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本章整合一二三一、勾股定理的实际应用【例1】如图,在一次课外实践活动中,同学们要测量某公园人工湖两侧A,B两个凉亭之间的距离,现测得AC=30m,BC=70m,∠CAB=120°,请计算A,B两个凉亭之间的距离.一二三解:过点C作CD⊥AB,垂足为D.因为∠CAB=120°,所以∠CAD=60°,所以∠DCA=30°.又AC=30m,所以AD=15m.在Rt△ACD中,由勾股定理,得CD2=AC2-AD2=675.在Rt△CBD中,由勾股定理,得所以AB=BD-AD=65-15=50(m).答:A,B两个凉亭之间的距离为50m.BD=𝐵𝐶2-𝐶𝐷2=65(m).一二三一二三跟踪演练1.在公路AB旁有一座山,山上有一C处需要爆破,已知点C与公路上的停靠站A距离为300m,与公路上另一停靠站B的距离为400m,且CA⊥CB,为了安全起见,爆破点C周围半径250m范围内不得进入,几何图形如图所示.问在进行爆破时,公路AB段是否因有危险而需要暂时封锁?答案答案关闭解作CD⊥AB于点D,因为BC=400m,AC=300m,∠ACB=90°,根据勾股定理,得AC2+BC2=AB2,即3002+4002=AB2,所以AB=500m.根据三角形的面积得12AB·CD=12BC·AC,所以500CD=400×300,所以CD=240(m).因为240250,即点C到AB的距离小于250m,所以有危险,公路AB段需要暂时封锁.一二三二、勾股定理中的方程思想【例2】如图,将一个长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,AE交DC于点F,已知AB=8,BC=4,求折叠后重合部分的面积.分析:由图形可知,重合部分是△ACF,AD正好是它的一条边CF上的高,因此要求重合部分的面积,只要求出CF的长即可.由图形的性质可知CF=AF,这样设DF=x后,便可表示出CF,AF的长.从而在Rt△ADF中便可利用勾股定理得出关于x的方程,求解即可.一二三解:∵△AEC是由△ABC折叠得到的,∴∠1=∠2.又CD∥AB,∴∠2=∠3,∴∠1=∠3,∴AF=CF.设DF=x,则AF=CF=CD-DF=8-x,在Rt△ADF中,由勾股定理得AF2=AD2+DF2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,即DF=3,∴CF=8-x=5,故折叠后重合部分的面积为S=12·CF·AD=12×5×4=10.一二三一二三跟踪演练2.如图,折叠长方形的一边AD,使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求EC的长.答案答案关闭解因为点D,F关于AE对称,所以△AFE≌△ADE,即AF=AD=BC=10cm,DE=EF,设EC=xcm,则DE=(8-x)cm.在Rt△ABF中,由勾股定理,得BF2=AF2-AB2=36,所以BF=6cm.所以FC=BC-BF=4cm.在Rt△EFC中,由勾股定理,得x2+42=(8-x)2,解得x=3,所以EC的长为3cm.一二三三、直角三角形的判定条件及其应用【例3】夏季多雨季节,某地遭受严重涝灾.如图所示的4×4方格表示某受灾区域,救援队沿图中折线从A到C行进,试判断绕过的∠ABC是否为直角,说说你的理由.分析:利用网格特征,通过三边关系可判断该角是否为直角.由于只要满足AB2+BC2=AC2(观察可知AC为最长边),即可判断△ABC为直角三角形,因此不必分别求出AB,BC,AC的值后再平方,这样反而走了弯路.一二三解:连接AC(图略),借助网格,可知AB2=BC2=12+32=10,AC2=22+42=20,所以有AB2+BC2=AC2,故△ABC为直角三角形,∠ABC为直角.一二三跟踪演练3.初春时分,两组同学到村外平坦的田野中采集植物标本,分开后,他们向不同的方向沿直线前进,第一组的速度是30m/min,第二组的速度是40m/min,半小时后两组同学同时停下来,而此时两组同学相距1500m.(1)两组同学行走的方向是否成直角?(2)如果接下来两组同学以原来速度相向而行,那么多长时间后能相遇?答案答案关闭解(1)30×30=900,40×30=1200,由于9002+12002=15002,根据勾股定理的逆定理,可知成直角.答:两组同学行走的方向成直角.(2)1500÷(30+40)=1507(min).答:两组同学1507min后相遇.1234567891.(2018山东滨州中考)在直角三角形中,若勾为3,股为4,则弦为()A.5B.6C.7D.8答案答案关闭A1234567答案答案关闭C892.(2017浙江绍兴中考)如图,小巷左右两侧是竖直的墙,一架梯子斜靠在左墙时,梯子底端到左墙角的距离为0.7m,顶端距离地面2.4m,如果保持梯子底端位置不动,将梯子斜靠在右墙时,顶端距离地面2m,则小巷的宽度为().A.0.7mB.1.5mC.2.2mD.2.4m1234567893.(2017陕西中考)如图,将两个大小形状相同的△ABC和△A'B'C'拼在一起,其中点A与A'重合,点C'落在边AB上,连接B'C.若∠ACB=∠AC'B'=90°,AC=BC=3,则B'C的长为().A.33B.6C.32D.21答案解析解析关闭由题意得∠CAB=∠C'AB'=45°,△ABC≌△AB'C',由勾股定理得AB=AB'=32,B'C=33.答案解析关闭A1234567894.(2017四川成都中考)如图,数轴上点A表示的实数是.答案答案关闭5-1图①图②1234567895.(2017浙江丽水中考改编)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,绘制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”,如图①所示.在图②中,若正方形ABCD的边长为14,正方形IJKL的边长为2,且IJ∥AB,则正方形EFGH的边长为.答案解析解析关闭设直角三角形的勾(较短的直角边)为a,股(较长的直角边)为b,根据题意得𝑎+𝑏=14,𝑏-𝑎=2,解得𝑎=6,𝑏=8.由勾股定理得直角三角形的弦(斜边)为62+82=100=10,即正方形EFGH的边长为10.答案解析关闭101234567896.(2018湖北襄阳中考)已知CD是△ABC的边AB上的高,若CD=,AD=1,AB=2AC,则BC的长为.3答案答案关闭23或271234567897.(2017甘肃庆阳中考)如图,一张三角形纸片ABC,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,现将纸片折叠:使点A与点B重合,则折痕长等于cm.答案解析解析关闭在Rt△ABC中,因为AC=8cm,BC=6cm,根据勾股定理,所以AB=10cm.设CE=xcm,由折叠的性质得:BD=AD=5cm,BE=AE=(8-x)cm.在Rt△BCE中,根据勾股定理可知:BC2+EC2=BE2,即62+x2=(8-x)2,解得x=74.在Rt△ADE中,AE2=DE2+AD2,即DE2=AE2-AD2=22516,DE=154cm.答案解析关闭1541234567898.(2017山东东营中考)我国古代有这样一道数学问题:“枯木一根直立地上,高二丈,周三尺,有葛藤自根缠绕而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”题意是:如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高为20尺,底面周长为3尺,有葛藤自点A处缠绕而上,绕五周后其末端恰好到达点B处.则问题中葛藤的最短长度是尺.答案解析解析关闭方法1:将圆柱平均分成五段,将最下边一段圆柱的侧面展开图画出(如图),并连接其对角线即为每段的最短长度=32+42=5,所以葛藤的最短长度为5×5=25尺,故答案为25.方法2:如图,一条直角边(即枯木的高)长20尺,另一条直角边长5×3=15(尺),因此葛藤的最短长度为202+152=25(尺).答案解析关闭251234567899.(2017重庆中考)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点E是AC上一点,连接BE.若AB=42,BE=5,求AE的长.答案答案关闭在Rt△ABC中,由勾股定理,得AC2+BC2=AB2,∵AC=BC,AB=42,∴2BC2=(42)2,∴BC=AC=4.在Rt△BCE中,由勾股定理,得CE=𝐵𝐸2-𝐵𝐶2=52-42=3,∴AE=AC-CE=4-3=1.