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28.2.2应用举例(2)1.从下往上看,视线与水平线的夹角叫做,从上往下看,视线与水平线的夹角叫做.2.在解决实际问题时,可以直接或通过作辅助线,构造出直角三角形,化归为解的问题来解决.学前温故新课早知仰角俯角直角三角形1.利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:(1)将实际问题抽象为(画出平面图形,转化为的问题);(2)根据问题中的条件,适当选用锐角三角函数等;(3)得到的答案;(4)得到的答案.2.如图,水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽为6m,坝高为24m,斜坡AB的坡角A为45°,斜坡CD的坡角D的正切值为,则坡底AD的长为()12A.42mB.(30+243)mC.78mD.(30+83)m数学问题解直角三角形解直角三角形数学问题实际问题C学前温故新课早知3.如图,小明先从A地沿北偏东30°方向走100m到B地,再从B地向正南方向走200m到C地,此时小明离A地m.3100学前温故新课早知1.航海问题【例1】在东西方向的海岸线l上有一长为1km的码头MN(如图),在码头西端M的正西19.5km处有一观察站A.某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处,经过1小时20分钟,又测得该轮船位于A的北偏东60°,且与A相距8km的C处.分析速度=路程÷时间,因此(1)中关键是求出BC间的距离,而由题意易知,∠BAC=90°,故可由勾股定理知BC的长度.(2)中,看轮船能否行至码头,主要是考虑直线BC与直线l的交点所处的位置,若在MN间,则能行至码头MN靠岸,否则不能.(1)求该轮船航行的速度;(计算结果保留根号)(2)如果该轮船不改变航向继续航行,那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由.3解:(1)由题意,得∠BAC=90°,∴BC=402+(83)2=167(km).∴轮船航行的速度为167÷43=127(km/h).(2)能.作BD⊥l于点D,CE⊥l于点E,设直线BC交l于点F,则AD=AB·cos∠BAD=20km,BD=AB·sin∠BAD=203km,CE=AC·sin∠CAE=43km,AE=AC·cos∠CAE=12km.∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDF=∠CEF=90°.又∠BFD=∠CFE,∴△BDF∽△CEF.∴𝐷𝐹𝐸𝐹=𝐵𝐷𝐶𝐸.∴𝐸𝐹+32𝐸𝐹=20343.∴EF=8km.∴AF=AE+EF=20km.∵AMAFAN,∴轮船不改变航向继续航行,正好能行至码头MN靠岸.点拨本题是近年来解直角三角形中较新颖的试题.本题的切入点宽,解法多.如第(2)问,也可以先以A为原点,l为x轴建立平面直角坐标系,再求出直线BC的解析式,最后求BC与x轴交点的坐标.这也是一种方法.2.拦水坝、渠道及修路问题【例2】水务部门为加强防汛工作,决定对某水库进行加固.原大坝的横断面是梯形ABCD,如图所示,已知迎水面AB的长为10m,∠B=60°,背水面DC的长度为10m,加固后大坝的横断面为梯形ABED.若CE的长为5m.(1)已知需加固的大坝长为100m,求需要填方多少立方米;(2)求新大坝背水面DE的坡度.(计算结果保留根号)分析(1)过点A,D分别作出高AF,DG,在Rt△ABF中,先求出AF的长度,即DG的长度,再求出S△DCE,进而求得需要填方的体积;(2)利用勾股定理依次求得CG,EG的长度,从而求得大坝背水坡的坡度.3解:(1)分别过点A,D作AF⊥BC,DG⊥BC,垂足分别为点F,G,如图所示.在Rt△ABF中,AB=10m,∠B=60°,sinB=𝐴𝐹𝐴𝐵,所以AF=10×32=53(m),DG=53m.所以S△DCE=12×CE×DG=12×5×53=2532(m).需要填方:100×2532=12503(m3).(2)在Rt△DGC中,DC=103m,所以GC=𝐷𝐶2-𝐷𝐺2=(103)2-(53)2=15(m),所以GE=GC+CE=20(m),所以坡度i=𝐷𝐺𝐺𝐸=5320=34.答:(1)需要填方约12503m3;(2)背水坡坡度为34.点拨当给出的条件是坡面长度或坡度大小时,常根据定义构建方程来求解.应用时要注意与三角函数的结合.另外,坡度问题若与水坝有关,即梯形问题,常用的方法一般是过上底的顶点作下底的垂线,构造直角三角形和矩形来求解.123451.如图,上午9时,一条船从A处出发以20海里/时的速度向正北航行,11时到达B处,从A,B望灯塔C,如果测得∠NAC=36°,∠NBC=72°,那么从B处到灯塔C的距离是()A.20海里B.36海里C.72海里D.40海里答案答案关闭D12345答案答案关闭B2.如图,植树节那天,先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树,要求相邻两树之间的水平距离为5m,那么这两树在坡面上的距离AB为()A.5cosαmB.5cos𝛼mC.5sinαmD.5sin𝛼m123453.如图,点B在点A北偏西60°方向,且AB=5km,点C在点B北偏东30°方向,且BC=12km,则点A到点C的距离为km.答案答案关闭13123454.如图,一条铁路路基的横断面为等腰梯形,根据图示数据计算路基的下底宽AB=m.答案解析解析关闭如图,作等腰梯形的高DE,CF,把AB分成三段AE,EF,FB,利用坡度可以求得AE=BF=12m.又EF=DC=10m,故AB=34m.答案解析关闭34123455.光明中学九年级(1)班开展数学实践活动,小李沿着东西方向的公路以50m/min的速度向正东方向行走,在A处测得建筑物C在北偏东60°方向上,20min后他走到B处,测得建筑物C在北偏西45°方向上,求建筑物C到公路AB的距离.(≈1.732)3答案答案关闭过点C作CD⊥AB于D,由题意可知AB=50×20=1000(m),∠CAB=30°,∠CBA=45°,AD=𝐶𝐷tan30°,BD=𝐶𝐷tan45°,由AD+BD=𝐶𝐷tan30°+𝐶𝐷tan45°=1000(m),解得CD=10003+1=500(3-1)≈366(m).故建筑物C到公路AB的距离约为366m.