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18.2.2菱形学前温故新课早知1.与一般平行四边形相比,矩形具有的特殊性质:(1)矩形的四个角都是;(2)矩形的对角线.2.矩形的判定:(1)有一个角是直角的是矩形;(2)对角线的平行四边形是矩形.直角相等平行四边形相等学前温故新课早知1.菱形的概念有一组邻边的平行四边形叫做菱形.2.菱形的性质与判定性质判定边角对角线有一组邻边的平行四边形对边平行,四条边都相等对角互相平分、,每条对角线一组对角四条边的四边形对角线的平行四边形相等相等相等垂直平分相等互相垂直学前温故新课早知3.已知在菱形ABCD中,AC=8cm,BD=6cm,则菱形ABCD的周长为.4.下列条件中,可以判定一个四边形为菱形的是().A.两条对角线相等B.两条对角线互相垂直C.两条对角线相等且垂直D.两条对角线互相垂直平分5.菱形的面积等于对角线乘积的.6.一个菱形的对角线长分别是4cm,5cm,则这个菱形的面积S=.20cmD一半10cm21.菱形的性质【例1】如图,菱形ABCD的边长为2,对角线BD=2,E,F分别是AD,CD上的两个动点,且满足AE+CF=2.(1)求证:△BDE≌△BCF;(2)判断△BEF的形状,并说明理由.同时指出△BCF是由△BDE经过如何变换得到的?(1)证明:∵菱形ABCD的边长为2,BD=2,∴BD=BC,且∠BDE=∠BCF=60°.∵AE+CF=2,又AE+DE=AD=2,∴DE=CF.∴△BDE≌△BCF.(2)解:△BEF是等边三角形,理由如下:由(1)得△BDE≌△BCF,∴BE=BF,∠DBE=∠CBF.∴∠EBF=∠EBD+∠DBF=∠CBF+∠DBF=60°.∴△BEF是等边三角形,△BCF是由△BDE绕点B顺时针旋转60°得到的.2.菱形的判定【例2】如图,▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=4,BD=.过点D作DE⊥AB,垂足为E.(1)四边形ABCD是菱形吗?说说你的理由.(2)求DE的长.解:(1)四边形ABCD是菱形.理由如下:∵▱ABCD的对角线AC与BD互相平分,∴OA=12AC=2,OB=12BD=3.∵22+(3)2=7=(7)2,AB2=OA2+OB2,∴∠AOB=90°.∴AC⊥BD.∴平行四边形ABCD是菱形.(2)由AB·DE=12AC·BD,得DE=12×4×237=4217.23,AB=71234561.如图,四边形ABCD是菱形,过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E,则下列式子不成立的是().A.DA=DEB.∠ABC=2∠EC.∠EAC=90°D.BD=CE答案解析解析关闭由AB∥CE,BD∥AE,可知四边形ABDE是平行四边形,则DA=AB=DE;∠ABC=2∠ABD=2∠E;由BD∥AE,BD⊥AC,得∠EAC=90°,所以选项A,B,C均正确.答案解析关闭D1234562.如图,四边形ABCD的四条边相等,且面积为120cm2,对角线AC=24cm,则四边形ABCD的周长为().A.52cmB.40cmC.39cmD.26cm答案解析解析关闭∵四边形ABCD的四条边相等,∴四边形ABCD为菱形.又其面积为120cm2,对角线AC=24cm,∴120=12×24×BD,∴BD=10cm.∴AB=52+122=13(cm)∴四边形ABCD的周长为4×13=52cm.答案解析关闭A1234563.如图,将一张矩形纸对折两次后,再沿着虚线剪下,得到①②两部分,将①展开后得到的平面图形是().A.平行四边形B.矩形C.菱形D.三角形答案答案关闭C1234564.如图,在▱ABCD中,AC平分∠DAB,AB=3,则▱ABCD的周长为.答案答案关闭121234565.如图,已知菱形ABCD的边长为2cm,∠BAD=120°,对角线AC,BD相交于点O.(1)求证:△ABC是等边三角形;(2)求对角线AC与BD的长;(3)求菱形ABCD的面积.答案答案关闭(1)证明在菱形ABCD中,∠BAC=12∠BAD=12×120°=60°,AB=BC,∴△ABC是等边三角形.(2)解在等边三角形ABC中,AC=AB=2cm.又在菱形ABCD中,OA=1cm.在Rt△AOB中,由勾股定理,得BO=𝐴𝐵2-𝐴𝑂2=22-12=3(cm),∴BD=2BO=23cm.(3)解S菱形ABCD=12AC·BD=12×2×23=23(cm2).1234566.如图,O为矩形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD.(1)试判断四边形OCED的形状,并说明理由;(2)若AB=6,BC=8,求四边形OCED的面积.答案答案关闭解(1)四边形OCED是菱形.理由如下:∵DE∥AC,CE∥BD,∴四边形OCED是平行四边形,又在矩形ABCD中,OC=OD,∴四边形OCED是菱形.(2)连接OE,由菱形OCED得CD⊥OE,∴OE∥BC.又CE∥BD,∴四边形BCEO是平行四边形.∴OE=BC=8,∴S四边形OCED=12OE·CD=12×8×6=24.