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28.2解直角三角形及其应用28.2.1解直角三角形学前温故新课早知在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,则a,b,c,∠A,∠B这五个元素间的等量关系:边角之间的关系sinA=;cosA=;tanA=;sinB=;cosB=;tanB=.𝑎𝑐𝑏𝑐𝑎𝑏𝑏𝑐𝑎𝑐𝑏𝑎1.在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做.2.在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于点D,∠ACD=30°,对Rt△ABC来说,未知元素有个,分别是,若要解Rt△ABC,还需知一个条件.3.在△ABC中,∠C=90°,b,c分别为∠B,∠C的对边,且已知b和∠B,下列求c的表达式正确的是()A.c=bcosBB.c=bsinBC.c=𝑏sin𝐵D.c=𝑏cos𝐵解直角三角形5∠A,∠B,边长AB,BC,AC边长C学前温故新课早知4.在Rt△ABC中,∠C为直角,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,那么除直角C外的五个元素之间有如下关系:(1)三边之间的关系:(勾股定理);(2)两锐角之间的关系:;(3)边角之间的关系:sinA==,cosA==,tanA==.上述(3)中的A都可以换成B,同时把a,b互换.a2+b2=c2∠A+∠B=90°∠𝐴的对边斜边𝑎𝑐∠𝐴的邻边斜边𝑏𝑐∠𝐴的对边∠𝐴的邻边𝑎𝑏学前温故新课早知1.解直角三角形【例1】如图,在△ABC中,∠A=60°,∠B=45°,AB=8,求△ABC的面积.(结果可保留根号)分析由已知条件,得∠A=60°,∠B=45°,可以作出高CD,这样既构造出直角,又可以求出高,从而使问题容易求解.解:如图,过C作CD⊥AB于点D.在Rt△ADC中,因为∠CDA=90°,∠A=60°,在Rt△BDC中,因为∠B=45°,所以∠BCD=45°.所以CD=BD.所以𝐶𝐷𝐴𝐷=tanA=tan60°=3,即AD=33CD.因为AB=DB+DA=CD+33CD=8,所以CD=12-43.所以S△ABC=12AB·CD=12×8×(12-43)=48-163.2.解复杂的直角三角形【例2】如图,在△ABC中,AD是BC边上的高,E为AC的中点,BC=14,AD=12,sinB=.求:(1)线段DC的长;(2)tan∠EDC的值.分析(1)解Rt△ABD,求出BD.(2)根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得出DE=CE,所以∠EDC=∠ECD.45∴DC=BC-BD=14-9=5.(2)∵E为Rt△ADC斜边AC的中点,∴DE=CE,∴∠EDC=∠ECD,点拨本题巧妙地运用转化思想,将所求的tan∠EDC的值转化为求tan∠ECD的值,使问题简化.解:(1)在Rt△ABD中,AB=𝐴𝐷sin𝐵=1245=15,∴BD=𝐴𝐵2-𝐴𝐷2=152-122=9.∴tan∠EDC=tan∠ECD=𝐴𝐷𝐷𝐶=125.6123451.在Rt△ABC中,有下列情况,则直角三角形可解的是()A.已知BC=3,∠C=90°B.已知∠C=∠B=45°C.已知∠C=90°,∠A=∠BD.已知∠C=90°,∠A=38°,BC=5答案答案关闭D6123452.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线MN交AC于点D,连接BD.若cos∠BDC=,则BC的长是()A.4cmB.6cmC.8cmD.10cm35答案解析解析关闭由条件知BD=AD,又cos∠BDC=35=𝐶𝐷𝐵𝐷=𝐶𝐷𝐷𝐴,AC=8cm,所以CD=3cm,BD=5cm.所以BC=4cm.答案解析关闭A6123453.如图,在△ABC中,∠C=90°,点D在BC上,CD=3,AD=BC,且cos∠ADC=,则BD的长是()A.4B.3C.2D.135答案解析解析关闭求BD需求BC,而BC=AD.在Rt△ADC中,CD=3,且cos∠ADC=35,∴AD=5.∴BC=AD=5,∴BD=2.答案解析关闭C6123454.如图,AB是☉O的弦,半径OA=2,sinA=,则弦AB的长为.23答案答案关闭4536123455.在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分别是∠A,∠B,∠C的对边,已知a=5,c=25,解这个直角三角形.答案答案关闭b=𝑐2-𝑎2=15.∵tanB=155=3,∴∠B=60°.∴∠A=90°-60°=30°.6123456.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.(1)如果已知∠A和c,写出求其他的边和角的式子;(2)如果已知a,b,写出求其他的边和角的式子;(3)如果已知b,∠A,写出求其他的边和角的式子;(4)如果已知a,∠A,写出求其他的边和角的式子.解:在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)∵sinA=𝑎𝑐,∴a=c·sinA.∵cosA=𝑏𝑐,∴b=c·cosA.∵∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A.612345(2)∵tanA=𝑎𝑏,查表求出∠A,∴∠B=90°-∠A,c=𝑎2+𝑏2.(3)∵tanA=𝑎𝑏,∴a=b·tanA.∵cosA=𝑏𝑐,∴c=𝑏cos𝐴(或c=𝑎2+𝑏2),∠B=90°-∠A.(4)∵sinA=𝑎𝑐,∴c=𝑎sin𝐴.∵tanA=𝑎𝑏,∴b=𝑎tan𝐴,∠B=90°-∠A.