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本章整合一二三四数学思想是对数学知识与方法形成的规律性的理性认识,是解决数学问题的根本策略.熟练掌握数学思想对于提高分析与解决问题的能力具有重要作用.本章内容所涉及的主要数学思想方法较多,现例述如下.一、转化思想转化思想是指在研究和解决有关数学问题时,通过某种方式与手段将复杂的问题转化为简单的问题,将难解的问题转化为易于求解的问题,将未知的问题转化为已知的问题.一二三四【例1】化简(-5)2的结果是()A.5B.-5C.±5D.25解析:根据二次根式的性质𝑎2=|a|,可把求算术平方根的运算转化为绝对值的计算问题.(-5)2=|-5|=5.选A.答案:A2-𝑥一二三四跟踪演练1.若二次根式有意义,则实数x的取值范围是.答案答案关闭x≤2一二三四二、数形结合思想数形结合思想是指在研究问题的过程中,由数思形、以形助数,把数与形结合起来分析问题的一种思想方法.应用数形结合思想解题,为分析问题和解决问题创造了有利条件,可使复杂的问题简单化,抽象的问题直观化,收到简捷、明快之功效.一二三四【例2】如图,数轴上点O为原点,A,B两点表示的数分别为1和,点B关于点A的对称点为点C,则点C所表示的数是.解析:借助线段和差求得OC的长度,即为点C所表示的数.用数轴上直观的点表示抽象的数,便于我们研究与解决问题,它是数形结合思想的具体体现.根据题意,结合图形可知,OC=OA-AC=OA-AB=OA-(OB-OA)=2OA-OB=2-,即点C所表示的数是2-.答案:2-3333一二三四跟踪演练2.如图为实数a,b在数轴上的位置,则(𝑏)2+(-𝑎)2−(𝑎-𝑏)2=.答案答案关闭0一二三四三、方程思想方程思想是指对所要求解的数学问题,利用已知量和未知量之间的数量关系构建方程(组),通过解方程(组)使问题获解的思维方式.【例3】若最简二次根式1+𝑎与4-2𝑎的和为22,求实数a的值.分析:由题意,知两个二次根式的被开方数相同,故可构建方程求解.注意能合并的两个二次根式的被开方数不一定相等,只有在化为最简二次根式后被开方数才一定相等.解:由题意,得方程1+a=4-2a,解得a=1.经检验,a=1符合题意.3.若最简二次根式1-𝑥与3𝑥+5的被开方数相同,则实数x=.一二三四跟踪演练答案答案关闭-1一二三四四、分类讨论思想当被研究的问题包含多种情况,又不能一概而论时,必须按出现的所有情况来分别讨论,得出各种情况下相应的结论,这种处理问题的思维方式就是分类讨论思想.分类时不重复、不遗漏,是分类讨论的基本要求.一二三四【例4】已知𝑥2-𝑥有意义,试化简(𝑥-1)2.分析:形如的二次根式的化简,必须先确定a的取值范围,然后通过合理的分类讨论得到正确答案.𝑎2解:根据题意,得0≤x2.当0≤x1时,(𝑥-1)2=|x-1|=1-x;当1≤x2时,(𝑥-1)2=|x-1|=x-1.一二三四4.对于𝑥2+6𝑥+9的化简,当x≥-3时,𝑥2+6𝑥+9=;当x-3时,𝑥2+6𝑥+9=.跟踪演练答案答案关闭x+3-(x+3)123456789答案答案关闭C1.(2018江苏扬州中考)使𝑥-3有意义的x的取值范围是()A.x3B.x3C.x≥3D.x≠3123456789答案答案关闭A2.(2018江苏无锡中考)下列等式正确的是()A.(3)2=3B.(-3)2=-3C.33=3D.(-3)2=-31234567893.(2018江苏泰州中考)下列运算正确的是()A.2+3=5B.18=23C.2×3=5D.2÷12=2答案解析解析关闭A.2与3不能合并,所以A选项错误;B.原式=32,所以B选项错误;C.原式=2×3=6,所以C选项错误;D.原式=2×2=2,所以D选项正确.故选D.答案解析关闭D1234567894.(2018四川达州中考)二次根式中的x的取值范围是()A.x-2B.x≤-2C.x-2D.x≥-22𝑥+4答案解析解析关闭由题意,得2x+4≥0,解得x≥-2.故选D.答案解析关闭D1234567895.(2018四川绵阳中考)等式𝑥-3𝑥+1=𝑥-3𝑥+1成立的x的取值范围在数轴上可表示为()答案解析解析关闭由题意可知𝑥-3≥0,𝑥+10,解得x≥3.故选B.答案解析关闭B1234567896.(2018山东聊城中考)下列计算正确的是()A.310-25=5B.711×117÷111=11C.(75−15)÷3=25D.1318-389=2答案解析解析关闭A.310与-25不能合并,此选项错误;B.711×117÷111=711×117×11=711×117×11=11,此选项正确;C.(75−15)÷3=(53−15)÷3=5-5,此选项错误;D.1318-389=2-22=-2,此选项错误.故选B.答案解析关闭B1234567897.(2018天津中考)计算(6+3)(6−3)的结果等于.答案答案关闭31234567898.(2018江苏南京中考)计算3×6−8的结果是.答案答案关闭21234567899.(2018广东广州中考)如图,数轴上点A表示的数为a,化简a+𝑎2-4𝑎+4=.答案解析解析关闭由题中数轴可得0a2,则a+𝑎2-4𝑎+4=a+(2-𝑎)2=a+(2-a)=2.答案解析关闭2