三角形,其边长或角的度数已在图中标注,图②中AB,CD交于点O,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是()A.都相似B.都不相似C.只有①相似D.只有②相似答案解析解析关闭题图①中根据三角形的内角和定理,即可求得大三角形的第三个角为70°,由两角分别相等的两个三角形相似,即可判定题图①中的两个三角形相似;题图②根据图形中的已知条件,即可证得𝑂𝐴𝑂𝐷=𝑂𝐶𝑂𝐵,又由对顶角相等,即可根据对应边成比例且夹角相等的三角形相似证得这两个三角形相似.答案解析关闭B123453.一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8cm和15cm,另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6cm和cm,这两个直角三角形相似三角形.(填“是”或“不是”)454答案答案关闭是123454.如图,在▱ABCD中,E是边BC上的点,AE交BD于点F.如果𝐵𝐸𝐵𝐶=23,那么𝐵𝐹𝐹𝐷=.答案答案关闭23123455.如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,AD与BE相交于点F.(1)求证:△ACD∽△BFD;(2)当∠ABD=45°,AC=3时,求BF的长.答案答案关闭(1)证明∵AD⊥BC,BE⊥AC,∴∠ADC=∠BDF=∠AEF=90°,∴∠CAD+∠AFE=∠FBD+∠BFD=90°.∵∠BFD=∠AFE,∴∠CAD=∠FBD,∴△ACD∽△BFD.(2)解在Rt△ABD中,∵∠ABD=45°,∴AD=BD.∵△ACD∽△BFD,∴𝐴𝐶𝐵𝐹=𝐴𝐷𝐵𝐷=1,∴AC=BF.∵AC=3,∴BF=3.