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本章整合一二一、四边形中的折叠问题【例1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形ABCD沿CE折叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处.(1)求EF的长;(2)求梯形ABCE的面积.解:(1)设EF=x,由折叠可得,DE=EF=x,CF=CD=6.∵在Rt△ADC中,AC==10,∴AF=AC-CF=4,AE=AD-DE=8-x.在Rt△AEF中,有AE2=AF2+EF2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3.∴EF=3.(2)由(1)知,AE=8-3=5.∴S梯形ABCE=(𝐴𝐸+𝐵𝐶)·𝐴𝐵2=(5+8)×62=39.62+82一二一二跟踪演练1.如图,在梯形ABCD中,∠DCB=90°,AB∥CD,AB=25,BC=24.将该梯形折叠,点A恰好与点D重合,BE为折痕,则AD的长度为.答案解析解析关闭由折叠可知BD=AB=25.在Rt△BDC中,DC2+BC2=BD2,所以DC=7.过D作DF⊥AB于F,可得矩形DFBC,所以DF=CB=24,BF=DC=7.所以AF=AB-DC=18.在Rt△DAF中,AD2=AF2+DF2,所以AD=30.答案解析关闭30一二二、与平行四边形有关的辅助线添加问题【例2】如图,已知点O是平行四边形ABCD的对角线AC的中点,四边形OCDE是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.分析:因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC∥ED,OC=DE.又由O是AC的中点,得出AO∥ED,AO=ED,则四边形AODE是平行四边形,问题得证.一二证明:连接AE,OD.因为四边形OCDE是平行四边形,所以OC∥DE,OC=DE.因为O是AC的中点,所以AO∥ED,AO=ED.所以四边形AODE是平行四边形.所以AD与OE互相平分.一二跟踪演练2.如图,在△ABC中,E,F为AB上两点,AE=BF,ED∥AC,FG∥AC分别交BC于点D,G.求证:ED+FG=AC.答案解析解析关闭因为DE∥AC,经过点E作EH∥CB交AC于点H得平行四边形,得ED=HC.要证明ED+FG=AC,只需证AH=FG即可.答案解析关闭证明过点E作EH∥BC交AC于点H,因为ED∥AC,所以四边形CDEH是平行四边形.所以ED=HC.又因为FG∥AC,EH∥BC,所以∠AEH=∠B,∠A=∠BFG.又AE=BF,所以△AEH≌△FBG.所以AH=FG,所以FG+DE=AH+HC=AC.1234567891011答案答案关闭B121314151.(2018浙江宁波中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E是边CD的中点,连接OE.若∠ABC=60°,∠BAC=80°,则∠1的度数为()A.50°B.40°C.30°D.20°1234567891011121314152.(2018四川宜宾中考)在▱ABCD中,若∠BAD与∠CDA的平分线交于点E,则△AED的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定答案答案关闭B1234567891011121314153.(2018四川泸州中考)如图,▱ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AB的中点,且AE+EO=4,则▱ABCD的周长为()A.20B.16C.12D.8答案解析解析关闭∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵AE=EB,∴OE=12BC.∵AE+EO=4,∴2AE+2EO=8.∴AB+BC=8.∴▱ABCD的周长为2×8=16.答案解析关闭B1234567891011121314154.(2018浙江杭州中考)如图,已知点P是矩形ABCD内一点(不含边界),设∠PAD=θ1,∠PBA=θ2,∠PCB=θ3,∠PDC=θ4.若∠APB=80°,∠CPD=50°,则()A.(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30°B.(θ2+θ4)-(θ1+θ3)=40°C.(θ1+θ2)-(θ3+θ4)=70°D.(θ1+θ2)+(θ3+θ4)=180°答案解析解析关闭∵AD∥BC,∠APB=80°,∴∠CBP=∠APB-∠DAP=80°-θ1,∴∠ABC=θ2+80°-θ1.在△CDP中,∵∠DCP=180°-∠CPD-∠CDP=130°-θ4,∴∠BCD=θ3+130°-θ4.在矩形ABCD中,∵∠ABC+∠BCD=180°,∴θ2+80°-θ1+θ3+130°-θ4=180°,即(θ1+θ4)-(θ2+θ3)=30°,故选A.答案解析关闭A1234567891011121314155.(2018四川达州中考)如图,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长度为()A.32B.2C.52D.3C123456789101112131415解析:∵BN平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE.在△BNA和△BNE中,∠𝐴𝐵𝑁=∠𝐸𝐵𝑁,𝐵𝑁=𝐵𝑁,∠𝐴𝑁𝐵=∠𝐸𝑁𝐵,∴△BNA≌△BNE,∴BA=BE.∴△BAE是等腰三角形.同理△CAD是等腰三角形,∴点N是AE的中点,点M是AD的中点(三线合一).∴MN是△ADE的中位线.∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,∴DE=BE+CD-BC=5,∴MN=12DE=52.1234567891011121314156.(2018四川眉山中考)如图,在▱ABCD中,CD=2AD,BE⊥AD于点E,F为DC的中点,连接EF,BF.下列结论:①∠ABC=2∠ABF;②EF=BF;③S四边形DEBC=2S△EFB;④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论共有()A.1个B.2个C.3个D.4个D123456789101112131415解析:如图,延长EF交BC的延长线于点G,取AB的中点H,连接FH.∵CD=2AD,DF=FC,∴CF=CB.∴∠CFB=∠CBF.∵CD∥AB,∴∠CFB=∠FBH.∴∠CBF=∠FBH,∠ABC=2∠ABF,故①正确.∵DE∥CG,∴∠D=∠FCG.∵DF=FC,∠DFE=∠CFG,∴△DFE≌△CFG.∴EF=FG.∵BE⊥AD,∴∠AEB=90°.∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBG=90°.∴BF=EF=FG,故②正确.123456789101112131415∵S△DFE=S△CFG,∴S四边形DEBC=S△EBG=2S△BEF,故③正确.∵AH=HB,DF=CF,AB=CD,∴CF=BH.∵CF∥BH,∴四边形BCFH是平行四边形.∵CF=BC,∴四边形BCFH是菱形.∴∠BFC=∠BFH.∵FE=FB,FH∥AD,BE⊥AD,∴FH⊥BE,∠BFH=∠EFH=∠DEF,∴∠EFC=3∠DEF,故④正确.故选D.1234567891011121314157.(2018广东广州中考)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.答案解析解析关闭∵菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,∴AB=5,AD=5.由勾股定理知,OD=𝐴𝐷2-𝑂𝐴2=52-32=4.∴点C的坐标是(-5,4).答案解析关闭(-5,4)1234567891011121314158.(2018江苏泰州中考)如图,在▱ABCD中,AC,BD相交于点O.若AD=6,AC+BD=16,则△BOC的周长为.答案解析解析关闭∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC=6,OA=OC,OB=OD.∵AC+BD=16,∴OB+OC=8.∴△BOC的周长为BC+OB+OC=6+8=14.答案解析关闭141234567891011121314159.(2018湖南衡阳中考)如图,▱ABCD的对角线相交于点O,且AD≠CD,过点O作OM⊥AC,交AD于点M.如果△CDM的周长为8,那么▱ABCD的周长是.答案解析解析关闭∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC.∵OM⊥AC,∴AM=MC.∴△CDM的周长为AD+CD=8,▱ABCD的周长是2×8=16.答案解析关闭1612345678910111213141510.(2018山东临沂中考)如图,在▱ABCD中,AB=10,AD=6,AC⊥BC,则BD=.答案解析解析关闭∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=6,OB=OD,OA=OC.∵AC⊥BC,∴AC=𝐴𝐵2-𝐵𝐶2=8.∴OC=4,OB=𝑂𝐶2+𝐵𝐶2=213.故BD=2OB=413.答案解析关闭41312345678910111213141511.(2018江苏泰州中考)如图,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分别为AC,CD的中点,∠D=α,则∠BEF的度数为(用含α的式子表示).答案解析解析关闭∵∠ACD=90°,∠D=α,∴∠DAC=90°-α.∵AC平分∠BAD,∴∠DAC=∠BAC=90°-α.∵∠ABC=90°,E为AC的中点,∴BE=AE=EC.∴∠EAB=∠EBA=90°-α.∴∠CEB=180°-2α.∵E,F分别为AC,CD的中点,∴EF∥AD.∴∠CEF=∠DAC=90°-α,∠BEF=180°-2α+90°-α=270°-3α.答案解析关闭270°-3α12345678910111213141512.(2018湖南岳阳中考)如图,在平行四边形ABCD中,AE=CF.求证:四边形BFDE是平行四边形.答案答案关闭∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,且AB=CD.∵AE=CF,∴BE=DF.∵BE∥DF,且BE=DF,∴四边形BFDE是平行四边形.12345678910111213141513.(2018江苏宿迁中考)如图,在▱ABCD中,点E,F分别在边CB,AD的延长线上,且BE=DF,EF分别与AB,CD交于点G,H.求证:AG=CH.答案答案关闭∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD=BC,∠A=∠C,AD∥BC,∴∠E=∠F.∵BE=DF,∴AF=EC.在△AGF和△CHE中,∠𝐴=∠𝐶,𝐴𝐹=𝐸𝐶,∠𝐹=∠𝐸,∴△AGF≌△CHE(ASA),∴AG=CH.12345678910111213141514.(2018山东青岛中考)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连接CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连接FD.(1)求证:AB=AF;(2)若AG=AB,∠BCD=120°,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论.123456789101112131415(1)证明∵四边形ABCD是平行四边形,∴BF∥CD,AB=CD,∴∠AFC=∠DCG.∵GA=GD,∠AGF=∠CGD,∴△AGF≌△DGC,∴AF=CD,∴AB=AF.(2)解四边形ACDF是矩形.证明如下:∵AF=CD,AF∥CD,∴四边形ACDF是平行四边形.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠BAD=∠BCD=120°,∴∠FAG=60°.∵AB=AG=AF,∴△AFG是等边三角形,∴AG=GF.∵△AGF≌△DGC,∴FG=CG.∵AG=GD,∴AD=CF,∴四边形ACDF是矩形.12345678910111213141515.(2018江苏盐城中考)在正方形ABCD中,对角线BD所在的直线上有两点E,F满足BE=DF,连接AE,AF,CE,CF,如图所示.(1)求证:△ABE≌△ADF;(2)试判断四边形AECF的形状,并说明理由.123456789101112131415(1)证明∵四边形ABCD为正方形,∴AB=AD,∠ABD=∠ADB.∴∠ABE=∠ADF.∴△ABE≌△ADF(SAS).(2)解四边形AECF是菱形.理由如下:如图,连接AC,交BD于点O.∵四边形ABCD为正方形,∴OA=OC,OB=OD,AC⊥EF,∴OB+BE=OD+DF,即OE=OF.∵OA=OC,OE=OF,∴四边