2019年春九年级数学下册 第二十六章 反比例函数本章整合课件 (新版)新人教版

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本章整合1.反比例函数的图象和性质【例1】如图,在平面直角坐标系中,点M为x轴正半轴上一点,过点M的直线l平行于y轴,且直线l分别与反比例函数(x0)和(x0)的图象交于P,Q两点,若S△POQ=9,则k的值为.解析:∵直线l平行于y轴,∴直线PQ⊥x轴于点M,即|k|=10.又k0,∴k=-10.答案:-10y=8𝑥y=𝑘𝑥∴S△POM+S△QOM=12×8+12|k|=S△POQ=9,点拨一般地,若点A是双曲线y=𝑘𝑥(k≠0)上任意一点,AB垂直于x轴于点B,垂直于y轴于点C,坐标原点为点O,则S矩形ABOC=|k|,S△AOB=S△AOC=12|k|(即各面积均为常数).这就是反比例函数比例系数k的几何意义,该结论为我们解决许多相关问题提供了很大的帮助,要牢固掌握.跟踪训练GenZonɡXunLian1.在反比例函数y=1-3𝑚𝑥的图象上有两点A(x1,y1),B(x2,y2),x10x2,y1y2,则m的取值范围是()A.m13B.m13C.m≥13D.m≤13答案解析解析关闭由x10x2知反比例函数图象上点A(x1,y1),B(x2,y2)在不同的象限,又y1y2,因而y10y2,所以点A(x1,y1),B(x2,y2)分别在第一、第三象限,所以1-3m0,解得m13.答案解析关闭B2.反比例函数的实际应用【例2】某药品研究所开发一种抗菌新药,经多年动物试验,首次用于临床人体试验.测得成人服药后血液中药物深度y(单位:微克/毫升)与服药时间x(单位:时)之间的函数关系如图所示(当4≤x≤10时,y与x成反比例关系).(1)根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y关于x的函数解析式;(2)问血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间为多少小时?分析(1)根据图象可知,当0≤x≤4时,y与x成正比例关系,可利用直线过点(4,8)确定正比例函数的解析式;同样,由图象可知,当4≤x≤10时,y与x成反比例关系,可利用双曲线过点(4,8)确定它的解析式.(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的持续时间即图象中y≥4时对应x的取值范围,将y=4分别代入所求函数解析式即可找到对应的x的值,从而确定所求的时间段.点拨在利用反比例函数解决实际问题时,要根据题目的实际意义,先找到基本的函数关系,再根据需要进行变形或计算.解:(1)由图象可知,当0≤x≤4时,y与x成正比例关系,设为y=kx.当x=4时,y=8,即4k=8,解得k=2,所以y=2x(0≤x≤4).由题意可知,当4≤x≤10时,y与x成反比例关系,设为y=𝑚𝑥,把点(4,8)代入,得m=4×8=32,所以y=32𝑥(4≤x≤10).所以血液中药物浓度上升时y=2x(0≤x≤4),血液中药物浓度下降时y=32𝑥(4≤x≤10).(2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升即y≥4,所以2x≥4,且32𝑥≥4,解得x≥2,且x≤8,即2≤x≤8.8-2=6,即持续时间为6小时.跟踪训练GenZonɡXunLian2.用洗衣粉洗衣物时,漂洗的次数与衣物中洗衣粉的残留量近似地满足反比例函数关系.寄宿生小红、小敏晚饭后用同一种洗衣粉各自洗一件同样的衣服,漂洗时,小红每次用一盆水(约10L),小敏每次用半盆水(约5L),如果她们都用了5g洗衣粉,第一次漂洗后,小红的衣服中残留的洗衣粉还有1.5g,小敏的衣服中残留的洗衣粉还有2g.(1)请帮助小红、小敏求出各自衣服中洗衣粉的残留量y与漂洗次数x的函数解析式;(2)当洗衣粉的残留量降至0.5g时,便视为衣服漂洗干净,从节约用水的角度来看,你认为谁的漂洗方法值得提倡,为什么?答案答案关闭(1)设小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数解析式分别为y1=𝑘1𝑥1,y2=𝑘2𝑥2,将x1=1,y1=1.5和x2=1,y2=2分别代入两个关系式,解得k1=1.5,k2=2.所以小红、小敏衣服中洗衣粉的残留量与漂洗次数的函数解析式分别为y1=32𝑥1,y2=2𝑥2.(2)把y=0.5分别代入两个函数解析式,解得x1=3,x2=4,10×3=30(L),5×4=20(L).所以小红共用30L水,小敏共用20L水,小敏的方法更值得提倡.3.反比例函数与一次函数的综合应用【例3】如图,一次函数与反比例函数的图象分别是直线AB和双曲线.直线AB与双曲线的一个交点为点C,CD垂直x轴于点D,OD=2OB=4OA=4.求一次函数和反比例函数的解析式.分析由已知三条线段之间的关系,可求得A,B,C三点的坐标,由此利用待定系数法求出函数的解析式.解:由已知OD=2OB=4OA=4,得A(0,-1),B(-2,0),D(-4,0).设一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).因为点A,B在一次函数的图象上,因为点C在一次函数的图象上,所以当x=-4时,y=1,即C(-4,1).所以𝑏=-1,-2𝑘+𝑏=0,即𝑘=-12,𝑏=-1.则一次函数的解析式是y=-12x-1.设反比例函数的解析式为y=𝑚𝑥(m≠0).又点C在反比例函数的图象上,则1=𝑚-4,得m=-4.故反比例函数的解析式是y=-4𝑥.点拨反比例函数和一次函数的综合题常涉及特殊线段、三角形面积等条件,这些几何图形的边长常常与某些点的坐标相关.这类题体现了在知识交汇处命题的特色.跟踪训练GenZonɡXunLian3.如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数(m≠0)的图象相交于A,B两点.(1)根据图象写出A,B两点的坐标,并分别求出反比例函数和一次函数的解析式;(2)根据图象写出:当x为何值时,一次函数的值大于反比例函数的值?y=𝑚𝑥解:(1)由题图可知,点A的坐标为2,12,点B的坐标为(-1,-1).∵反比例函数y=𝑚𝑥(m≠0)的图象经过点2,12,∴m=1.∴反比例函数的解析式为y=1𝑥.∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过点A2,12,点B(-1,-1),∴2𝑘+𝑏=12,-𝑘+𝑏=-1.解得k=12,b=-12.∴一次函数的解析式为y=12x-12.(2)由题图可知,当x2或-1x0时,一次函数的值大于反比例函数的值.4.反比例函数中的开放题【例4】如图,点A是x轴上的一个动点,过点A作x轴的垂线AB交双曲线于点B.连接OB,BO的延长线与双曲线的另一个交点为D,作DC垂直于x轴,垂足为C,连接BC,AD.问:四边形ABCD的面积是否为一个常数?若是,求出这个常数的值;若不是,请说明理由.y=3𝑥y=3𝑥又因为正比例函数与反比例函数的图象都关于原点对称,所以点B与点D关于原点对称.所以OA=OC.所以△OCB与△AOB等底等高,其面积相等.从而,S四边形ABCD=2|k|=2×3=6.故四边形ABCD的面积是一个常数,值为6.点拨本题属于一道结论探究型的开放题,综合考查同学们的观察、类比、归纳、综合运用知识的能力以及探索能力等.本题中,由反比例函数中k的几何意义沟通了反比例函数与面积之间的关系,以此为突破口,通过推理,可得出正确的结论.解:由反比例函数y=𝑘𝑥中k的几何意义可知,S△AOB=12|k|.故S△OCB=12|k|.同理,S△OCD=S△AOD=12|k|.y=𝑘𝑥跟踪训练GenZonɡXunLian4.老师在平面直角坐标系中画了一个反比例函数的图象和正比例函数y=-x的图象,请同学们观察反比例函数图象有什么特点,并说出来.同学甲:与直线y=-x有两个交点;同学乙:图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都为5.请你根据同学甲和乙的说法写出反比例函数的解析式:.答案解析解析关闭设反比例函数解析式为y=𝑘𝑥(k≠0),由同学甲所述的与直线y=-x有两个交点,知k0;由同学乙所述的图象上任意一点到两坐标轴的距离的积都为5,所以|k|=5,故k=-5.因此,反比例函数的解析式为y=-5𝑥.答案解析关闭y=-5𝑥67891011121312345答案答案关闭A1.(2018·江苏扬州中考)已知点A(x1,3),B(x2,6)都在反比例函数的图象上,则下列关系式一定正确的是()A.x1x20B.x10x2C.x2x10D.x20x1y=-3𝑥67891011121312345答案答案关闭B2.(2018·四川自贡中考)从-1,2,3,-6这四个数中任取两数,分别记为m,n,那么点(m,n)在函数y=6𝑥图象的概率是()A.12B.13C.14D.18678910111213123453.(2018·广东广州中考)一次函数y=ax+b和反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象是()y=𝑎−𝑏𝑥答案答案关闭A67891011121312345y=𝑎𝑥4.(2018·山东泰安中考)二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则反比例函数与一次函数y=ax+b在同一平面直角坐标系内的大致图象是()答案答案关闭C678910111213123455.(2018·山东德州中考)给出下列函数:①y=-3x+2;②;③y=2x2;④y=3x,上述函数符合条件“当x1时,函数值y随自变量x增大而增大”的是()A.①③B.③④C.②④D.②③y=3𝑥答案答案关闭B678910111213123456.(2018·江苏连云港中考)已知A(-4,y1),B(-1,y2)是反比例函数图象上的两个点,则y1与y2的大小关系为.y=-4𝑥答案答案关闭y1y2678910111213123457.(2018·四川宜宾中考)已知点P(m,n)在直线y=-x+2上,也在双曲线上,则m2+n2的值为.y=-1𝑥答案答案关闭6678910111213123458.(2018·山东滨州中考)若点A(-2,y1),B(-1,y2),C(1,y3)都在反比例函数(k为常数)的图象上,则y1,y2,y3的大小关系为.y=𝑘2-2𝑘+3𝑥答案答案关闭y2y1y3678910111213123459.(2018·浙江衢州中考)如图,点A,B是反比例函数(x0)图象上的两点,过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连接OA,BC,已知点C(2,0),BD=2,S△BCD=3,则S△AOC=.y=𝑘𝑥答案答案关闭56789101112131234510.(2018·山东泰安中考)如图,矩形ABCD的两边AD,AB的长分别为3,8,E是DC的中点,反比例函数的图象经过点E,与AB交于点F.(1)若点B坐标为(-6,0),求m的值及图象经过A,E两点的一次函数的解析式;(2)若AF-AE=2,求反比例函数的解析式.y=𝑚𝑥67891011121312345解:(1)∵点B的坐标为(-6,0),AD=3,AB=8,E为CD的中点,∴点A(-6,8),E(-3,4).∵函数图象经过点E,∴m=-3×4=-12.设直线AE的解析式为y=kx+b.则-6𝑘+𝑏=8,-3𝑘+𝑏=4,解得𝑘=-43,𝑏=0,∴一次函数的解析式为y=-43x.67891011121312345(2)∵AD=3,DE=4,∴AE=𝐴𝐷2+𝐷𝐸2=5.∵AF-AE=2,∴AF=7,BF=1.设点E的坐标为(a,4),则点F的坐标为(a-3,1).∵E,F两点在函数y=𝑚𝑥图象上,∴4a=a-3,解得a=-1,∴E(-1,4),∴m=-1×4=-4,∴所求反比例函数的解析式为y=-4𝑥.6789101112131234511.(2018·湖南岳阳中考)如图,某反比例函数图象的一支经过点A(2,3)和点B(点B在点A的右侧),作BC⊥y轴,垂足为C,连接AB,AC.(1)求该反比例函数的解析式;(2)若△ABC的面积为6,求直线AB的解析式.67891011121312345解:(1)由题意得k=2×3=6,∴反比例函数的解析式为y=6𝑥.(2)设点B的坐标为(a,b),如图,作AD⊥BC于点D,则D

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